江苏省金湖县实验中学八年级数学上册 第十三章《13.3 乘法公式》教案 华东师大版.doc

第十三章13.3 乘法公式教案 一. 本周教学内容： 初二数学 第十四章 第三节 乘法公式 学习要求： 1. 理解乘法公式的意义，掌握乘法公式的结构特征，并能正确地运用乘法公式。 2. 弄清公式的变化形式，注意公式的应用条件。二. 重点、难点 学习重点：认识平方差公式和完全平方公式的结构特征，会用几何图形说明其意义。 学习难点：灵活运用公式解题。【典型例题】一. 两数和乘以它们的差： 1. 首先计算：(ab)(ab)a2b2 这就是说：两数和与它们差的积，等于这两数的平方差。 上面所列的这个公式，就是平方差公式。 2. 公式的结构特征：在平方差公式中，左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b)和(b)互为相反数，右边是符号相同的项的平方减去符号相反项的平方。 3. 弄清公式的变化形式： 公式(a+b)(ab)=a2b2有八种变化形式： 位置变化(a+b)(ab)=(b+a)(b+a)=a2b2 符号变化(ab)(ab)=b2a2 系数变化(4a+3b)(4a3b)=(4a)2(3b)2=16a29b2 指数变化(a2+b2)(a2b2)=(a2)2(b2)2=a4b4 增项变化(abc)(ab+c)=(ab)2c2=a2+b2c22ab 增因式变化(a+b)(ab)(ab)(a+b)=(a2b2)(a2b2)=(a2b2)2 连用公式变化 (ab)(a+b)(a2+b2)(a4+b4) =(a2b2)(a2+b2)(a4+b4) =(a4b4)(a4+b4) =a8b8 逆用公式变化 (ab+cd)2(a+bc+d)2 =(ab+cd)+(a+bc+d)(ab+cd)(a+bc+d) =2a(2b+2c2d) =4ac4ab4ad。 4. 注意公式的应用条件： 字母a、b，它们可以表示具体的数，也可以表示代数式。应用时，要紧扣“相同项”和“互为相反项”这两点。例如(3a+b)(ab)3a2b2，因为左边两个因式中的第一项3a和a不是相同项，不符合平方差公式的条件。而且在运算时要注意要将整个项全部平方。 (3a+2b)(3a2b)3a22b2 (3a+2b)(3a2b)=(3a)2(2b)2=9a24b2 5. 典型例题： 例1. 计算： （1）(a+3)(a3)（2）(2a+3b)(2a3b) （3）(1+2c)(12c)（4）(9x+4y)(9x4y) 解：（1）(a+3)(a3)=a232=a29 （2）(2a+3b)(2a3b)=(2a)2(3b)2=4a29b2 （3）(1+2c)(12c)=12(2c)2=14c2 （4）(9x+4y)(9x4y)=(9x)2(4y)2=81x216y2 例2. 计算： （1）(2m5)(2m+5)2m(3m1) （2）(2x5y)(2x+5y)(2x+3y)(2x3y) （3）(4a2b3+5mn2)(25m2n4+16a4b6)(4a2b35mn2) 解：（1）(2m5)(2m+5)2m(3m1) =(2m)2526m2+2m =4m2256m2+2m =2m2+2m25 （2）(2x5y)(2x+5y)(2x+3y)(2x3y) =4x225y2(4x29y2) =16y2 （3）(4a2b3+5mn2)(25m2n4+16a4b6)(4a2b35mn2) =(4a2b3+5mn2)(4a2b35mn2)(16a4b6+25m2n4) =(16a4b625m2n4)(16a4b6+25m2n4) =256a8b12625m4n8 例3. 用平方差公式计算： （1）10397（2）118122（3）2003220022004 解：（1）10397=(100+3)(1003)=100009=9991 （2）118122=(1202)(120+2)=12024=144004=14396 （3）2003220022004=20032(20031)(2003+1) =20032(200321) =1 例4. 分析：直接计算是不行的，注意到21=1，用1乘以原来的式子值不变，再利用公式可以计算。 解： （连续用平方差公式） 例5. 计算：(2x3y1)(2x3y+5) 分析：初看此题似不符公式的特点，似乎不能应用公式来解，若先将其变形，将“1”拆成“3+2”，将“5”拆成“3+2”，便可以应用公式求解。 解：原式=(23y)+(2x3)(23y)(2x3) =(23y)2(2x3)2 =9y24x212y+12x5二. 完全平方公式： 1. 计算(a+b)2=a2+2ab+b2 利用这个结果，可以直接得出两数和的平方。 上面这个算式也就是说：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍。 计算(ab)2=a22ab+b2 利用此结果，可以直接得出两数差的平方。 也就是说：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们乘积的2倍。 2. 完全平方公式的结构特征： 在和的平方这个公式中，左边是和的平方(a+b)2，右边是平方的和(a2+b2)加上乘积的2倍(2ab)。 在差的平方这个公式中，左边是差的平方(ab)2，右边是平方的和(a2+b2)减去乘积的2倍(2ab)。 3. 公式的灵活应用： (a+b)2=a2+2ab+b2(ab)2=a22ab+b2 得（1）(a+b)2=(ab)2+4ab （2）(a+b)2(ab)2=4ab （3）(a+b)2+(ab)2=2(a2+b2) 4. 公式应用时的注意事项： （1）公式中a、b既可以是数，也可以是整式。 （2）公式有时会逆用：a2+2ab+b2=(a+b)2 a22ab+b2=(ab)2 （3）公式中完全平方项的系数全是正数：不能(ab)2=a22abb2。 5. 典型例题： 例6. 计算： 解：（1）(2a+3b)2=(2a)2+22a3b+(3b)2 =4a2+12ab+9b2 （3）(2x3y)2=(2x)222x3y+(3y)2 =4x212xy+9y2 例7. 计算： （1）(5x2y)2+20xy（2）(6x9)22x(x3) （3）(3a+4b)2(2ab)2（4）(a2b)(a+2b)(a2b)2 解：（1）(5x2y)2+20xy=25x2+4y220xy+20xy =25x2+4y2（2）(6x9)22x(x3)=36x2+81108x2x2+6x =34x2102x+81 （3）(3a+4b)2(2ab)2=9a2+16b2+24ab4a2b2+4ab =5a2+15b2+28ab （4）(a2b)(a+2b)(a2b)2=a24b2(a2+4b24ab) =8b2+4ab 例8. 已知x2+y2=26，4xy=12，求(x+y)2和(xy)2的值。 解： 例9. 已知mn=3，mn=10，求（1）m2+n2；（2）(m+n)2。 分析：此题最自然的思路是先求m、n但较困难，因而争取想到利用公式变形来求解。 解：（1）m2+n2=(mn)2+2mn=32+210=29 （2）(m+n)2=(mn)2+4mn=32+410=49 例10. 分析：此式可直接求解，但较困难，不如可逆用(ab)2=a22ab+b2得a22ab+b2=(ab)2。 解： 课后小结： 1. 在平方差公式的应用中，经常要注意两个问题：（1）是否可用平方差公式。（2）关于平方差公式中的符号。 2. 在完全平方公式的应用中，主要考虑完全平方和与完全平方差公式的互相转换，这是完全平方公式的重点。 3. 在解题时，经常会用到乘法公式逆用的情况，要灵活地运用乘法公式。【模拟试题】 1. 计算： （1）(5+6x)(56x) （3）(x2y)(x+2y) （4）(ab+8)(ab8) （5）(m+n)(mn) （6）(2x+3y)(2x3y) 2. 计算： 3. 计算： （1）(a+b+3)(a+b3) （2）(ab+c)(a+bc) （3）(a2+ab+b2)(a2ab+b2) 5. 已知(a+b)2=11 (ab)2=5 求a2+b2；ab。 6. 计算(a+b+c)2 (a+b)3 (ab)3【试题答案】 1. （1）(5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2 （3）(x2y)(x+2y)=x24y2 （4）(ab+8)(ab8)=(ab)282=a2b264 （5）(m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2 （6）(2x+3y)(2x3y)=(2x)2(3y)2=4x29y2 2. 解： （1）(2x+3)2=4x2+12x+9 （2）(4x+5y)2=(4x)2+24x5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2 （4）(ab)2=(a)22(a)b+(+b)2=a2+2ab+b2 3. 解： （1）(a+b+3)(a+b3)=(a+b)232=a2+2ab+b29 （2）(ab+c)(a+bc)=(ab+c)a(b+c)=a2(b+c)2=a2b2c2+2bc （3）(a2+ab+b2)(a2ab+b2)=(a2+b2)+ab(a2+b2)ab =(a2+b2)2(ab)2 =a4+b4+2a2b2a2b2 =a4+b4+a2b2 4. 解： 又 。 5. 解：(a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2 故 (a+b)2+(ab)2=2(a2+b2) 得 (a+b)2(ab)2=4ab 得 6. 解： (a