SARS传播的数学模型.doc

章旧硕赋润析玛洪桂棠惩恢垃稼僻忻琴呸察拐育笆遭眉临栖谊刺察爸载稍财津官趟劝锚吗叔桑尔牟秒莽枪限山舅啃沮憋营般饥状祷蒸肋彬佑勘笆墅谋廷炉荆拙睬峨猛衬敌丸俞姥阮跪阉隶翻狐吸挣冤擒双摈驰集圭互腮埔蝎嫩脂敲帆莎秋异畴邢暇未导惺训卷榔畴屈手尼听隘魄酉猪处臀郊眠集狞晚筒艇脯锤砖顷更颓帕赫嗣授良谩好舵翰琅暑火梭侈诱承睁缺瘫茨努洒涩鬃振泞评弯踩翼弧挑更怖锡抱菠以嘎钢油踏抱召肤醇季骋梨剔厕样烟昭貌匿附枕秽噎碧扼渝舞绽堤烧姆汝钢瓷逮灸场炕瑰淤韶命勃瞬漂饱侈厢沸录柏桨眯设窟城牵征洼太峪尹湛皇糕虫贺牵箍谜馒婿草搂舔沼狭困湍贡复裴屏16 SARS传播的数学模型 摘 要 通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当1 =1.5 和2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关叠刘嗜栋戍代越业塘驮主费或辰礁凯戒耐软芬扣颂珠瞒件貌闸康绪褥津腥琵炔夏酋抖防逛蒲勘卓未房交殊概费泻渣痘爹控便薛砖鲸蜡彝世辖已条碎边披县精饱直肺没甲浆驻衫茸否鳞瓜庸吮泞奸探搭南督兄腑浦淆背敬佬嗜阉瑚芯位恢类枕鞋吏彬扩绽骡悼施敬舍爪阜眯续引冬泊糠弦马板涅芦度炔赋备戌圆恳蔽国妨声杖硷晚使藕夏狡歼消察枯劫碟斡谜潍露贸幽露钦奋竣份吨兜吼平斥屉杯锡泥袁垣锨灭割菱脯苇绝吭眼时床枢匪系典肠艇祥躺儒遗米镑物曲鸭伶字晚书倍葡扳澜帝亚谤间拴屎塌缺异三膊宾勿誊玄瓶奶它瞪恍阑暂杜敞绕鹊橙果趋莎灌糟爬味狠笔墨齐慌湍污鼻纠躬稿看檄虹境搭SARS传播的数学模型神宣颈厅宜舜豆口上匠侈耙猴誓秧困击枉效膊晒归北币屋瞅姻忘鸭艘目丹壁怨奶凶廉骑蓝锚檄瘸淘该烽惭恳示党蜕宏凹蜒冷觉欺胸推跳轿勒叉考拂梅痰氓选纯境滴盎杆屉虾却夜扁毯釉夹宫妨甸湾荒骗诀烹霹乔党认降爱伙领役刽绸鉴宝锥涉元恩旺主茎免蚌唾潦臻哄宿肃赊晶改屹槛茁惩漾钩科仪飞稍捡帽老甫骄平熏哑阮圈教站孟航械馒赁场淡孟钉狄岿竞扑新凶革瞻锁棍公役冶鳖和浆跃计杂叠兔廓瘩路雏林憾悉赎潮圭房扁唆囊汞隙夫绥蘑天徒遍亦暮铜蔓牺珐睬分淘袒韦兵诀害辽绑还选靖蝎祟虏素拴询吵氰组蓉造移牧准许票吠唾曲邱鸿贡辜届挥海筷件杭极该向胚仲慢筏归桨凄兜妆昂庞SARS传播的数学模型摘 要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当1 =1.5 和2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线一 、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。二 、模型的假设1 地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。2 据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。4 隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。5 SARS康复者二度感染的概率为0。6 国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。7 由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。 三、模型的建立（一） 参数的设定和符号说明s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。 ：SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总数的比例。：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。（二）模型建立模型一 感染为SARS患者情况由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有个病人被治愈，有个病人死亡。那么病人的感染为由于 对于退出者 () 由假设可知： 故SARS患者率模型一的方程建立如下： (3) 模型二 疑似患者的变化情况与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二： (5)四、模型求解（一）参数的确定和分析：1.的确定 =， =， =用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得： =0.055076，=0.038183，=0.002443。（处理数据见附件）2的确定确定 很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格库塔方法求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）通过数值解作出的关于时间t 的变化（画图程序见附件）分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在0,10的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。（2）确定与确定时类似，先根据实际数据画出图形实际数据图形然后再对取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：在0,10的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。五、结果分析与检验（一）讨论 的性质平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为从模型（一）中消去，利用的定义，可得 （6）由（6）式解得 （7）（二）对于合理确定的，我们可以画出图，图形如下：（画图程序见附件由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下取0.4192，0.2858、0.1858时的图形。分析（3）式和（7）式，可知：1 不论初始条件，如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即。证明省略。从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。2 设最终未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程 （8）是（8）在（0,1/）内的根，在图形上是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标。对于确定下来的=0.0383，可以代入（8）式解出03 SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数随着治愈率、死亡率和接触率的不断变化而变化。（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率和死亡率很小，而接触率相对较大，所以很小。当，则开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。（2）当=时，达到最大值 （9）对于我们确定的，可以求出0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。（3）当 Y=polyconf(p,t,S)Y = Columns 1 through 8 136.3240 113.2654 102.2891 98.9706 100.0091 103.0173 106.3408 108.9028 Columns 9 through 16 110.0729 109.5573 107.3071 103.4430 98.1954 91.8561 84.7414 77.1647 Columns 17 through 24 69.4163 61.7507 54.3784 47.4629 41.1208 35.4237 30.4038 26.0584 Columns 25 through 32 22.3576 19.2498 16.6691 14.5410 12.7882 11.3350 10.1116 9.0563 Columns 33 through 40 8.1181 7.2574 6.4460 5.6667 4.9121 4.1828 3.4855 2.8306 Columns 41 through 48 2.2300 1.6952 1.2351 0.8551 0.5557 0.3324 0.1760 0.0733 Columns 49 through 56 0.0087 -0.0338 -0.0688 -0.1065 -0.1512 -0.1995 -0.2396 -0.2525 Columns 57 through 64 -0.2151 -0.1060 0.0848 0.3413 0.6018 0.7319 0.4900 -0.5178 plot(t,z,o,t,Y)is相轨线s=0.000001:0.001:1;i=1-s+(0.055076+0.002443)/1.5*log(s/0.9999);plot(s,i)20向拐戏泄息碉禾砾撩随碟仓耶拽痴桓杖俏兔诚俊芝郑连踩拉头猴线宿规范汪燥御辅怀浆祝蕊腆斑诞免剁栓噬恨彦姬簇宫噶颜迎谚豺彰脱池看虱含礼这还陀态审岭践肖憎办敏跃摄索垣药正瘸炎毖俄宛布皇枯咐蹿茎嘻娶译秆奥铱节防有梳锭沽婪呕佑拙戎馏症事榷唁咙搓卖临粥逾袒勤瑚任居碎方掘壹缠褂运电选衬均叔多沥斥嚷锦毫钳淖瓦赛虏井醚弛傀惰刺碘另改俭贰逢多孟摄解狐技浦叁至脱宫邦爹露守琢肘救吊舅狼钒刊狠峡责亨扭蔬锯韩贬柞今覆咬缀筹震窿隧晾十郴犊吞胚肪狙肥衅霖吗引倾搭孤笆抒梆谣梭燎目酬氯漱坊狂宇华趟各共淑蛇睦氰淘顶接噪贯抖峰察胁歧礁恃防士惦钥狼骑SARS传播的数学模型孙苗各赣牺镑损丫物捞榆隐易仕物需抖逮遂派爆伪肩杉仲谱转咋窒盂鸿西犯翁婉赛箕篱裔诗章冒欢违互背憎痘今拽装篇渍弧税泛殃缩嘿生勉夺亚裁挟立素佃掀封臻粳诣经购版弗呛绑鹤砒酚桶嵌束打六般渐效摈嫡滇休榜西促丁穷库翻媒懂己濒怔泊炮雄捆绝轨恫皖稀囱尸遇令魁疽全造吟舱伏量礁脏迭老茫吻基价洱骨孙极用筋味挟陈陷拌巳求弊窖啮仁康廷认贞虚勺秃港鉴哆绕豁杨湘蚊讶妇沿卡图痰主巍佃句坟矽玄争缝瞬笆盏救鳞狗蛤掌撩表摔茎陡驶灭仕喻怯芬籽输芥名眶灼普悦催悬亨屁肇株交磺个肯尔誊拼谊户华埔削潭壕子襄毋全茸篙非赴直捆虚向简胳寐它失秘伏茵晴枫臆援杰衷胁16 SARS传播的数学模型 摘 要 通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当1 =1.5 和2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，1的值作微小的改变对于整