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一致连续函数的极限定义连续函数的极限定义形式是我们熟悉的，一致连续函数却很少出现极限定义形式。还是先看看这两者的区别。先看定义：函数在上连续：函数在上一致连续：令，则，两个定义可以表示为：函数在上连续：函数在上一致连续：从在定义中的位置可知：连续函数的随变化，一致连续函数则不。用关于的极限方式来表达：函数在上连续：函数在上一致连续：这看不出两者有什么不同，但前者与有关，后者则无关。后者可用二重极限表示： 问题是，后一个极限中在什么范围？我们指出：，即的闭包。于是函数在上一致连续：这样，一致连续函数也和连续函数一样，有了极限定义形式。我们将为此作出等价证明。我们称不属于的聚点为的外聚点，如果端点含，也算外聚点。连续函数和一致连续函数的本质区别发生在外聚点上。先证函数在上一致连续的充分性：， 1)当无外聚点时，二重极限可表示为： （*）当时，有，于是在连续，由的任意性，在上连续。当是的外聚点时，对于数列，足够大时，有取，考虑到，在上连续，令，则（这里用到一个极限存在，极限加减法便可实施的规则）当足够大时，取使，则故以为极限，考虑到极限的唯一性，必为确定的数，记为于是，即若定义，则在上连续，若为端点，则为单侧连续。此时在有限闭集上连续，故必一致连续。于是在上也一致连续。2）当是的外聚点时，二重极限可表示为： （*）将沿分为有限部分和无穷部分，由1）知，在上一致连续。而在满足（*），在有满足一致连续定义的统一的，若取，则在整个上，有满足一致连续定义的，于是在有限闭集上一致连续。在上也一致连续。再证函数在上一致连续的必要性：由 （*）若，因在连续，二元函数在必连续，故 若是的外聚点时，在的任意邻域内，都有（*），所以或者（无穷远邻域）故从证明过程不难发现，对于一个连续函数来说，当且仅当所有外聚点满足时，函数一致连续。用二重极限判定一致连续的最大好处，是无需寻找与自变量无关的，找这个是件很烦心的事情，找到固然好，没找到却不能说不一致连续，只说明问题处于悬疑状态。用二重极限则非常明朗，极限为0,则一致连续，否则不一致连续。以计算代替寻找，无疑方便许多。例1：讨论的一致连续性。解：考虑外聚点，令，则，故原函数在整个实数集上不一致连续，但在任何区间（为有限数）上一致连续，因为 ，故例2：讨论的一致连续性解：取=，则这个极限随着的取值不同而不同，故原二重极
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