第2章 矩阵.ppt

第2章矩阵 2 1矩阵与向量 2 3矩阵的创建 2 2向量的创建 2 4矩阵的运算 2 1矩阵与向量 第2章矩阵 由m行n列构成的数组a称为 m n 阶矩阵 它总共由 m n 个元素组成并按如下的形式排列 注 矩阵的元素记为aij 其中 i表示行 j表示列 1 size a size可显示出两个值 第一个值为行数 m 第二个值为列数 n 2 m n size a 表示矩阵的行数赋给m 列数赋给n 一 矩阵 当m n时 a称为方阵 二 方阵 三 对角阵 当aij 0 i j 且m n时 得到对角阵 四 列矩阵和行矩阵 当aij ai1 即只有一列时 称为列矩阵或者列向量 记做 1 列阵 第2章矩阵 2 行矩阵 当aij a1j 即只有一行时 称为行矩阵或者行向量 记做 注 在MATLAB中 这是向量的默认定义 五 矩阵和向量的转置 矩阵的转置用 表示 第2章矩阵 第2章矩阵 六 对角阵与三角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵 对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵 对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵 1 对角阵 设A为m n矩阵 diag A 函数用于提取矩阵A主对角线元素 产生一个具有min m n 个元素的列向量 diag A 函数还有一种形式diag A k 其功能是提取第k条对角线的元素 中间为0条 下负 上正 1 提取矩阵的对角线元素 例 A 4 65 54 0 6 56 0 67 45 0 B 4 65 54 0 6 56 0 67 45 diag A ans 40 diag B 2 ans 54 diag B 0 ans 46 45 第2章矩阵 2 构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量 diag V 将产生一个m m对角矩阵 其主对角线元素即为向量V的元素 diag V 函数也有另一种形式diag V k 其功能是产生一个n n n m 对角阵 其第k条对角线的元素即为向量V的元素 例 V 123 diag V ans 100020003 diag V 1 ans 0100002000030000 例 先建立5 5矩阵A 然后将A的第一行元素乘以1 第二行乘以2 第五行乘以5 A 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19 D diag 1 5 D A 用D左乘A 对A的每行乘以一个指定常数 第2章矩阵 2 三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵 所谓上三角阵 即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵 而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵 1 上三角矩阵 求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu A triu A 函数也有另一种形式triu A k 其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素 例如 提取矩阵A的第2条对角线以上的元素 形成新的矩阵B 2 下三角矩阵 在MATLAB中 提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril A 和tril A k 其用法与提取上三角矩阵的函数triu A 和triu A k 完全相同 第2章矩阵 例 A 137 248 368 triu A ans 137048008 triu A 1 ans 137248068 七 矩阵的旋转 1 利用函数rot90 A k 将矩阵A旋转90 的k倍 当k为1时可省略 A 137248368 rot90 A 1 ans 788346123 第2章矩阵 2 矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换 第二列和倒数第二列调换 依次类推 MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr A 3 矩阵的上下翻转 MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud A 2 2向量的创建 一 向量 向量可以表示为 f axb 或f a x b 其中a x b 可以是变量 数值 表达式或字符串 注 如果它们是变量或表达式 则所有变量及由这些变量所构成的表达式必须先定义 并且在执行语句之前 每一个变量必须先赋值 例 如果a是一个表达式 则表达式字符和运算符之间无空格 如果a h dg 则f可以写成 f h d gxb 或f h d g x b 二 向量创建的两个主要方法 第2章矩阵 1 使用冒号来指定数值范围和相邻值的步长 其中s 起始值或初始化值 d 增量或减量值 f 结束值或终值 x s d f 第2章矩阵 因此 可产生如下的行向量x x ss ds 2d s nd 其中s nd f 注意 在创建向量x时没有直接指定n的数值 s d和f可以是数值 变量和表达式的任意组合 当d省略时 MATLAB默认d 1 即x s f例如 x s s 1 s 2 s n 其中s n f 向量x中元素的个数由式n length x 确定 2 指定n为从s到f的等间隔值 x linspace s f n 其增量或减量值d由MATLAB通过下式计算 因此 linspace可创建如下的向量 x s s d s 2d s n 1 d 注意 s和f的值可以为正也可以为负 并允许s f或s f 如果没有指定n的值 MATLAB给出默认值n 100 第2章矩阵 三 向量中元素值的获取 行向量b b1b2b3 bn 可用b 3 或b 1 3 获得第三个元素b3 1 行向量 列向量b b1b2b3 bn 可用b 3 或b 3 1 获得第三个元素b3 2 列向量 四 向量操作的几个命令 例 创建 2 1 3 5 7 9 10 的向量x 可通过下式实现 x 21 2 910 或x 2 1 3 5 7 9 10 1 向量与标量进行加减运算时 标量与向量中的每一个元素相加减 例 z x 1的结果为z 3024689 2 可以修改向量中的某些元素 例 z中的第二个元素除以2 可写为z 2 z 2 2 第2章矩阵 3 由现有向量创建新向量 1 如要创建一个由z的第三到第五个元素组成的新向量x 则x z 3 5 4 确定向量中元素的个数 2 如要创建一个由z的前两个元素和后两个元素组成的向量x 则x z 1 z 2 z 6 z 7 或x z 1 2 6 7 用length命令 即n length x 第2章矩阵 2 3矩阵的创建 一 矩阵创建的基本方法 对于 4 3 阶矩阵a 可以有以下几种方法来创建 1 先创建向量 再创建矩阵 注 其中分号表示行的结束 第2章矩阵 2 直接创建矩阵 a a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 a41a42a43 或形象的描述方法 a a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 a41a42a43 或通过在每一行的末尾处按下Enter键来完成 a a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43 注意 以上几种形式中 可以是数值 变量 表达式或字符串 如果它们是变量或表达式 则所有变量及由变量构成的表达式必须先定义 并且在执行语句之前 每一个变量必须先赋值 如果是字符串 则每一行中的字母个数应相同 第2章矩阵 二 用函数生成矩阵的元素 1 one ones r c 可创建一个元素为1的 r c 阶矩阵 2 zero zeros r c 可创建一个元素为0的 r c 阶矩阵 例1 one ones 2 5 创建一个 2 5 阶矩阵 1111111111 例2 zero zeros 3 2 创建一个 3 2 阶零矩阵 000000 例3 对于 3 5 阶矩阵 可通过如下语句创建 a 3 2 11 linspace 20 21 5 ones 1 5 3 eye eye r c 可创建一个 r c 阶的单位矩阵 第2章矩阵 三 矩阵元素的访问 应用上面的例子说明 a 1 1 3a 3 4 1a 2 520 251 a 2 20 020 2520 520 7521 0 a 1 3 3 5 7911 20 520 7521 0 111 四 创建矩阵的函数 1 函数repmat的调用格式为w repmat x r c 其中x可以是标量 向量或矩阵 r是x的行数 c是x的列数 函数repmat可创建任意长度的列向量和行向量 而且每个元素都具有相同的值 第2章矩阵 2 函数meshgrid的调用格式为 u v meshgrid s t 注 其中s t是两个行向量 例 如果s s1s2s3s4 t t1t2t3 则上述命令生成两个 3 4 阶矩阵 函数meshgrid也可以返回一个矩阵 如 w meshgrid s t 生成w u 四 向量和矩阵创建举例 例2 1分别建立3 3 3 2和与矩阵A同样大小的零矩阵 1 建立一个3 3零矩阵zeros 3 2 建立一个3 2零矩阵 zeros 3 2 第2章矩阵 3 设A为2 3矩阵 则可以用zeros size A 建立一个与矩阵A同样大小零矩阵 A 123 456 产生一个2 3阶矩阵Azeros size A 产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵 例2 2建立随机矩阵 1 在区间 20 50 内均匀分布的5阶随机矩阵 x 20 50 20 rand 5 2 均值为0 6 方差为0 1的5阶正态分布随机矩阵 y 0 6 sqrt 0 1 rand 5 此外 常用的函数还有reshape A m n 它在矩阵总元素保持不变的前提下 将矩阵A重新排成m n的二维矩阵 第2章矩阵 例2 3将101 125等25个数填入一个5行5列的表格中 使其每行每列及对角线的和均为565 M 100 magic 5 例2 4求 x y 5的展开式 在MATLAB命令窗口 输入命令 pascal 6 矩阵次对角线上的元素1 5 10 10 5 1即为展开式的系数 第2章矩阵 2 4矩阵的运算 一 点运算 在MATLAB中点运算 是对同阶矩阵中逐个元素进行的算术运算 点运算包括点乘 点除和指数运算的点运算 例 如两个 2 2 阶矩阵 第2章矩阵 如果是标量常数时 点乘和乘法 点除和除法 运算是一样的 与矩阵中每一个元素相乘 二 矩阵的数学运算 矩阵的数学运算主要包括 加 减 乘 转置 求逆 行列式 方程式及其根 特征值 1 基本算术运算 1 矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B 则可以由A B和A B实现矩阵的加减运算 运算规则是 若A和B矩阵的维数相同 则可以执行矩阵的加减运算 A和B矩阵的相应元素相加减 如果A与B的维数不相同 则MATLAB将给出错误信息 提示用户两个矩阵的维数不匹配 第2章矩阵 例 已知 a 1213 237 b 14 26 求 a b Errorusing Matrixdimensionsmustagree 2 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B 若A为m n矩阵 B为n p矩阵 则C A B为m p矩阵 已知 a 1213 237 b 14 26 59 求 a b a bans 581574389 3 矩阵除法 在MATLAB中 有两种矩阵除法运算 和 分别表示左除和右除 如果A矩阵是非奇异方阵 则A B和B A运算可以实现 A B等效于A的逆左乘B矩阵 也就是inv A B 而B A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵 也就是B inv A 第2章矩阵 注1 对于含有标量的运算 两种除法运算的结果相同 如3 4和4 3有相同的值 都等于0 75 又如 设a 10 5 25 则a 5 5 a 2 10005 0000 4 矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成A x 要求A为方阵 x为标量 例 A 234 432 568 A 4ans 587064177554488253376282121981333515698 注2 对于矩阵来说 左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系 对于矩阵运算 一般A B B A 第2章矩阵 解 x A 1bA 816 357 492 b 7 5412 x inv A b或x A b 三 矩阵的逆与伪逆 1 矩阵的逆 对于一个方阵A 如果存在一个与其同阶的方阵B 使得 A B B A I I为单位矩阵 则称B为A的逆矩阵 当然 A也是B的逆矩阵 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作 容易出错 但在MATLAB中 求一个矩阵的逆非常容易 求方阵A的逆矩阵可调用函数inv A 例 用求逆矩阵的方法解Ax b线性方程组 第2章矩阵 2 矩阵的伪逆 如果矩阵A不是一个方阵 或者A是一个非满秩的方阵时 矩阵A没有逆矩阵 但可以找到一个与A的转置矩阵A 同型的矩阵B 使得 A B A A B B B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆 也称为广义逆矩阵 MATLAB中 求一个矩阵伪逆的函数是pinv A 例 A 12123 3458 A 121233458 pinv A ans 0 00880 02960 0222 0 00170 02360 0003 四 方阵的行列式 把一个方阵看作一个行列式 并对其按行列式的规则求值 这个值就称为矩阵所对应的行列式的值 在MATLAB中 求方阵A所对应的行列式的值的函数是det A 第2章矩阵 五 矩阵的秩与迹 1 矩阵的秩 矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩 在MATLAB中 求矩阵秩的函