中考数学压轴题 二次函数动点问题（九）.doc

2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（九）1.如图，抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于a(3，0)、b两点，与y轴相交于点c(0，)当x4和x2时，二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等，连结ac、bc（1）求实数a，b，c的值；（2）若点m、n同时从b点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿ba、bc边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结mn，将bmn沿mn翻折，b点恰好落在ac边上的p处，求t的值及点p的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点q，使得以b，n，q为顶点的三角形与abc相似？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得 解得a，b，c（2）由（1）知yx 2x，令y0，得x 2x0解得x13，x21a(3，0)，b(1，0)又c(0，)，oa3，ob1，oc，ab4，bc2tanaco，aco60，cao30同理，可求得cbo60，bco30，acb90abc是直角三角形又bmbnt，bmn是等边三角形bnm60，pnm60，pnc60rtpncrtabc，由题意知pnbnt，ncbcbn2t，tombmob1如图1，过点p作phx轴于h，则phpmsin60mhpmcos60ohommh1点p的坐标为(1，)（3）存在由（2）知abc是直角三角形，若bnq与abc相似，则bnq也是直角三角形二次函数yx 2x的图象的对称轴为x1点p在对称轴上pnx轴，pn对称轴又qnpn，pnbn，qnbnbnq不存在以点q为直角顶点的情形如图2，过点n作qn对称轴于q，连结bq，则bnq是以点n为直角顶点的直角三角形，且qnpn，mnq30pnq30，qntan60，当bnq以点n为直角顶点时，bnq与abc不相似如图3，延长nm交对称轴于点q，连结bq，则bmq120amp60，amqbmn60，pmq120bmqpmq，又pmbm，qmqmbmqpmq，bqmpqm30bnm60，qbn90cao30，acb90bnqabc当bnq以点b为直角顶点时，bnqabc设对称轴与x轴的交点为ddmqdmp60，dmdm，rtdmqrtdmpdqpd，点q与点p关于x轴对称点q的坐标为(1，)综合得，在抛物线的对称轴上存在点q(1，)，使得以b，n，q为顶点的三角形与abc相似2.如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点a(1，0)和点b(3，0)，与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m，问在对称轴上是否存在点p，使cmp为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点e为第二象限抛物线上一动点，连接be、ce，求四边形boce面积的最大值，并求此时e点的坐标解：（1）由题意得解得所求抛物线的解析式为yx 22x3；（2）存在符合条件的点p，其坐标为p(1，)或p(1，)或p(1，6)或p(1，)；（3）解法一：过点e作efx轴于点f，设e(m，m 22m3)（3 a 0）则efm 22m3，bfm3，ofms四边形boce sbef s梯形focebfef (efoc)of(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)m 2m(m)2当m时，s四边形boce 最大，且最大值为此时y()22()3此时e点的坐标为(，)解法二：过点e作efx轴于点f，设e(x，y)（3 x 0）则s四边形boce sbef s梯形focebfef (efoc)of(3x) y(3y)(x)(yx)(x 23x3)(x)2当x时，s四边形boce 最大，且最大值为此时y()22()3此时e点的坐标为(，)3.如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c其中点a在x轴的负半轴上，点c在y轴的负半轴上，线段oa、oc的长（oaoc）是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1）求a、b、c三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点d是线段ab上的一个动点（与点a、b不重合），过点d作debc交ac于点e，连结cd，设bd的长为m，cde的面积为s，求s与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围s是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时d点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）oa、oc的长是方程x 25x40的两个根，oaocoa1，oc4点a在x轴的负半轴，点c在y轴的负半轴a（1，0），c（0，4）抛物线yax 2bxc的对称轴为x1由对称性可得b点坐标为（3，0）a、b、c三点的坐标分别是：a（1，0），b（3，0），c（0，4）（2）点c（0，4）在抛物线yax 2bxc图象上，c44分将a（1，0），b（3，0）代入yax 2bx4得 解得此抛物线的解析式为yx 2x4（3）bdm，ad4m在rtboc中，bc 2ob 2oc 23 24 225，bc5debc，adeabc，即de过点e作efab于点f，则sinedfsincba，efde4ms scde sadc sade(4m)4(4m)(4m)m 22m(m2)22（0m4）0 当m2时，s有最大值2此时odobbd321此时d点坐标为（1，0）4.如图，抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于a、b两点（点a在点b右侧），过点a的直线交抛物线于另一点c，点c的坐标为(2，6)（1）求a的值及直线ac的函数关系式；（2）p是线段ac上一动点，过点p作y轴的平行线，交抛物线于点m，交x轴于点n求线段pm长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点m，使得cmp与apn相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点m的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意得6a(23)(21)，a2抛物线的解析式为y2(x3)(x1)，即y2x 24x6令2(x3)(x1)0，得x13，x21点a在点b右侧，a(1，0)，b(3，0)设直线ac的函数关系式为ykxb，把a(1，0)、c(2，6)代入，得 解得直线ac的函数关系式为y2x2（2）设p点的横坐标为m(2 m 1)，则p(m，2m2)，m(m，2m 24m6)pm2m 24m6(2m2)2m 22m42(m)2当m时，线段pm长度的最大值为存在. m1(0，6), m2(，)如图1，当m为直角顶点时，连结cm，则cmpm，cmpanp点c(2，6)，点m的纵坐标为6，代入y2x 24x6得2x 24x66，x2（舍去）或x0m1(0，6)（此时点m在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线mn与y轴重合，点n与原点o重合）)如图2，当c为直角顶点时，设m(m，2m 24m6)(2 m 1)过c作chmn于h，连结cm，设直线ac与y轴相交于点d则cmpnap又hmccmp，napoad，hmcoad c(2，6)，chm2，mh2m 24m662m 24m在y2x2中，令x0，得y2d(0，2)，od2 整理得4m 29m20，解得m2（舍去）或m当m时，2m 24m6()24()6 m2(，)2012中考数学压轴题选讲（九）1.如图，抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于a(3，0)、b两点，与y轴相交于点c(0，)当x4和x2时，二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等，连结ac、bc（1）求实数a，b，c的值；（2）若点m、n同时从b点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿ba、bc边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结mn，将bmn沿mn翻折，b点恰好落在ac边上的p处，求t的值及点p的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点q，使得以b，n，q为顶点的三角形与abc相似？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点a(1，0)和点b(3，0)，与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m，问在对称轴上是否存在点p，使cmp为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点e为第二象限抛物线上一动点，连接be、ce，求四边形boce面积的最大值，并求此时e点的坐标3.如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c其中点a在x轴的负半轴上，点c在y轴的负半轴上，线段oa、oc的长（oaoc）是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1）求a、b、c三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点d是线段ab上的一个动点（与点a、b不重合），过点d作debc交ac于点e，连结cd，设bd的长为m，cde的面积为s，求s与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围s是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时d点坐标；若不存在，请说明理由4.如图，抛物线ya(x