数学广角的编排和建议.doc

马丽娟推荐数学广角的编排思想与教学建议一、课程标准中数学思想方法的理念 在数学课程标准中，没有把数学思想方法作为一个独立的内容领域。标准指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。教师应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。数学知识和技能是学生进一步学习的基础，同时，数学思想方法更是学生思维发展和终生学习的重要基础。 二、实验教材思想方法的编排 根据数学课程标准的理念，数学思想方法的渗透有所加强，主要体现在两个方面：一方面在数与代数、空间与图形、统计与概率等三大领域内容中，渗透思想方法；另一方面，在每册教材中还单独设立一个小的单元“数学广角”进行思想方法的渗透，如通过逻辑推理、排列组合、等量代换等内容渗透合情推理、演绎推理、分类、转化、集合、方程、优化等思想方法。这就是“数学广角”的由来。当然，这两部分内容并不是完全独立的，尤其是这两部分内容所渗透的思想方法是有交叉的。如符号思想、转化思想、分类思想、方程思想、推理思想等，作为一般的普遍应用的数学思想，既在三大领域的内容中有所渗透，也在数学广角中有所应用；因而上述的两个方面不是对数学思想方法应用的分类，而是从两个方面的内容渗透思想方法。 三、数学广角的地位和作用 课程改革九年来的教学实践表明，数学广角在拓宽学生的数学思想方法、提高学生的数学思维水平、激发学生学习数学的兴趣、培养学生的创新意识等方面发挥了重要作用。当然，数学广角作为渗透数学思想方法的载体之一，虽然有重要作用，但不是教材的重点和主要内容，这样的角色定位决定了它的地位和作用不同于课程标准规定的作为主体内容的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”这三大领域，更应起到锦上添花的作用。四、数学广角的目标定位 数学课程标准中的三大领域内容既注重传统的双基目标，也关注过程性目标和情感态度目标。数学广角并不是课程标准规定的必学和必考内容，没有承载双基目标的重任；因而没必要把其教学的重点放在机械的公式和抽象的模型上，而应把教学重点放在探索和建立模型的过程和体验数学思想方法的应用上。新的课程理念强调学生在学习的过程中要注重探索和经历知识的形成过程，反对机械的学习和无意义的被动接受，意在培养学生的创新精神；而数学广角在培养学生的过程性目标和创新精神方面，无疑具有明显的优势。所以数学广角的价值取向应倾向于：探索和经历知识的形成过程比结果本身更重要，体验数学思想方法比死记硬背抽象模型更重要 。 数学广角的教学目标可概括为以下几点。（1）感悟重要的数学思想方法。（2）运用数学的思维方式进行思考，增强分析和解决问题的能力。（3）提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识。（4）在参与观察、实验、猜想、推理等数学活动中，发展合情推理能力，感悟演绎推理思想，学会独立思考。五、数学广角的编排结构 册数二上二下三上三下四上四下五上五下六上六下内容排列组合逻辑推理找规律排列组合集合等量代换优化问题植树问题数字编码找次品鸡兔同笼抽屉原理思想方法分类讨论思想、推理思想推理思想、模型思想分类讨论思想集合思想、代数思想、方程思想优化思想、运筹思想模型思想、一一对应思想、转化思想符号化思想、分类思想、一一对应思想优化思想、推理思想假设法、方程思想模型思想、推理思想六、数学广角的具体编排和教学建议一年级下册:第八单元 找规律推理思想、模型思想此单元是课标规定的内容教学目标:1.使学生通过观察、猜测、实验、推理等活动发现图形和数字的排列规律。2.培养学生观察、操作及推理能力。3. 培养学生发现和欣赏数学美的意识。结合学生的日常生活实际，从联欢会装饰的彩灯、彩旗、彩花以及跳舞的学生等有规律排列的现象，引出图形排列的一些简单规律。使学生感受到数学的模型思想，同时也使学生受到数学美的熏陶。例1：最简单的图形排列规律，给出备选答案。例2：通过操作找规律；最简单的图形排列规律。例3：直接观察找规律，简单的图形排列规律，种图形循环。例4：通过操作找规律，稍复杂的图形排列规律，每种图形不都是个。例5：通过操作找规律，图形和数字的排列规律，数字的排列规律不需计算，图形和数字一一对应。例6：通过操作、计算找规律，图形和数字的排列规律，排列规律需要观察数量并计算，与前面不同，图形个数和数字一一对应，等差数列。例7：通过观察、计算找规律，数字的排列规律，没有图形作支撑，等差数列。教学建议：组织多种形式的数学活动，认识规律，培养观察、猜测、推理的能力。猜一猜：根据发现的规律，猜想下一个图形。找一找：针对同一种排列，让学生从不同角度观察寻找规律。 摆一摆：让学生自选或给学生提供材料，设计规律。演一演：用学生喜欢的方式来表示发现的规律。 找一找：找出生活中有规律的排列。 二年级上册:第八单元 简单的排列组合、逻辑推理分类讨论思想、推理思想教学目标:1. 找出简单事物的排列数和组合数。2. 会进行简单的逻辑推理。3. 初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。例1：首先让学生明确：所求问题与顺序是否有关？数字的顺序不同，数就不同，所以与顺序有关。可引导学生思考或讨论：怎样才能不重复不遗漏地找到答案？个位是1的、个位是2的、个位是3的，渗透分类讨论思想做一做：与例题不同，选定的一组事物与顺序无关。例2：不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。教学建议：1、 注意让学生通过操作活动进行学习。2、 把握好教学要求。二年级下册:第九单元 找规律推理思想、模型思想教学目标:1.使学生通过观察、猜测、实验、推理等活动发现图形和数字的排列规律。2.培养学生的观察、操作及归纳推理的能力。3.培养学生发现和欣赏数学美的意识，运用数学去创造美的意识；使学生知道生活中事物有规律的排列隐含着数学知识。通过观察找规律，图形的形状和颜色呈循环方阵排列。例1：通过观察找规律，图形的形状和颜色呈循环一行排列，实质上与主题图的规律相同。 例2：图形和数列的排列规律： 小正方形的个数与数一一对应，与一年级下册第91页例6不同的地方是：它的规律是每相邻两项的差组成一个新的数列，这个新的数列是等差数列，每相邻两项的差是1。 教学建议： 1. 注意让学生通过观察和猜想发现规律。 2. 把握好教学要求。三年级上册:第九单元 排列组合分类讨论思想，与二上相比，难度稍复杂、方法更注重直观。教学目标:1使学生通过观察、猜测、实验、验证等活动，找出简单事件的排列数或组合数。2培养学生有条理地、全面地思考问题的意识和习惯。例1：首先让学生明确：什么是不同的穿法？上装和下装各取一件，所求问题与顺序是否有关？一旦选定了一件上装和下装，就确定了一种穿法，与顺序无关。可引导学生思考或讨论：怎样连线才能不重复不遗漏地找到答案？渗透分类讨论思想，如果学生有困难，也可以操作卡片。例2：首先让学生明确：什么是不同的三位数？所求问题与顺序是否有关？可引导学生思考或讨论：怎样摆卡片才能不重复不遗漏地找到答案？能否直接有序地、完整地写出所有的三位数？从百位、十位、个位，由大到小或由小到大都可以。渗透分类讨论思想例3：首先让学生明确：与握手问题类似，所求问题与顺序无关可引导学生思考或讨论：怎样连线才能不重复不遗漏地找到答案？只要有条理不重复不遗漏地找到答案都可以。从组合原理来说：从分类来说：渗透分类讨论思想。教学建议：1、 注意让学生通过操作活动和直观手段解决问题。2、 把握好教学要求。三年级下册:第九单元 集合和等量代换集合思想、代数思想、方程思想教学目标:1、 使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。2、使学生在解决实际问题的过程中体会等量代换的思想。例1：首先让学生明确：在一个班里有两个课外小组，每个小组就代表一组事物的全体，渗透集合思想。每个小组还可以用圆圈表示，把该小组的名字列举出来。再通过集合的交集明确：每个小组的人都可以分成两部分：一个是该小组独有的，一个是两个小组共有的，从而理解多出人的道理。渗透集合运算的思想例2：首先让学生明确：每个西瓜同样重，每个苹果同样重，天平平衡两边同样重，渗透等量思想。观察下边的天平，如果要使天平平衡，右边应该放多少个苹果？渗透等量代换思想。教学建议：适当把握教学要求。集合和等量代换都是比较系统、抽象的数学思想方法，学生通过生活中容易理解的题材初步体会这两种思想方法，教学时不必使用集合、集合的元素、基数、交集、并集、等量代换等数学化的语言进行描述。 四年级上册:第七单元 优化思想和运筹思想教学目标: 使学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和排队论、对策论方法在解决实际问题中的应用。 使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。 让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 使学生逐渐养成合理安排时间的良好习惯。例1：首先让学生明确题目的条件和要求，再思考怎样烙这三张饼最省时间的问题。可以通过操作等手段。再继续探究张、张饼怎么烙最省时间。通过汇报交流找出规律。例2：1事件有先后顺序，有些顺序可以改变，有些不能改变。如洗茶壶、接水、烧水、沏茶顺序不能改变。2核心思想就是基本流程不变的情况下，充分利用等待的时间，有些事情可以同时完成。3.引导学生运用流程图的直观方式解决问题。例3：关于排队论的问题，是关于随机服务系统的理论，其中的一项研究是怎样使服务对象的等待时间最少的问题。码头上现在同时有3艘货船需要卸货，但是只能一船一船地卸货，并且每艘船卸货所需的时间各不相同，那么按照怎样的顺序卸货能使三艘货船等候的总时间最少呢？ 要让学生明确等候时间最少的含义。可引导学生运用列表的方法，分组讨论找到最佳方案例4：对策论研究的是竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手。引导学生思考，在类似团体赛中怎样排兵布阵才能战胜对手。使学生认识到：如果策略得当，也可以弱胜强。当然生活当中竞赛双方都会想到对策论，并不会象齐王那么笨。教学建议:让学生自主探索的空间更大一些,这样设计教学过程:1. 观看田忌赛马的动画片，但不介绍田忌赢齐王所使用的策略，而是让学生想：假如我是田忌，我应该用什么策略去应对？自行设计方案。（此时，学生的策略一定是多样化的，其中必然有田忌所采用的策略。）2. 让学生讨论：为什么有的策略可以赢齐王，有的策略却会输？引导学生自己提出问题：“这种赢齐王的方法是不是唯一的？”3. 请学生小组讨论或自行思考，想办法证明这种赢齐王的方法是唯一的。（此时，学生会自觉运用组合的知识去列举所有对策的可能性，结果会更加丰富，学生的自主性也会更充分地发挥出来。）四年级下册:第八单元 模型思想、一一对应思想教学目标:1. 使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。2. 初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。3. 让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。例1：一条线段、两条线段或封闭曲线中的间隔数与总数间的关系。一条线段两个端点都栽呈现自然的探索和交流过程，引导学生自己发现规律。教师归纳。例2：两条线段两端点都不栽（思路同前）例3：封闭曲线中的植树问题，放手让学生探索和交流，体现不同的人在数学上有不同的发展，总数等于间隔数。教学建议:1. 适当把握教学要求。2.渗透和拓宽数学思想方法，激发学习兴趣，体现不同的人在数学上有不同的发展。3.从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含于不同的情境中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式，提高问题的难度，造成教学要求过高。五年级上册:第七单元 符号思想、分类思想、一一对应思想教学目标:1. 通过生活中的事例，使学生初步体会数字编码思想在解决实际问题中的应用。2. 让学生通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，学会用数进行编码，初步培养学生的抽象能力和概括能力。3让学生进一步体会数在日常生活中的广泛应用尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和实践能力。编排思想： 选取老师点名的情境。 理解数不仅可以表示数量和顺序，还可以用来编码。教学建议：1.课前让学生收集生活中用数字和字母编码的信息。2.初步体会编码的安全性和简捷性。 例1：编排思想： 选取收发信件的情境。 展示信件的收发过程。 提出问题。教学建议： 1.课前了解信件收发的过程及学校、家庭、父母单位、亲戚家的邮政编码。2.课堂上汇报交流信件的收发过程、学校邮政编码的含义。编排思想： 了解数字编码的方法，体会编码在生活中的作用。 体会编码在信息交换中的安全性和简捷性。教学建议： 小组活动探究信封上邮政编码的结构和含义。例2：编排思想： 展示使用身份证的情境。 进一步体会编码的作用。 讨论交流身份证号码的含义及所蕴含的信息。教学建议：1.课前让学生收集家庭成员身份证号码的有关信息。2.提出问题，引导学生讨论交流、汇报。3.要求要适当。例3：编排思想：设计小组编学号的活动。教学运用数字进行编码的方法。教学建议：1.小组讨论、探究。2. 教师巡视指导，怎样比较全面、有条理地表达信息。例4：编排思想： 设计小组编书号的活动。 体会图书编码给检索图书带来的便捷。教学建议：1.课前组织学生到图书馆调查，了解图书编码及检索的基本知识。2.全班交流调查的信息，了解字母代表图书的种类。编排思想： 学习运用数字和字母进行编码的方法。教学建议：1.小组讨论、探究。2. 教师巡视指导，怎样比较全面、有条理地表达信息。教学建议: 恰当把握目标。 注意数学与生活的联系，适度关注学生的生活经验。 让学生动手实践，提供自主探索的空间。五年级下册:第七单元 优化思想、推理思想教学目标:1.使学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性 。2.让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的优化方法解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。编排思想（例）:创设找瓶钙片中的瓶次品的合作学习的情境。认识“找次品”这类问题 ，探索解决问题的方法。体现解决问题方法的开放性、多样性。教学建议:运用小组合作交流的学习方式。体现探索性和开放性，不必急于归纳最优方法，重在鼓励。如果没有天平，可利用卡片操作、画图表的形式进行分析。教师注意进行指导。编排思想（例）:创设找若干零件中的个次品的合作学习的情境。进一步认识“找次品”这类问题 ，探索解决问题的最优方法。体现解决问题方法的开放性、多样性、有效性。教学建议:运用小组合作交流的学习方式。探索性最优化方法。如果没有天平，可利用卡片操作、画图表的形式进行分析,如画树图的方法。教师初步归纳最优方法。让学生继续探索10、个零件找次品的方法。教师最后全面归纳最优方法。教学建议:1加强学生的试验、操作活动。2重视培养学生的猜测、推理能力和探索精神，可逐步用树图推理的方式解决问题137页第5题：脱离具体的操作活动，学会用树图来分析和解决数学问题，从而培养学生的抽象思维能力。 第题，稍复杂的找次品问题，每次不平衡时多称一次判断次品的轻重。第题，集合运算问题。你知道吗？提示学生发现：所测物品个数大于n1个相乘，而不大于n个相乘，就能保证用n次测出次品。六年级上册: 第七单元 方程思想、假设法教学目标: 1. 了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性 2. 尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并使学生体会代数方法的一般性。 3. 在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力 。例1：编排思想： 转化思想：化繁为简。放手让学生自己探索，可猜测、列表枚举等，再引导学生运用假设法。编排思想： 方程思想：体会方程方法计算起来可能不简便，但是该方法直接、易于理解。用自己喜欢的方法解决原题。古人的转化法非常巧妙，体现了中国古人的智慧。六年级下册: 第五单元 模型思想、推理思想教学目标:1.经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。2. 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。例1：教材说明：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（mn，是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。 教学建议：引导学生自主探索，得出一般性结论。例2：教材说明：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。 教学建议：引导学生利用有余数除法原理的角度探索，得出一般性结论。例3：教材说明：抽屉原理的应用。教学建议：关键是找到抽屉。引导学生利用有余数除法原理得出答案，进而总结一般性结论：只要摸出的球比颜色多1。教学建议:1. 让学生初步经历反证法的“数学证明”过程。2. 重视实践活动，在探索中获取知识。3. 要适当把握教学要求，渗透模型思想。七、数学广角的总体教学建议1.教学观念要与时俱进。随着数学课程改革的逐步深化，人们对数学的观念也在不断更新。广大数学教育工作者逐步认识到数学素养不能仅仅停留在传统的双基的层面上，数学思想方法越来越得到人们的重视。长期以来，数学教学因受应试教育的严重影响，教师往往出于无奈而采取题海战术式的双基训练。学生们也早已习惯于被动的接受和机械的训练，成为了做数学题的“机器”，这样培养出来的学生又何谈发明创造呢？很多数学优秀的学生出国留学后，其中的多数日后充其量也就是编程序的“机器”，无法成为21世纪科技和企业的领军人物和创新精英。因此，广大教师应站在素质教育的高度，不要因为数学广角的内容不考试就不重视，走出课堂教学只重视考试的内容，不考试的内容不教学或轻描淡写的现状。 2. 教师应提高数学专业水平。近年来通过大量的深入课堂观察和了解的情况看，即使教师所掌握的数学知识足够应对小学数学的课堂教学；但是如果教师没有站在较高的思想方法境界上，教学还是停留在双基的层面上，无法真正渗透思想方法，感悟思想方法也就无从谈起。这正如一位专家所说的，小学数学虽然知识浅显，但是教学的任务不仅要让学生学懂，还要学得活、学得深，当然这里的深不是一般意义上的难，而是要有数学精髓、有数学思想。“更为一般地说，笔者以为，这事实上也就应当被看成小学数学教学改革的一个重要方向，即是应当通过教师自身的创造性劳动（“方法论重构”）真正做到“教活”、“教懂”、“教深”特殊地，后者也就应当被看成小学数学教师专业化素养的一项重要内容” 换句话说，教师的数学专业知识需要内化为数学思想，有了思想才能转化为有思想的教学行为，进而才有可能形成有思想的教学习惯，最后进入有思想的数学教学的自由王国。3.教学目标定位要准确。如前所述，数学广角的教学目标主要体现在过程性目标上，让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。学生主要是通过观察、猜测、实验、操作和直观的手段解决问题，而不是通过总结抽象的数学模型和公式来解决问题。当然不能一概而论，并不是所有的数学广角内容都不能总结公式或模型，而是要根据学生的可接受程度来定。如植树问题的数学模型是学生可接受的，而排列组合的乘法计数原理模型需要到高中才学习，就不能过早地给学生总结。 4.教学方法应体现“主体探索交流归纳”。数学课程标准强调学生要通过自主探索、动手实践和合作交流的方式来学习，体现学生是学习的主体。教师在教学的过程中，应把学生放在主体地位上，引导学生自主探究、合作交流、归纳总结模型或直观的方法。在学生探究的过程中教师加强巡视，遇到有困难的学生给予启发；在归纳总结方法的过程中，教师适当加以严密化和逻辑化，明确指出思想方法，使学生感悟数学思想方法的应用和数学美。下面通过两个案例来具体说明。案例1:同学们在全长100 米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？植树问题，让学生直接想植树的棵数与间隔的关系是有难度的；如果给几组简单的数据，引导学生通过画线段、观察和思考，自主探究棵数与间隔的关系，再进行全班的汇报交流，师生共同归纳总结，就比较容易得到数学模型。这其中的难点有两个：一个是植树分两端都栽、只有一端栽和两端都不栽三种情况，学生在解决问题时容易出现混乱；另一个是数学模型的逆向应用，最基本的模型一般是给定距离和间隔，求植树棵数；如果是给定间隔和棵数求距离或者给定距离和棵数求间隔，学生开始有些不适应。在听课调研的过程中发现，有些教师不能很好地处理这两个难点，导致教学效果不是很理想。究其原因,一是教材的编排结构不是很合理，二是教师的教学没有从数学思想方法的角度出发突破难点。无论是教材的编排，还是教学的展开，都应通过三种情况的对比，把只栽一端作为基本的模型，间隔数和棵数一一对应，这样学生容易理解和记忆，再根据两端都栽或都不栽的实际情况进行调整；实际上把封闭的路径植树从一点打开成线段，就是只栽一端的情况。另外，还需要一