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重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数理学院 学科、专业名称：应用数学考试科目（代码）：高等代数(801) （试题共 3 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一填空题（每小题3分，共15分）1. 已知是实系数多项式的一个根，则 .2.设，为的伴随矩阵，则 .3. 设是三维列向量，是的转置，若，则 .4. 设矩阵，其中，则解空间维数为 .5. 设为阶方阵，且满足，则的特征值必有 .二单项选择题（每小题3分，共15分）1.设与均是阶非零矩阵，若，且，则齐次线性方程组解空间的维数（ ）.等于； .大于或等于； .大于； .小于2. 向量组 线性无关的充要条件是（ ）.存在不全为零的数，使得；.中至少有一个向量不能由其余向量线性表示；.中任意两个向量都线性无关；.中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3. 设表示数域上一切阶矩阵对于矩阵加法和数与矩阵的乘法所作成的向量空间，则下列集合中构成子空间的是_ .； .；.； .4.设为阶实对称矩阵，且，则的全部特征值为（ ）.； .； .； .5.设矩阵，则下列矩阵与在实数域上合同的是（ ）.； .； .； .三（15分）设都为多项式，且，证明：四（12分）计算阶行列式五（16分）当与取何值时，方程组有解，有解时，求出其解。六（16分）若，其中是阶方阵，证明：七（12分）设为阶方阵， 而是所有与可交换的阶实方阵全体，即 。 (1) 证明：是线性空间；（6分）(2) 求；（4分）(3) 证明：（2分）八（14分）给定欧式空间中的向量，子空间， 计算向量与的长度及夹角；（6分） 求的正交补空间及其标准正交基。（8分）九（15分）设为阶方阵，且其特征值不为，为的转置，为阶单位阵，证明：(1) 与都可逆；（6分）(2) 是正交矩阵的充要条件是（9分）十（20分）给定实二次型的秩为， 求参数；（6分） 应用正交变换将已知二
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