2019年1月东城区高三数学文期末试卷及答案.docx

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学（文科） 2019.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，则 （A） （B） （C）（D）（2）下列复数为纯虚数的是（A） （B） （C）（D）（3）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在射线上，则的值是（A）（B） （C） （D）（4）若满足 则的最小值为（A）（B） （C） （D）（5）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为（A）（B） （C）（D）（6）设 为实数，则“ ”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（A）2（B）（C）（D）3（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量. 地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为. 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量，若，则 .（10）在中，已知，则 .（11）若等差数列和等比数列满足，试写出一组满足条件的数列和的通项公式: ， .（12）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率_.（13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系： 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； 9天后，小菲的单词记忆保持量低于 ； 26天后，小菲的单词记忆保持量不足.其中正确的结论序号有 . （注：请写出所有正确结论的序号）（14）已知函数，.若，都有，则a的最大值为_；此时=_.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列满足, . () 求的通项公式； () 若 ,求数列的前n项和.（16）（本小题13分）已知函数.() 求的最小正周期；() 求证：对于任意的，都有（17）（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图. （）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在，现从课外阅读时间在的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数. （18）（本小题14分）如图，三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， ，为中点. （I） 求证：平面 ；(II) 求三棱锥 的体积；（III） 设平面与直线交于点，求线段的长.（19）（本小题13分） 已知函数，aR() 当时，求曲线在点处的切线方程；() 求的单调区间（20）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点，直线与椭圆的另一个交点为.（I）求椭圆的方程；（II）当时，求的面积；（III）证明：直线与轴垂直.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B（5）B （6）A （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11）,（答案不唯一） （12） （13） （14）4， 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）设的公差为,因为， 所以. 所以解得.所以 .7分（）由（I）知， 所以的前n项和为 = =. .13分（16）（共13分）解:（）. .5分所以 的最小正周期. .7分（）因为，所以.所以.所以所以.所以对于任意的，都有 .13分（17）（共13分）解：（）， 即课外阅读时间不小于小时的样本的频率为. 因为， 所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于小时的学生人数为. .5分（）阅读时间在的样本的频率为. 因为，即课外阅读时间在的样本对应的学生人数为. 这名学生中有名女生，名男生，设女生为，男生为，从中抽取人的所有可能结果是：，. 其中至少抽到名女生的结果有个，所以从课外阅读时间在的样本对应的学生中随机抽取人，至少抽到名女生的所求概率为. .11分 （）根据题意， （小时）. 由此估计该校学生年10月课外阅读时间的平均数为 小时 .13分（18）（共14分）解：（）因为三棱柱 中，侧棱垂直于底面， 所以平面.因为平面，所以.又因为，所以平面 .因为平面，所以.因为，所以四边形为菱形.所以.因为，所以平面. .5分（） 由已知，平面，平面，所以 .因为， ，所以 平面.又，故 到平面的距离为.因为为中点，所以点到平面距离为.所以.9分（）在三棱柱中，因为，为平面与平面的公共点， 所以平面平面.因为平面平面，平面，所以平面.又平面平面, 所以.又，所以.因为为中点, 所以为中点 .所以.14分（19）（共13分）解：（）的定义域为, 当时，所以曲线在点处的切线方程为.7分() .(1) 当时，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，+).(2) 当时，令，得，.当，即时，所以的单调递增区间为(，+)，无单调递减区间；当，即时，当时，；当时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；当，即时，当时，；当时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. 13分（20）（共14分）解：（I） 由已知有解得所以椭圆的方程为. 5分（II）由消去，整理得.由已知，