全国通用2018届高考数学二轮复习第16练圆锥曲线的定义方程与性质练习文.docx

第16练圆锥曲线的定义、方程与性质明考情圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等，题目难度中档偏难.知考向1.圆锥曲线的定义与标准方程.2.圆锥曲线的几何性质.3.圆锥曲线的综合.考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法.1.(2017九江二模)设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|的值为()A.8 B.10 C.12 D.15答案D解析点P是椭圆1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|PF2|8，|F1F2|4，9，即|cos 9，|2|2|22|cos (|)22|18642|1816，|15.2.(2017洛阳统考)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析1的焦距为10，c5，又双曲线的渐近线方程为yx，且P(2，1)在渐近线上，1，即a2b，由得a2，b，双曲线的方程为1，故选A.3.已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若AOB的面积为，则抛物线的准线方程为()A.x2 B.x2C.x1 D.x1答案D解析因为e2，所以c2a，ba，双曲线的渐近线方程为yx.又抛物线的准线方程为x，联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程得A，B.在AOB中，|AB|p，点O到AB的距离为，所以p，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1，故选D.4.(2017天津)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 D.x21答案D解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线yx上).由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D.5.(2017甘肃肃南裕固族自治县一中期末)抛物线yx2上的动点M到两定点(0，1)，(1，3)的距离之和的最小值为_.答案4解析由题意得焦点F(0，1)，设A(1，3)，则|MA|MF|MA|yM|1|yA|14.考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.方法技巧求离心率的两种方法(1)定义法：求出a，c，代入e进行求解.(2)方程法：只需根据一个条件得到关于a，b，c的各项式，然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.6.已知A是双曲线1(a0，b0)的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是PF1F2的重心，若，则双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.4 D.与的取值有关答案B解析因为，所以，所以(O为坐标原点)，即，所以e3.7.(2017广安模拟)椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.1 B.2C.1 D.2答案A解析根据题意，如图，设F(c，0)，由OAF是等边三角形，则A，又A在椭圆上，则有1，a2b2c2，联立，解得c(1)a，则其离心率e1.8.(2017全国)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.答案5解析双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.9.(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.答案2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示.四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2.又AOB，tan 1，即ab.又a2b2c28，a2.10.设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4，1)，则|PA|PF|的最小值为_.答案7解析由题意，|MF|的最小值为3，得3，p6，抛物线E：y212x，抛物线y212x的焦点F的坐标是(3，0).设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，为4(3)7.考点三圆锥曲线的综合方法技巧圆锥曲线范围，最值问题的常用方法(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.11.已知方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是()A.(，1)B.(2，)C.(1，)D.答案D解析由1转化成标准方程1，假设焦点在x轴上，则2m(m1)0，解得m1；假设焦点在y轴上，则(m1)2m0，解得2m.综上可知，m的取值范围为.12.(2016四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.1答案C解析如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y00时，kOM0时，kOM0.要求kOM的最大值，不妨设y00，则()，kOM，当且仅当y2p2时等号成立.故选C.13.(2017全国)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A.2 B. C. D.答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2，0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.由点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e2.故选A.14.过抛物线yax2 (a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则等于()A. B. C.2a D.答案B解析显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为ykx，与yax2联立，消去y得ax2kx0，设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.故选B.15.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为_.答案解析由已知得直线方程为y2(x1).由得3y22y80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，|y1y2|，SAOB1.16.在直线y2上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点_.答案(0，2)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点A处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简，得yx1xy1，同理，在点B处的切线方程为yx2xy2.又点Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入，得2x1ty1，2x2ty2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2xty，即直线AB的方程为y2tx，因此直线AB恒过定点(0，2).1.若点O和点F(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A.32，) B.32，)C. D.答案B解析由题意，得22a21，即a，设P(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x12，因为x，所以的取值范围为32，).2.已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|26，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).3.若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为_.答案1或1解析由题意，得所以所以b2a2c29.所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.故椭圆的方程为1或1.4.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使，则该椭圆的离心率的取值范围为_.答案(1，1)解析由已知，得e，由正弦定理，得，所以e1.由椭圆的几何性质，知ac|PF2|，即e，即e，即e22e10，结合0e1，可解得e(1，1).解题秘籍(1)椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论.(2)平面内到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹不是双曲线，要注意定值的限制条件和“绝对值”.(3)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.1.已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m等于()A.2 B.3 C.4 D.9答案B解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.2.(2017和平区模拟)已知椭圆1(a)的焦点为F1，F2，且离心率e，若点P在椭圆上，|PF1|4，则|PF2|的值为()A.2 B.6 C.8 D.14答案A解析椭圆1(a)，椭圆的焦点在x轴上，b，c，则离心率e，即，解得a29，a3，椭圆的长轴长为2a6，由椭圆的定义可知，|PF1|PF2|6，即|PF2|2.3.已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选D.4.(2016浙江)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21答案A解析由题意可得m21n21，即m2n22，m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.5.过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|10，则抛物线的方程是()A.y24x B.y22xC.y28x D.y26x答案C解析设抛物线y22px(p0)的焦点为F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由抛物线的定义可知，|PQ|PF|QF|x1x2(x1x2)p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|10，106p，可得p4，抛物线的方程为y28x.6.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立，解得a24，b23，所以双曲线的方程为1.7.(2016全国)已知F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D.2答案A解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.8.(2016全国)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.9.设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_.答案15解析因为椭圆1中，a5，b4，所以c3，得焦点为F1(3，0)，F2(3，0).根据椭圆的定义，得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|).因为|PM|PF2|MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时|PM|PF1|的最大值为10515.10.已知A(1，2)，B(1，2)，动点P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线