乘法公式(和的平方公式)延伸之系数探讨.doc

乘法公式（和的平方公式）延伸之係數探討壹、 摘要：一、 將展開可以整理得到下面的形式：展開前展開後係數所成三角形=1=1 1=1 2 1=1 3 3 1=1 4 6 4 1=1 5 10 10 5 1=1 6 15 20 15 6 1=1 7 21 35 35 21 7 1二、 所構成的三角形有著有趣的數學規律11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1（一）經由我們的觀察可以得到下面的結果：1.這個三角形中數字排列是左右對稱2.除了左右兩側都是1,上面兩個數之和等於下面的數3.由上而下將每一列的數字相加總合是的次方1=201=2=211+2+1=4=221+3+3+1=8=231+4+6+4+1=16=241+5+10+10+5+1=32=251+6+15+20+15+6+1=64=261+7+21+35+35+21+7+1=27 （二）將三角形逆時鐘旋轉可以得到下面的形式： 1. 三角形中每個數是前一行中從最左的數到位於正上方的數的和。11111111123456713610 15211+3+6+10+15=3514102035 15153516211712.三角形中每個數是前一列中從最頂端的數到位於正左方的數的和。11111111123456713610 15211+4+10+20=35141020351515351621171 3.三角形中每個數A,A所在的行與列所包圍(本身不含在內)的矩形中所含的各數之和恰好等於A-1。11111111123456713610 1521141020351+1+1+1+2+3+1+3+6+1+4+10=34=35-11515351621171貳、研究動機：課本上的乘法公式，利用面積的概念得到：和的平方公式：，其中,的係數分別為，差的平方公式：，其中,的係數分別為，那我們想到如果以後遇到如,次方越來越大的時候，展開的項數越來越多，次方也越來越大，而在這些乘方展開究竟有無規則，如果有的話又有什麼樣的巧妙關係呢？參、研究目的：探討從,展開後各項之間係數的變化規則，讓往後乘法公式的展開不再利用繁瑣的乘法去逐步計算，而有明確易懂的規則。肆、研究過程或方法一、將展開探討各項係數變化 我們整理可以得到下表：展開後的各項係數1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1 如果在上面加上三個1，就可以變成像下面的三角形11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1 伍、研究結果經由我們的觀察可以得到下面的結果：1.這個三角形中數字排列是左右對稱2.除了左右兩側都是1,上面兩個數之和等於下面的數1=201=2=211+2+1=4=221+3+3+1=8=231+4+6+4+1=16=241+5+10+10+5+1=32=251+6+15+20+15+6+1=64=261+7+21+35+35+21+7+1=273.由上而下將每一列的數字相加總合是的次方11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1兩數之間相差0常數數列 兩數之間相差1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 回到的地方兩數之間相差2 3 4 5 6 7 8 9 10回到的地方差之間相差1 1 1 1 1 1 1 1 回到的地方 兩數之間相差 3 6 10 15 21 28 36 45 回到的地方 差之間相差 3 4 5 6 7 8 9 回到的地方 差之間相差 1 1 1 1 1 回到的地方 兩數之間相差 4 10 20 35 56 84 120 回到 的地方差之間相差 6 10 15 21 28 36 回到的地方差之間相差 4 5 6 7 8 回到的地方差之間相差 1 1 1 1 回到的地方兩數之間相差5 15 35 70 126 210 回到 的地方兩數之間相差 10 20 35 56 84 回到 的地方差之間相差10 15 21 28 回到差之間相差 5 6 7 回到的地方差之間相差 1 1 回到的地方陸、討論：一、三角形中有趣的數學規律：（一）將三角形逆時鐘旋轉可以得到下面的形式：11111111123456713610 15211410203515153516211711.三角形中每個數是前一行中從最左的數到位於正上方的數的和。11111111123456713610 152114102035 1515351621171 1+3+6+10+15=352.三角形中每個數是前一列中從最頂端的數到位於正左方的數的和。11111111123456713610 15211+4+10+20=35141020351515351621171 3.三角形中任一個數A,A所在的行與列所包圍(本身不含在內)的矩形中所含的各數之和恰好等於A-1。11111111123456713610 1521141020351+1+1+1+2+3+1+3+6+1+4+10=34=35-11515351621171柒、生活中的應用一、 用在日常生活中的存款分為單利和複利，複利的計算方式是：第一年結算結果是本金加上利息算入第二年的本金，依此類推也就是如果第一年的本金為元，利息為，把前五年本利和可以整理成下表：年份本利和第一年=第二年=第三年=第四年=第五年=柒、結論經過了展開的結果，發現各個式子間的數字有著奇妙的規律性，也使我們體會到題目的計算不僅只是重複而單調的過