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第十五章虚位移原理 2 虚位移原理是用动力学的方法来研究任意非自由质点系的平衡规律 即从位移和功的概念出发 得出任意非自由质点系的平衡条件 虚位移原理不仅用来解静力平衡问题 将它与达朗伯原理结合起来 可得到解答动力学问题的动力学普遍方程 3 虚位移原理 第十五章虚位移原理 15 1约束与约束方程 15 2广义坐标与自由度 15 3虚位移 虚功 15 4理想约束 15 5虚位移原理 15 6以广义坐标表示的虚位移原理习题课 4 15 1约束与约束方程 限制质点系的几何位置或运动的条件称为约束 表示这些限制条件的数学方程称为约束方程 几何约束和运动约束 限制质点或质点系的几何位置的条件称为几何约束 l 图示单摆的约束方程 虚位移原理 5 图示曲柄连杆滑块机构的约束方程 限制质点系中各质点速度的条件称为运动约束 车轮纯滚动的约束方程 B xB yB 虚位移原理 6 定常约束和非定常约束 不随时间变化的约束称为定常约束 随时间变化的约束称为非定常约束 图示单摆的约束方程 完整约束和非完整约束 约束方程中不含坐标对时间的导数 或约束方程中微分项可以积分为有限形式 这类约束称为完整约束 约束方程中含有坐标对时间的导数 例如运动约束 而且方程不可能积分为有限形式 这类约束称为非完整约束 虚位移原理 7 15 2广义坐标与自由度 用来确定质点系位置的独立参变量称为广义坐标 通常用q来表示 广义坐标可以是直角坐标 弧坐标 角度等 用来确定质点系位置所需独立参变量的数目 称为质点系的自由度 l 图示单摆是1个自由度 若取摆角 为广义坐标 则有 虚位移原理 8 图示曲柄连杆滑块机构也是1个自由度 若取曲柄OA的转角 为广义坐标 则有 A xA yA B xB yB 虚位移原理 9 图示双摆是2个自由度 若取摆角 1 2为广义坐标 则有 设一具有定常 完整约束的由n个质点组成的质点系 自由度为k 广义坐标为q1 q2 qk 则质点系内任一质点Mi的直角坐标和矢径可表示为 虚位移原理 10 对于非定常约束质点系 各质点的直角坐标和矢径应表示为广义坐标和时间的函数 虚位移原理 11 例1 位于水平滑道上的物块A与杆AB铰接 带孔的小球M套在杆上 并用弹簧拉住 弹簧另一端拴在铰A上 试确定该系统的自由度 解 用一水平坐标x即可确定物块A的位置 但AB杆与小球M的位置仍无法确定 若增加AB杆与铅垂线的偏角 则物块A与杆AB的位置都可确定 但小球M在杆上的位置仍无法确定 再增加小球M到铰A的距离S 则整个系统的位置就可确定了 因此该系统为3个自由度 虚位移原理 12 15 3虚位移 虚功 虚位移 质点或质点系在约束允许的条件下 任何可能发生的微小位移 称为质点或质点系的虚位移 虚位移和实位移是两个完全不同的概念 虚位移是虚拟的 实际上并没有发生的位移 实位移是质点或质点系在一定时间内实际发生的位移 虚位移可以是线位移 也可以是角位移 用变分符号 表示 如 虚位移原理 13 虚位移 实位移 只与约束有关 不仅与约束有关 还与作用力 时间 初始速度 初始位移有关 不是唯一的 只要约束允许可能有几种不同方向 是唯一的 具有确定的方向 必须是微小位移 否则会破坏系统的平衡位置 可以是微小位移 也可以是有限位移 虚位移与实位移比较 实际上并没发生的虚拟位移 实际上已将发生的位移 虚位移原理 14 对于定常几何约束质点系 其实位移是虚位移之一 由位移与速度关系 知实位移与速度同向 各质点的实位移间关系与速度间关系相同 因此 可仿照运动学确定速度方向及其相互关系那样 确定各质点的虚位移方向及其相互关系 平动刚体各点虚位移相同 A B C 确定虚位移可用下面两种方法 几何法 虚位移原理 15 定轴转动刚体各点虚位移垂直于转动半径 大小与转动半径成正比 平面运动刚体任意两点的虚位移在其连线方向投影相等 或垂直于到瞬心的转动半径 大小与转动半径成正比 A B O A B P 虚位移原理 16 A B C D O1 O2 60 例1 图示系统 O1A O1B 画A B C D点的虚位移 并计算A D点的虚位移关系 虚位移原理 17 a a a 例2 画图示系统A B C D点的虚位移 并计算A D点的虚位移关系 虚位移原理 18 解析法 虚位移原理 19 O A B C 例3 求图示系统A B C点的虚位移 解 y x 虚位移原理 20 动力学 练习1 求图示系统C B两点虚位移之比 A B C O 解法1 几何法 画A B C点的虚位移 y x 21 A B C O 解法2 解析法 建立图示坐标系 x y 虚位移原理 22 虚功 力在虚位移上作的功称为虚功 用 W表示之 虚功中力是实的 位移是虚的 虚功的计算与实功的计算方式相同 几何法 解析法 O A 力偶的虚功 M与 转向相同时 虚功为正 M与 转向相反时 虚功为负 虚位移原理 23 15 4理想约束 约束反力的虚功为零的约束称为理想约束 即 静力学所讲的各种常见约束都是理想约束 例如 光滑接触面 O A B 光滑铰链 虚位移原理 24 链杆 A B 链杆为刚体 柔索 A B 柔索不可伸长 虚位移原理 25 15 5虚位移原理 具有定常 理想约束质点系 在给定位置平衡的必要与充分条件是 作用于质点系的主动力在系统的任何虚位移中所作虚功之和等于零 即 写成解析式 虚位移原理 26 必要性证明 若质点系平衡 则 质点系平衡 则质点系中每个质点都是平衡的 设作用在质点mi上的主动力 约束反力 必有 质点mi的虚位移为 有 对于质点系 有 具有理想约束质点系 有 必要性得证 虚位移原理 27 充分性证明 若成立 则质点系平衡 反证法 若成立 质点系不平衡 则必有一个以上的质点由静止进入运动 作用在运动质点上的主动力和约束反力合成一合力 质点必沿方向产生一微小实位移 对于定常约束质点系 微小实位移与虚位移之一重合 故有 对于质点系 则有 虚位移原理 28 具有理想约束质点系 因此 这与假设矛盾 所以质点系不可能进入运动 一定平衡 充分性得证 几何法解题步骤 计算主动力作用点虚位移间关系 代入虚功方程求解未知量 画主动力作用点和相关点的虚位移 根据主动力和虚位移的方向 建立虚功方程 虚位移原理 29 A B C O 例1 图示系统 尺寸a l已知 平衡时 主动力和角 已知 求主动力的大小 解法1 几何法 参看 15 3 练习1 的虚位移图 由 15 3 练习1 得虚位移关系 虚位移原理 30 解析法解题步骤 写出虚功方程中出现的坐标 并取变分求虚位移 变分运算与微分运算相同 建立坐标系 坐标原点必须取在固定点 按法建立虚功方程 将虚位移代入虚功方程 求解未知量 虚位移原理 31 A B C O 解法2 解析法 参看 15 3 练习1 解析法求虚位移 x y 虚位移原理 32 例2 系统在图示位置平衡 已知OA OB CD AB O1D OB m 200N m OA 20cm 求P值 解 画系统虚位移如图 将上述关系代入虚功方程 得 虚位移原理 33 A B C D E F 例3 图示系统 AE BD 2l DF EF l 求系统平衡时P与Q的关系 解 建立图示坐标系 虚位移原理 34 应用几何法 还是解析法 对不同的问题 解题的难易程度差别甚大 只要多作练习 即可容易地作出选择 一般可以几何法为主 若虚位移方向不好确定 虚位移间关系不易计算时 再改用解析法 应用虚位移原理也可求静定结构的支座反力和桁架杆件内力 但需解决两个问题 将要求的支座反力或杆件内力视作主动力 去掉约束 使原静定结构变成可变机构 能有虚位移 静定结构无虚位移 虚位移原理 35 求静定结构的支座反力 将要求的支座反力的支座约束去掉 代之以相应的约束反力 并将该约束反力视作主动力 然后即可用虚位移原理求解 例4 已知 q 4kN P 20kN 求支座A D的约束反力 q A B C D E F 2m 1m 1m 1m 1m 1m 虚位移原理 36 q A B C D E F 解 去掉支座D 代之以反力 将视作主动力 画虚位移图 杆CE作定轴转动 杆EF作平面运动 虚位移原理 37 A B C D E F 2m 1m 1m 1m 1m 1m q 去掉支座A的竖向约束 代之以反力 视为主动力 画虚位移图 杆AC CE EF作平面运动 虚位移原理 38 练习1 已知q 2kN m P 10kN m 8kN m 求支座A B的约束反力 4m 2m q m A B C 解 求 去掉支座B 代之以反力 画虚位移图 q m A B C 虚位移原理 39 q m A B C 求 去掉固端A的竖向约束 代之以反力 画虚位移图 q m A B C 虚位移原理 40 q m A B C 求mA 去掉固端A的转角约束 代之以反力mA 画虚位移图 q m A B C mA 虚位移原理 41 q m A B C mA 求静定桁架的杆件内力 将要求内力的杆件截开 代之以相应的杆件内力 并将该杆件内力视作主动力 然后即可用虚位移原理求解 虚位移原理 42 例5 求图示桁架1 2 3杆的内力 A B C D E A B C D E 解 将1杆截开 代之以内力 并视为主动力 画系统的虚位移图 ABC不动 杆BD CE定轴转动 杆DE平动 a a a a 虚位移原理 43 A B C D E 将2杆截开 代之以内力 并视为主动力 画系统的虚位移图 ABC不动 CDE定轴转动 虚位移原理 44 A B C D E O 将3杆截开 代之以内力 并视为主动力 画系统的虚位移图 AB不动 AC BD定轴转动 CDE平面运动 虚位移原理 45 练习1 图示桁架各杆长度相等 求1 2杆内力 A B C D E A B C D E 解 将1杆截开 代之以内力 并视为主动力 画系统的虚位移图 ACD定轴转动 BCE平面运动 虚位移原理 46 A B C D E 将2杆截开 代之以内力 并视为主动力 画系统的虚位移图 ACDE定轴转动 BC平面运动 虚位移原理 47 15 6以广义坐标表示的虚位移原理 虚位移原理 48 即 这就是以广义坐标表示的虚位移原理 式中称为第j号广义虚位移 称为与第j号广义虚位移相对应的第j号广义力 当是线位移时 是力的量纲 当是角位移时 是力矩的量纲 虚位移原理 49 式中是独立的 则必有 这就是以广义力表示的质点系平衡条件 具有定常 理想约束质点系平衡的必要与充分条件是 对应于各广义坐标的广义力都等于零 用求解单自由度系统的平衡问题与前面所讲并无差别 但求多自由度系统的平衡问题则很方便 解题的关键在于如何求广义力 通常可用下述两种方法 虚位移原理 50 令第j号广义虚位移不等于零 其余的广义虚位移都等于零 计算主动力的虚功 代入下式求之 直接由公式计算 虚位移原理 51 k A B x O Mg mg x y C 例1 图示系统 滑块A和均质杆AB的质量分别为m M 杆AB长为a 弹簧的刚性系数为k 原长为lo 求系统图示位置的广义力 解 图示系统为