高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程学案 新人教B版选修1-1.doc

2.3.1抛物线及其标准方程了解抛物线的定义及其标准方程1抛物线的定义平面内到一个定点f和一条定直线l(_)的距离_的点的轨迹叫做抛物线点f叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_，_的距离(定长p)叫做抛物线的焦参数【做一做1】抛物线定义中的定点是其_，定直线是其_抛物线定义中的定点f不在定直线l上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点f与l垂直的一条直线2抛物线的标准方程方程y2_叫做抛物线的标准方程它所表示的抛物线的焦点在x轴的_半轴上，坐标是_；它的准线方程是_，其中p是_的距离(焦参数)【做一做2】抛物线y24x的焦点坐标是_，准线方程是_(1)抛物线中焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离(2)由于建立的坐标系不同，所得抛物线的方程也不同本节中所建坐标系得到的是焦点在x轴的正半轴上的标准方程，下一节课还要学习其他形式的标准方程1如何理解抛物线的定义？剖析：(1)抛物线的定义用集合语言表示：pm|mf|d(d为m到定直线l的距离)(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为m点；一个定点f(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点m到点f的距离与它到定直线l的距离之比等于1)(3)抛物线定义中的定点f不在定直线l上，否则动点m的轨迹不是抛物线，而是过点f与l垂直的一条直线(4)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质2抛物线的图象是双曲线的一支吗？剖析：虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来相似，但绝不能把抛物线当成是双曲线的一支当抛物线上的点趋向于无穷远时，点的切线接近于和x轴平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，点的切线接近于与渐近线平行抛物线没有渐近线；从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别题型一 抛物线的定义及应用【例1】若点a的坐标为(3,2)，f为抛物线y22x的焦点，点p在该抛物线上移动，为使得|pa|pf|取得最小值，求点p的坐标分析：显然点a在抛物线的内部，联想到平面上“到两定点距离之和最短的点在两定点连线所成的线段上”这一几何性质，欲使抛物线上一点到两定点a，f的距离和最短，需将a，f中的一个点转移到抛物线的外部，使其与另一点的连线与抛物线相交，则交点即为所求反思：求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量转换，转换为(1)的情形即可题型二 求抛物线的焦点坐标和准线方程【例2】已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程(1)y2ax(a0)；(2)3x2y2.分析：先根据抛物线的标准方程，求出p，然后写出焦点坐标和准线方程反思：根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出的值，即可写出焦点坐标和准线方程题型三 求抛物线的标准方程【例3】(1)已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是4，则该抛物线的标准方程为_(2)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点m(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值分析：解第(2)题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点m在抛物线上和点m到焦点的距离等于5，列出关于m，p的方程组，解关于m，p的方程组；其二利用抛物线的定义，可得点m到准线的距离为5，直接得到p的关系式，求出p值反思：涉及抛物线上一点与焦点距离的问题时，要注意利用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算1(2010安徽高考)抛物线y28x的焦点坐标是_2抛物线x4y20的准线方程是_3若点a的坐标为(2,2)，f为抛物线y24x的焦点，点p在该抛物线上移动，为使得|pa|pf|取得最小值，则p点的坐标为_4若抛物线y22px(p0)的准线方程为x3，则抛物线方程是_5若抛物线的焦点在x轴的正半轴上，其上一点m(4，a)到焦点的距离等于7，则抛物线的标准方程为_答案：基础知识梳理1fl相等焦点准线焦点到准线【做一做1】焦点准线22px(p0)正x焦点到准线【做一做2】(1,0)x1典型例题领悟【例1】解：由抛物线的定义，|pf|等于点p到抛物线准线的距离|pp|，如图所示因此，当且仅当p，a，p在同一条直线上时，有|pf|pa|pp|pa|最小，此时点p的纵坐标等于点a的纵坐标，即y2，将y2代入y22x，求得此时点p的坐标为(2,2)【例2】解：(1)由抛物线的标准方程y2ax(a0)知，2pa.故.因此，所给抛物线的焦点为，准线方程为x.(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y2x，故2p，即.因此，所给抛物线的焦点为，准线方程为x.【例3】(1)y28x因为焦点到准线的距离是4，所以p4，2p8.又焦点在x轴正半轴上，故所求抛物线的标准方程为y28x.(2)解：解法一：设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则焦点f，由题设可得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m的值为2.解法二：设抛物线的标准方程为y22px(p0)，焦点f，准线方程x，根据抛物线定义，点m到焦点的距离等于m到准线的距离，则35，解得p4.因此抛物线方程为y28x.又点m(3，m)在抛物线上，所以m