中国矿业大学(徐州)09级 大一上学期 数学分析(1)期末试题(A卷)及答案.doc_第1页
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中国矿业大学0910学年第1学期 数学分析(1) 试卷(A)考试时间：120分钟 考试方式：闭卷学院 理学院 班级_ _ _姓名_ _学号_题号一二三总分得分一、叙述题(每题5分共20分)1叙述在区间上有上确界的定义。2叙述的定义，并叙述不是无穷大的定义。3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。4. 叙述导数极限定理。二、计算题（每题5分共20分）1 设（），求。2求曲线在对应点的切线方程。3求。4求的极值。三、证明题（每题10分共60分）1设，证明数列收敛。2. 设在连续，且，。证明在上一致连续。3. 设，而，证明。4. 设（1）求导函数；（2）证明在点不连续；（3）证明在点的任何邻域不单调。5. 证明不等式：，其中。6. 设在具有二阶导数，且，证明对内任意个点有不等式其中 参考答案 一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分共20分）1 设（），求。解 取满足，由知，当时，从而上式两边取极限并利用结论(为常数)和迫敛性得。2求曲线在对应点的切线方程。解 因为 ，所以当时，；。那么切线方程为即或当时，故切线方程是3求。解 。或或4求的极值。解 ，得稳定点0+0+0无极值极大值或，得稳定点又 ，所以在不取极值。，所以在取极大值。三、证明题（每题10分共60分）1设 ，证明数列收敛。证 显然递增，下证有上界。事实上，。于是由单调有界定理，收敛。或由Cauchy准则，易知收敛。2. 设在连续，且，都存在。证明在上一致连续。证 因为存在，由Cauchy准则可知，当时，有。 (1)又由存在，当时，有。 (2)另一方面在上连续，所以在一致连续。于是即对上述，当，且就有。 (3)这样，当，且时，(i) 若，由(1)式，；(ii) 若，由(2)式，；(iii) 若或，则由(3)式，。根据定义，即得在上一致连续。或承上，在都是一致连续的，由书上例题结论在上一致连续。3. 设，而，证明。证 由，当时，有由，对上面，当时，有综上，当，有即 4. 设（1）求导函数；（2）证明在点不连续；（3）证明在点的任何邻域不单调。证 (1) (2) 因为，而 不存在（理由见后），易知(用反证法)不存在。所以在点不连续；事实上，取由归结原则不存在。(3) 的任何邻域都不能保持相同符号。事实上，对一切正整数有而。故在的任何邻域内都不单调。5. 证明不等式：，其中。证 设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得因为，所以从而。6. 设在具有二阶导
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