2014江苏高考数学二轮复习解析几何中动态问题的切入点探究.doc

江苏省木渎高级中学数学组2014江苏高考数学二轮复习解析几何中动态问题的切入点探究 江苏省木渎高级中学 吴亭【本节重点】 解析几何中常见的动态问题：位置关系的证明，定点定值的探究，取值范围、最值等，如何找寻上述问题的切入点【本节难点】 利用题设中量与量之间的联系，合理选择问题的切入点【基础训练】1已知椭圆：的左右焦点分别为、，设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，则面积的最大值为 2已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=AB，则点P的横坐标的取值范围为 【样题剖析】例1已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点若，则 变式：已知椭圆C的方程为=1，直线l与轴交于点P（m，0），与椭圆C交于相异两点A、B，且，则实数的取值范围是 例2已知椭圆C：=1的离心率为，P为椭圆C上一点，点P横坐标为2过点P作互相垂直的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，其中直线过原点，证明：直线过定点 变式：如图，已知椭圆C：=1，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N求面积的取值范围小结：【巩固练习】1已知椭圆：的左焦点为，设为椭圆右准线上任意一点，线段交椭圆于点，则的取值范围是 2已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为： 且椭圆过点，以为直径的圆恰好过右焦点（1）求椭圆的方程：（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线的距离之积为？若存在，请求出两定点坐标，若不存在，说明理由.关于解析几何中动态问题切入点探究的几点说明圆锥曲线的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系是高中数学重要内容之一，尤其是一些“动态”问题，如：位置关系的证明，定点定值的探究，取值范围、最值的研究等等。困难之处主要在于对几何图形的分析和复杂的代数运算，而计算量过大往往跟不恰当的切入点选择有关系。寻找到合适的切入点是解决问题的关键，与以下两方面密切相关：一、分析动源对复杂的解析几何问题，在审题时应注意发掘动态问题中运动的根源。一般分为如下题型：题型一：动点问题。基础训练1是点在曲线（椭圆）上运动，巩固练习1是点在定直线上运动；题型二：动直线问题。基础训练2、例1变式和例2变式都是动直线的范围问题，巩固练习2是定值问题；题型三：动曲线问题。例1是动椭圆中的定值问题，例2是动椭圆中的定点问题。每个人看待问题的角度不同，问题也不是一成不变的。比如动直线、动曲线问题也可以理解为动点问题。找到动源之后，我们也不能片面地理解成：动点问题就利用点的坐标满足曲线方程来解决，动直线问题就利用直线方程与曲线方程联立方程组来处理。对几何图形详细分析，找到量与量之间的联系，有利于找到合适的切入点。二、合理联系解析几何动态问题中有一些形似神不似的“姊妹题”，注意比较题目中各种量的变化和联系，有利于总结切入点选择的一般思路。比如：基础训练2中的条件“PA=AB”通常处理方法有：利用三点坐标的关系及A、B的坐标满足圆的方程；利用圆中半弦、半径和弦心距之间的关系。例1中的条件 “”通常处理方法有：利用向量寻找坐标关系；利用圆锥曲线的第二定义化斜为直。例1变式中的条件 “” 通常处理方法有：利用向量寻找坐标关系；利用直线方程与韦达定理。三个如此形似的问题，各自合适的切入点却大相径庭，究其原因是题目中各种关系量发生了变化，需要合理地与题目中其他条件建立联系，切不可抱残守缺，不作变通。 另外，在我们所研究的动态问题中，部分问题是动中有定的。如果我们对一些常见规律有所了解，对于我们分析动源、合理联系有事半功倍的作用。比如：例2变式中“倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B”，直线AB的斜率是定值，此定值即为点P关于轴对称点处的切线斜率；例2中也有两直线斜率之积为定值，即。这些隐含信息的发掘，都需要我们注重分析图形和条件间的联系，找准问题的切入点。参考答案：【基础训练】1已知椭圆：的左右焦点分别为、，设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，则面积的最大值为 解：设，则，又，当圆与椭圆的右准线 有公共点时，又得，则当时，所以2已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标的取值范围为 解：取中点，连接、，设则 相减得， ，即【样题剖析】例1（1）（2010全国卷）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则 解：设直线为椭圆的准线，为离心率，过两点分别作、垂直于，、为垂足，过作垂直于，则，,又，得，从而（2）已知椭圆C的方程为=1，直线l与y轴交于点P（m，0），与椭圆C交于相异两点A、B，且，则实数的取值范围是 解：设、，由 ，得即，代入，得所以，得，由得，则时，A、B、P三点重合，即或例2如图，已知椭圆C：=1的离心率为，P为椭圆C上一点，点P横坐标为2过点P作互相垂直的两条直线，分别与椭圆交于两点A、B两点，其中直线过原点，证明：直线过定点解：设，则，又，从而方程为，即直线过定点变式：如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N（）求椭圆C的方程；（）求的面积的取值范围解：（1）由题意得，则，又点P（2，1）在椭圆上，得，椭圆C的方程为（2）设直线的方程为，代入得，方程一根为2，与倾斜角互补，斜率为，同理得，从而，设直线的方程为，即，则，点P（2，1）到的距离，又，将代入得。得，【巩固练习】1已知椭圆：的左焦点为，设为椭圆右准线上任意一点，线段交椭圆于点，则的取值范围是 解：设，右准线为，则，又， ，从而2已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为： 且椭圆过点，以为直径的圆恰好过右焦点（1）求椭圆的方程：（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标，若不存在，说明理由.解：(1)因为椭圆过点P(，),所以=1,解得a2=2, 又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即-= -1,b2=c(4-3c).而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1, 故椭圆C的方程是+y2=1. (2)当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以=16k2p24(1+2k2)(2p22)=8(1+2k2p2)=0，即 1+2k2=p2. 设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 = =1,即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st