（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数之三角函数与其它知识的综合问题 新人教A版.doc

五、三角函数与其它知识的综合问题：典型例题：例1.设是方程的两个根，则的值为【 】（a）-3 （b）-1 （c）1 （d）3【答案】a。【考点】两角和与差的三角公式，一元二次方程根与系数的关系。【分析】是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得。 。故选a。例2.在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考点】余弦定理，基本不等式的应用。【解析】通过余弦定理求出cosc的表达式，利用基本不等式求出cosc的最小值：，。由余弦定理得，当且仅当时取“=”。的最小值为。故选c。例3.函数的最小正周期是 【答案】。【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。【解析】,函数的最小正周期是。例4.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 若；则 若；则 若；则 若；则 若；则【答案】。【考点】余弦定理的应用，余弦函数的性质，不等式变形。【解析】根据余弦定理逐项分析：，。命题正确。，。命题正确。，。，。命题正确。，。命题错误。以例反证，取满足， 则。 又，。命题错误。例5.已知abc的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 【答案】。【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。【解析】abc的三边长成公比为的等比数列，设三角形的三边分别是：a、a、a。 最大角所对的边是a， 根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。 最大角的余弦值为。例6. 中，内角、成等差数列，其对边、满足，求a【答案】解：中，内角、成等差数列，。，。又，根据正弦定理，得。由“”进行均值换元，设 ，。则，化简，得。或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。【解析】根据角、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。例7.已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（）求a；（）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（）。 函数的最大值为6。而 。（）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，.。函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定a。（）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为，已知.()求证：成等比数列；()若，求abc的面积s.【答案】解：()由已知得：，即。 ， 。 由正弦定理，得，成等比数列。()若，则， 由余弦定理，得， 。 abc的面积。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。【解析】()根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。 ()由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。例9.已知向量，设函数的图像关于直线=对称，其中为常数，且（）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（）函数的图像关于直线=对称，。又，。的最小正周期为。（ii）若的图像经过点，则有，。，。函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和的范围，计算的值，从而得函数的最小正周期。（ii）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例10.在中，角a、b、c的对边分别为a，b，c。角a，b，c成等差数列。 ()求的值； ()边a，b，c成等比数列，求的值。【答案】解：（）角a，b，c成等差数列，。又，=60。（）边a，b，c成等比数列，。根据正弦定理得。 =60，。【考点】数列与三角函数的综合，正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。【解析】（）在中，由角a、b、c成等差数列可知b =60，从而可得的值。（）由a，b，c成等比数列，得，由的值得到的值，结合正弦定理可求得的值。 另解：由余弦定理求得得到是等边三角形，每个内角等于600求解。例11.在中，已知（1）求证：；（2）若求a的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，。【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得a的值。例12.数列an的通项公式anncos，其前n项和为sn，则s2 012等于【 】a1006 b2012 c503 d0【答案】a。【考点】规律探索题。【解析】寻找规律：a11cos0，a22cos2，a33cos0，a44cos24；a55cos0，a66cos36，a77cos0，a88cos8；该数列每四项的和。20124=503，s2 01225031006。故选a。例13.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【答案】3。【考点】算法程序框图的应用。【解析】由程序框图可知：第一次:t=0,k=1,成立，26,满足判断条件，继续循环；第二次:不成立，,36，满足判断条件，继续循环；第三次:不成立， ，46, 满足判断条件，继续循环；第四次: 成立，, 56, 满足判断条件，继续循环；第五次: 成立， ，66不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出t的值3。例14.设函数，是公差为的等差数列，则【 】a、 b、 c、 d、【答案】d。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】，。是公差为的等差数列，。，解得。故选d。关于， 可化为。由，设，作图可得二者交点在处：例15.设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（）求数列；（）设的前项和为，求。【答案】解：（i），。 令，解得。 当时，；