波形与频谱分析(第一章).ppt

2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 现代测试系统分析 建模与仿真 自动化学院测控技术技术系 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 第一章波形 频谱与随机过程分析 信息产业的三大支柱 1 信息获取 传感器 仪器 量值信息 2 信息传递 通讯设备 3 信息处理 计算机 本课程主要是研究 信息处理 问题 波形 频谱与随机信号处理是现代信息处理技术的主要内容之一 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 1 1观测数据的波形与频谱1 波形 时间横坐标 物理观测量 幅值 纵坐标 得到一种变化的图形 称之为时域波形 1 1波形与频谱的基本概念 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 频谱 频率横坐标 经数学变换后的物理观测量 如 幅值 相位 功率 纵坐标 得到一种变化的图形或谱线 称之为频谱 3 波形分析 一般是指对观测信号在时间域和幅值域里进行分析 以得到描述观测信号的各种特征或关系 例如 波形的起始时间与持续时间 波形的时间滞后 波形的畸变 波形与波形之间的相似程度4 频谱分析 是对观测信号在频率域内进行分析 得到 幅值谱 相位谱 功率谱 互谱密度等分析结果 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 5 波形与频谱的关系 波形分析频谱分析 即式中 X 是x t 的傅立叶变换 x t 是X 的傅立叶逆变换 图1 1直观地表示了时间域和在频率域观测信号之间的有机联系 谱分析的数学工具 傅立叶级数 傅立叶积分 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 绝大多数观测中是看不到真实波形的 实际观测到的波形无法与真实波形进行比较 这样就可能把已 扭曲 的测试数据当作结果加以应用 因此 未经分析处理 修正反演而简单地根据测试波形直接求得的结果 往往会产生很大的误差 有时甚至会得出错误的结果 波形的分析与处理的目的之一就是要避免出现这种情况 观测波形 失真 畸变 哈哈镜 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 1 2观测数据的类型与描述 观测波形 在容差内可重复 在容差内不可重复 确定性数据 随机性数据 观测波形 周期性数据 非周期性数据 简谐周期数据 复杂周期数据 准周期数据 瞬变数据 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 简谐周期数据 可用下列形式的函数来描述 1 1 1 式中 A 振幅 f0 1 T 频率 表示波在单位时间内的循环数 T 周期 表示正弦波完成一次循环所需的时间 0 2 f0 角频率 相对时间原点的初始相位 弧度 例如 交流发电机的电压输出 偏心转子的振动 从数据分析的角度出发 简谐数据是观测数据中最简单的形式 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 复杂周期数据 可用周期时变函数表示 1 1 2 与简谐周期波形一样 一个波经历的时间称为周期T 单位时间内的循环数称为基频f1 显然 简谐周期波是复杂周期波的一个特例 复杂周期波可以展成傅立叶级数 1 1 3 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 式中 复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达形式 1 1 4 其中 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 如果只考虑复杂周期数据的幅值谱 则可用图1 2所示的离散谱线来表示式 1 1 4 的幅频特性 3 准周期数据 准周期数据是一种非周期数据 可用下式表示为 图1 2复杂周期数据的频谱 幅值谱 X3 X2 X1 X0 幅值 f f0 f1 f2 f3 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 1 5 式中 fn fm n m 在任何情况下都不等于有理数 当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时 常常会出现准周期数据 例如 多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数据 准周期数据也可用图1 2所示的离散谱线来表示它的幅值谱 其差别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系 4 瞬变非周期数据 除了准周期以外的所有非周期信号都属于瞬变数据 瞬变数据与周期数据不同的一个重要特征 就是它不能用离散谱来表示 连续谱 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 在多数情况下 瞬变数据可用傅立叶积分表示 1 1 6 式中 X 幅频特性 相频特性 二者均为连续谱 1 2随机过程及其数学特征 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 2 1随机过程的基本数字特征 随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特性 但在实际观测中 往往只能得到部分样本 用这些样本来确定分布函数是困难的 甚至是不可能的 因而有必要引入基本数字特征来描述随机过程的统计特性 1 一阶矩或期望值给定实或复随机过程 x t 固定t 则x t 是一随机变量 其一阶矩一般与t有关 记为 1 2 1 称mx t 为随机过程 x t 的均值函数或数学期望 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 二阶矩与相关函数将实或复随机变量x t 的二阶原点矩记作 1 2 2 称它为随机过程 x t 的均方值函数 而将随机过程 x t 的二阶中心矩分别记作 1 2 3 称它为随机过程 x t 的方差函数 其中 x称为均方差或标准差 它表示随机变量x t 在t时刻相对于均值的平均偏离程度 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 对于任意t1 t2 定义随机变量x t1 和x t2 的二阶原点混合矩 即自相关函数 或简称相关函数 为 1 2 4 式中 x t2 是x t2 的复共轭 类似地 还可定义随机变量x t1 和x t2 的二阶中心混合矩 1 2 5 通常 称它为随机过程 x t 的自协方差函数 简称协方差函数 自相关函数和自协方差函数是刻画随机过程自身在两个不同时刻的状态变量之间的统计依赖关系 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 自相关函数和协方差函数之间具有如下关系 当t1 t2 t时 上式变为类似地 两个随机过程 x t 和 y t 的互相关函数定义为 1 2 6 而它们的互协方差函数为 1 2 7 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 其中my t 是随机过程 y t 的均值函数 若两个随机过程 x t 和 y t 分别是为n 1和m 1的列向量 用上标H表示共轭转置 则它们的自相关函数和互相关函数可表示为式中 Rx t1 t2 为n n矩阵 Rxy t1 t2 为n m矩阵 相应的协方差函数和互协方差函数也是矩阵函数 3 不相关 正交 独立过程考虑两个随机过程 x t 和 y t 如果 x t 和 y t 是不相关的 则互协方差函数为0 即 1 2 8 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 如果 x t 和 y t 正交 则相关函数为0 即 1 2 9 如果两个随机变量x t 和y t 独立 则有 1 2 10 其中 p x p y 和p x y 分别表示随机变量x t y t 的概率密度函数及二者的联合概率密度函数 对于零均值随机过程不相关和正交是等价的 上述关系很容易推广到n个随机过程 不赘述 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 2 2平稳过程的基本数字特征 如果随机过程的统计特性不随时间的推移而变化 严格地说 对于某一实数域 通常是指时间域 如果对任意的t1 t2 tn 和任意实数h 当t1 h t2 h tn h 时 n维随机变量 x t1 x t2 x tn 和 x t1 h x t2 h x tn h 具有相同的分布函数 则称随机过程 x t t 具有平稳性 并称此过程为平稳随机过程 简称平稳过程 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 由平稳过程的定义 对于任意t t T 一维随机变量x t 和x t 同分布 取 t 则有 1 2 11 同样 x t 的均方值函数 x2和方差函数 x2亦均为常数 在式 1 2 4 和 1 2 5 中 令t2 t和t1 t2 就有 1 2 12 这表明平稳过程的相关函数和协方差函数仅是时间差 t1 t2的函数 当 x t 为零均值平稳过程 就有 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 满足式 1 2 11 和 1 2 12 的随机过程称为弱平稳过程或广义平稳过程 反之 则为非平稳过程 相对地 按分布函数定义的平稳过程称为严格平稳过程 类似地 如果Rxy t1 t2 只是时间差t1 t2 的单变量函数 记为Rxy 则称 x t 和 y t 是平稳相关的 平稳相关过程 x t 和 y t 的互协方差函数可写成由上式可见 当 x t 和 y t 中有一个是零均值的 则互相关函数和互协方差函数相等 前面讨论的平稳和非平稳性概念 是指随机过程总体平均特性而言的 如果可用总体中的某个样本函数的时间平均 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 来代替总体平均 即对于任意 T 平稳过程 x t 中的第k个样本函数 xk t 的均值和自相关函数可分别表示成 1 2 13 1 2 14 则称此平稳过程具有各态历经性或遍历性 ergodicity 在大多数情况下 表示平稳物理现象的随机数据 一般是近似各态历经的 因此 如果能够事先确定某随机过程是各态历经的 则只要验证单个样本记录的平稳性 就可有效地判定该记录所属的随机过程能否满足平稳性和遍历性 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 2 3相关函数的性质假设 x t 和 y t 是平稳相关过程 Rx Ry 和Rxy 分别是它们的自相关函数和互相关函数 则它们具有以下五个性质 Rx 0 E x2 t x2 0 表示平稳过程 x t 的 平均功率 Rx Rx Rxy Ryx 这些关系可以从它们的定义直接得到 关于相关函数和互相关函数有下列不等式 根据定义和Cauchy Chwartz不等式 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 可证得 相关函数表示同一过程 或波形 相差时刻 的相似程度 在相关函数中还可以定义自相关系数 或归一化协方差 即波形x t 的协方差函数与均方差之比 1 2 15 互相关函数表示两个过程 或波形 相差时刻 的相似程度 定义互相关系数为 1 2 16 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 显然 x 1 xy 1 注意 许多教科书将 xy 定义相关系数 如果x t 和y t 不相关 根据定义式 1 2 8 则有 xy 0 这表明随机变量 x t mx 和 y t my 是正交的 于是即 1 2 17 Rx 是半正定的 即对于任意数组t1 tn 和任意实或复值函数g t 都有 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 如果Ru是半正定矩阵函数 那么 对于t1 tk 和C1 Ck Cn 有 1 2 19 5 如果平稳过程 x t 的概率分布函数满足P x t T0 x t 1则称它是周期为T0的平稳过程 周期平稳过程的相关函数必是周期为T0的函数 1 2 4功率谱及其性质首先给出傅立叶变换对重要定理 然后将确定性函数的功率谱密度的定义推广到随机过程 建立起相关函数与功率谱密度之间的关系 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 帕塞瓦尔 Parseval 定理假设确定性函数x t 的傅立叶变换存在 即 1 2 20 式中 X 称为x t 的频谱 它一般是角频率的复函数 当x t 为实函数时 有其中 X 表示X 的共轭函数 在x t 和X 之间存在如下关系 即 Parseval 定理 1 2 21 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 等式左边表示x t 在时域上的总能量 而右边的被积函数 X 2称为x t 的能谱密度 这样 Parseval定理又可理解为总能量的谱表达式 2 功率谱密度很多确定性函数的总能量是无限的 所以式 1 2 21 是无意义的 为此 选有限时间T 对x t 构造限时 截尾 函数 1 2 22 令T 则由式 1 2 21 可以写出限时函数xT t 在区间 T T 上的总平均功率 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 式中 XT 是XT t 在区间 T T 上的傅立叶变换 定义如果 1 2 23 则称 x 为x t 的功率谱密度函数 简称谱密度 而 x d 称为谱分布函数 3 平稳过程的谱密度考虑随机过程 x t 当然 x2 t 也是随机过程 对于随机过程直接使用上式是不方便的 但只要对式 1 2 23 两边取均值 就可得到适合于平稳过程的平均功率表达式 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 2 24 其中 将随机变量x t 的谱密度定义为 1 2 25 对于平稳随机过程 x t 均方值函数E x2 t 与时间无关 由式 1 2 24 可知即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或Rx 0 p 47 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 4 维纳 辛钦 Wiener Khintchine 公式谱密度的一个重要性质表现在它与相关函数的关系上 具体地说 对于平稳随机数据 这两者可由傅立叶变换联系起来 即 1 2 26 1 2 27 证明考虑式 1 2 25 将 x T 中的平方项写成二重积分 得到 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 根据相关函数的定义 E x t1 x t2 Rx t1 t2 故有令t1 t2 t1 t 并将它们代入上式进行变量置换 则在图1 3的阴影区域 有Rx 常数 容易看出 该区域的面积等于 2T d 而 的变化范围为 2T 2T 因此于是 由式 1 2 25 可得显然 上式成立的条件是 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 对所考虑的平稳过程 这个条件必须加以检验 证毕 图1 3 x 的二重积分示意图 0 2T t2 t1 t1 t2 d t1 t2 d d T T T T 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 在式 1 2 27 中 令 0 则有因而 对于所有的 有 x 0 如果随机变量x t 是实的 则Rx 是实的偶函数 因此 x 也是偶函数 即 x x 在这种情况下 基本关系式 1 2 26 和 1 2 27 变成 1 2 28 1 2 29 按以上定义的谱密度 x 对 的正负值都是有定义的 故称为 双边谱密度 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 为了适应实际测量 考虑定义在 0 上的平稳过程 x t 定义 单边谱密度 如下 1 2 30 在此 XT 是x t 的单边傅立叶变换 功率谱密度 x 是在频域上描述随机过程 x t 的统计规律的最重要数字特征 它的物理意义表示随机变量x t 的平均功率在频域上的分布 5 平稳过程的互谱密度互谱密度函数是在频域上描述两个随机过程之间的相关性的 在实际应用中 常常利用测控系统输入输出的互谱密度来确定系统的传递特性 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 考虑两个平稳数据x t 和y t 它们的互谱密度定义为 1 2 31 式中 XT 和YT 分别是xT t 和yT t 的傅立叶变换 容易证明 互相关函数与互谱密度是一傅立叶变换对 即 1 2 32 1 2 33 令 0 就有若x t 是通过一个双端网络的电压 y t 是产生的输入电流 则Rxy 0 就等于输送到该网络的功率期望值 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 如果x t 和y t 正交 则有 1 2 34 这时就有 1 2 35 例1 1如果随机过程 x t 的均值为零 且功率谱密度等于正常数 即则称此过程为白噪声过程 它的功率 或能量 与频率无关 具有与白色光相同的能量分布性质 反之 功率谱不等于常数的噪声称为有色噪声 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 白噪声的相关函数为图1 4表示白噪声的相关函数和谱密度 可见 白噪声可定义为均值为零 且相关函数为 函数的随机过程 x t 这个过程在t1 t2时 x t1 和x t2 是不相关的 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 白噪声是一种理想化的数学模型 它的平均功率Rx 0 是无限的 实用上 如果噪声的频谱在一个比实际系统频带宽得多的范围内具有比较 平坦 的曲线 就可近似地当成白噪声来处理 通常 把这种噪声称为限带白噪声 它的谱密度满足对上式求傅立叶逆变换 可得例1 2二进制伪随机 Pseudo noise 序列或PN序列是由1和0组成的序列 它的相关函数与白噪声很相似 它近似为一个脉冲 但有一个重复周期T 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 最常用的PN序列就是M序列 可用图1 5带有线性反馈的M阶线性移位寄存器产生 其长度为N 2M 1比特 周期T 15 t M 4 其中 t为时钟脉冲的周期 在每个周期T产生2M 1个1 2M 1个0 具有良好的平衡性 将由 0 1 组成的二进制序列变换为一个由 1 1 组成的二进制序列 这个由 1 1 组成的等价序列 cn 称之为双极性序列 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 周期T N t 幅度A 1的M序列的自相关函数可用下式表示 因为序列 cn 是周期性函数 故其自相关函数RM 也具有周期性 如图1 6所示 参数N和 t决定了M序列的特性 显然 当N RM 由于RM 是实的偶函数 故可根据式 1 2 29 来计算它的谱密度 即可见 M序列的功率谱密度函数是离散谱 且有一个sinc形包络曲线 如图1 7所示 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 6 限时限带函数及采样定理考虑实的周期函数或限时函数x t 若时间函数x t 仅在一段有限时间 0 T 内有非零值 则称为限时函数 限时函数x t 经周期延拓之后 可化为周期函数 因此可表示为傅立叶级数 1 2 36 其中X n 称为x t 在频率为 n 2 n T处的傅立叶系数 且满足X n X n 如果X n 仅仅在以下频率范围内才有非零值 则称x t 为限时限带函数 这里 W表示频带宽度 谱宽 TW 表示不超过T W的最大整数 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 为方便起见 下面用TW代替 TW 将式 1 2 36 中的第一式可写成 1 2 37 式中 X n a n jb n 通常X 0 0 式 1 2 37 表明 完整地描述一个持续时间为T 谱宽为W的限时限带实值函数 需要也仅需要2TW个实数a n 和b n 或TW个复数X n 这个结论实际上是采样定理的另一种叙述方式 在工程上 采样频率一般取为信号上限频率的3 5倍 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 7 周期函数的帕塞瓦尔公式周期函数或限时限带函数的帕塞瓦尔公式可表示为 1 2 38 证明由式 1 2 36 并利用零均值条件 实函数傅立叶变换的共轭对称性和三角函数的正交性 可得式中 Re 表示取实部 如果x t 是在 t T t 内被观测 则式 1 2 24 中的积分区间 0 T 可改为 t T t 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 3线性系统的时频分析 假设施加于图1 8所示系统的输入信号为x t 则系统产生的输出y t 为 1 3 1 线性系统 物理可实现 稳定的 频率响应函数H j 脉冲响应函数h t 傅立叶变换 传递函数H s s j 0 拉普拉斯变换 y t x t h t H j 图1 8线性系统的输入 输出 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 对于物理可实现的因果系统 其脉冲响应函数h t 是实数 且对于负的t取零值 但在下面的讨论中不一定要作这样的假设 1 3 1线性系统的相关分析相关分析和最小二乘法是系统分析和参数估计最常用的两种方法 这此仅介绍相关分析法 1 均值假设线性系统的输入信号 x t 是一平稳过程 对式 1 3 1 的两边取均值 则有显然 y t 的期望值是常数 由下式给出 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 3 2 2 相关分析在式 1 3 1 的两边同乘以x t 得到 1 3 3 由于所以 在式 1 3 3 两边取期望值 就有 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 上式右边积分显然与t无关 且等于Rx 与h 的卷积 因而上式左边也与t无关 于是 根据互相关的定义 得到 1 3 4 将式 1 3 1 两边的复共轭乘以y t 有再取期望值 又有 1 3 5 上式是令 的结果 同样的推理 可类似地证明 1 3 6 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 合并以上二式 可得 1 3 7 3 功率谱利用卷积定理 式 1 3 6 可写成 1 3 8 其中H j 是h 的傅立叶变换 于是有 1 3 9 上述关系可用图1 9来表示 4 传递函数H j 在平稳输入信号x t 作用下 产生的输出y t 当用功率谱表示时 由式 1 3 9 可得到增益因子的估计 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 3 10 上式只含有系统的幅频特性 为了求出系统的相频特性 还需要互谱分析 由 1 3 8 的第一式 可知 可用下式估计 1 3 11 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 此外 还定义两个平稳随机过程 x t 和 y t 的相干函数 Coherencefunction 为 1 3 12 它表示两个平稳过程在频域上的 互相关 程度 故也称为谱相关函数 显然 0 xy2 1 如果在某些频率点上 xy2 1 则表示x t 和y t 是完全相干的 如果在某些频率点上 xy2 0 则表示x t 和y t 在这些频率点上不相干 不凝聚 这也是不相关的另一种提法 如果x t 和y t 是统计独立 则恒有 xy2 0 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 在上述相干函数计算中 谱密度和互谱密度的估计必须是经过总体平均的 否则 不论两个过程是否相干 直接计算谱密度和互谱密度所得到的相干函数值将恒等于1 在作系统的相关分析时 输入信号x t 的谱宽应大于线性系统H j 的谱宽 这样才能把线性系统H j 的所有振型激励出来 使分析结果能反映系统的动态特性 5 系统简化考虑图2 10中的两个系统 设x1 t x2 t 分别是它们的输入 而y1 t y2 t 是对应的输出 即 1 3 13 y1 t x1 t h1 t H1 j y2 t x2 t h2 t H2 j 图2 10两个单输入 输出系统 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 将第一式乘以y2 t 第二式的复共轭乘以x1 t 则有对这两式取期望值 得到 1 3 14 上式的傅立叶变换为 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 故有 1 3 15 这相当于两个系统h2 和h1 串联成一个系统 并用Rx1x2 作为系统的输入 6 分离系统若两个系统的幅频特性 或频带 不重叠 如图1 10所示 则有那么 式 1 3 15 表明 对于任意的x1 t 和x2 t 通过分离系统得到的输出y1 t 和y2 t 是正交的 0 H1 j H2 j 图2 10分离系统 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 利用该结论 只须把单个过程 x t 作为两个分离系统的公共输入 就可以产生两个正交过程 y1 t 和 y2 t 若E x t 0 则两个输出的期望值也是零 且不相关的 1 3 2线性系统的随机激励在系统的输入端施加统计特性已知的噪声扰动 然后观测系统的输出 从这些受到随机干扰的局部观测数据出发 应用适当的数学工具可以分析系统的动态特性 或建立数学模型 常用的噪声序列有白噪声和伪随机信号 因为二者都有明确的统计特性 而且易于用仪器或数字计算机产生 1 输入信号为白噪声设线性因果系统的脉冲响应函数为h t 输入信号x t 为白噪声 不妨设Rx 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 则由式 1 3 6 可知系统输出y t 与输入x t 之间的互相关函数为可见 只须对 0 计算出Ryx 就能知道系统的脉冲响应函数h t 该算法可用Matlab Simulink图示化方块图 见图1 11 进行仿真 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 如果干扰n t 与激励x t 互不相关 即Rnx 0 则仿真 示波器 显示的曲线就是系统的脉冲响应函数h t 该结论证明如下 如果过程具有遍历性 那么对充分大的T 积分器的输出z 为 在多数情况下 可以把白噪声信号叠加在正常输入信号上 对测控系统进行在线辨识 白噪声的自相关函数是脉冲函数 因而它与其它噪声几乎都互不相关 因此 用白噪声作为输入信号能够排除其它干扰信号的影响 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 为了取得精确的估计值 必须延长积分时间T 计算互相关函数就要耗费大量的时间 从而影响在线辨识的实时性 2 输入信号为伪随机序列为了保持白噪声作为输入信号时的优点 克服其缺点 可采用伪随机噪声信号 简称伪随机信号 作为激励信号 在例1 2中给出的M序列的相关函数与白噪声信号很相似 可视为脉冲信号 但它有一个重复周期T 如果M序列的幅值是 a a 且序列的长度N足够大 那么它自相关函数Rx 在 2T T 0 T 2T 各点取值为序列的均方值a2 而其余各处均接近于零 故Rx 是一个脉冲序列 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 可将M序列看作出现在每一周期内T的白噪声信号 在选择M序列x t 的周期T时 应事先估计系统的调整时间ts 使得T ts 这样 在T时间内 系统的单位脉冲响应h t 已经衰减到几乎为零 于是 可在0 T之间按图1 11来计算Ryx 从而得到完整的h t 要适当选取M序列的时钟脉冲的周期 t时 参见图1 7 确保它的谱宽 1 3 t 大于系统的谱宽 这样 采用伪随机信号作为激励信号进行系统辨识的结果与采用白噪声作为激励信号的结果才能基本相同 由于伪随机信号是物理可实现的 而白噪声是理想化的数学模型 因此 伪随机信号在测控技术领域中的应用更为广泛 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 4平稳高斯随机过程 高斯 正态 随机过程 简称高斯过程 是非常重要的随机过程 在测控系统中的随机信号大多服从高斯分布 1 4 1高斯过程的定义和性质考虑实的随机过程 x t 如果它的密度函数的形式为 1 4 1 则称为高斯随机过程 在本节中各参数符号的意义与1 2节中所定义的相同 以下不再赘述 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 考虑两个实的随机过程 x t 和 y t 如果它的密度函数的形式为 1 4 2 则称为二维高斯随机过程 其中 xy是随机变量x t 和y t 的互相关系数 即考虑nx 1和ny 1向量随机过程 x t 和 y t 如果它们的联合密度函数的形式为 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 4 3 则称 x t 和 y t 为联合高斯向量随机过程 其中 det 表示矩阵的行列式 C是x t 和y t 的联合协方差函数 对于平稳高斯过程 是指过程同时具有平稳过程和高斯过程的所有特性 其均值是常数 协方差函数仅是时间差的函数 高斯过程具有如下性质 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 性质1 高斯过程完全由均值函数和协方差函数所决定 性质2 高斯变量之间的不相关性与独立性是等价的 证明 在式 1 4 2 令互相关系数 xy 0 就有 p x y p x p y 性质3 一组随机变量若具有联合高斯分布 则它的任何部分集合也是联合高斯的 性质4 对于零均值联合高斯的实随机变量x1 x2 x3和x4 其四阶原点混合矩为 1 4 4 性质5 高斯向量x经过任意线性变换A所得到的随机向量A x也是高斯的 N个随机变量 若其任意加权和是一高斯变量 则它们是联合高斯的 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 性质6 高斯过程 x t 通过线性滤波器 其输出也是高斯过程 故x t 的任意线性泛函 也是高斯过程 性质7 单个和多个限时限带 时间长度为T 频带为W 高斯过程的傅立叶系数构成复高斯向量 并可用复高斯密度函数来表示 证明 考虑单个限时限带 零均值和实的高斯过程 x t 的傅立叶系数a n 和b n 视为随机变量x t 的线性泛函 由性质6知 它们是高斯变量 a n 和b n 的任意加权和也是高斯变量 由性质5知 a n 和b n 具有联合高斯分布 因此 实值高斯变 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 量x t 的一组傅立叶系数X 1 X 2 X TW 构成一个TW维的复高斯向量X 下面要证明 只要Xn an jbn满足一定条件 其概率密度函数为 1 4 5 这里用an代替a n 用bn代替b n 首先证明当T足够长高斯过程x t 的傅立叶系数an和bn是不相关 独立等价 性质2 的 即 1 4 6 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 式中 mn是克罗内克 Kroneckerdelta 符号 当m n mn 1 否则 mn 0 由零均值条件mx 0推知 E Xn E an E bn 0 即傅立叶系数也是零均值 下面计算零均值条件下 随机过程任意两频率 m和 n上的协方差 1 作变量替换则积分区域的变化如图1 12所示 在上述变量替换下 式 1 可改写为 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 利用余弦函数的和角公式展开cos n u Tv 注意到 n T 2 n m T 2 m可得 图1 12变量替换前后积分区域的变化 t 0 t T t T T 0 T v u T 0 1 u T v u T T v 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 3 当观测时间T足够长时 式 3 右侧的两个内部积分可作如下近似 上式推导中利用了实值随机过程相关函数Rx u 为偶函数这一性质 将这个近似结果代入式 3 并利用三角函数的正交性质 得 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 用同样的方法 可以证明式 1 4 6 中其它结果 这里 复傅立叶系数Xn和Xm的协方差是按下式计算的 即下面证明式 1 4 5 对于高斯分布而言 不相关就意味着独立 故有 4 在零均值条件下 有E r 0 因此 根据式 1 4 3 二维高斯密度函数p rn 可表示为 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 5 其中由式 1 4 6 可知 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 此外 由于故又有将上述结果带入式 5 和 4 最后可得到傅立叶复系数为自变量的复高斯密度函数 证毕 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 4 2条件概率密度 假定对所考虑的观测数据y 有p y 0 并且把假定y y 下x的条件分布密度定义为 1 4 7 将式 1 4 2 代入上式 经过简单的运算 得到 1 4 8 上述条件密度也是高斯 正态 的 其条件均值及条件方差为 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 4 9 当mx my 0时 有 1 4 10 将上述关系推广到式 1 4 3 所表示的联合高斯密度函数 就可以得到条件均值mx y和条件协方差Cx y的表达式 1 4 11 1 4 12 这些关系式在参数估计中是经常要用到的 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 5平稳随机数据的数字处理方法 数字信号处理是建立在离散时间信号的基础上 数字化有两个主要步骤 其一是采样 确定需要观测的数据瞬时点 其二是量化 即把采样点上的数据值转化成数字量 1 5 1采样与量化采样的主要问题是确定适当的采样间隔Ts 采样点靠得太近 会产生相关重叠 致使产生虚假波形 并产生大量的多余数据 从而增加不必要的计算和成本 而采样点间距太大 会产生低频和高频分量的混叠 采样间距Ts的选取 一般由连续信号的上限频率fc来控制 并使之满足采样定理 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 5 1 这里 频率fc称为奈奎斯特频率或折叠频率 通常 fc应等于被观测系统最高频率的1 5 2倍 对于带通信号 假设带宽为BW 采样间距Ts可由带宽BW来确定 即 1 5 2 采样后的数据 必须表示为指定位数的数字 这就是所谓的量化 这个功能一般由A D转换器来实现 对于理想转换 量化误差具有均匀概率分布 其标准差 0 289 x x为量化增量 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 通常 量化误差的峰值为0 5 x 下面 我们来估计量化器的性能指标 例如 对于具有255个电平单位的8位A D转换器 其峰值信号xmax与峰值误差emax之比为其最大舍入误差为 0 5 x 最大量化误差 满刻度 在 0 5 255 100 0 2 之内 当量化误差具有均匀概率分布时 其峰值信号xmax与均方差 x之比为其均方根舍入误差为 0 289 x 最大量化误差 满刻度 在 0 289 255 100 0 11 之内 显然 量化误差与A D的转换位数成反比关系 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 5 2单个样本记录 在以下各种统计特性的估计中均假设xk k 1 2 N 是对均值为零的 实的平稳过程 x t 进行等间隔 t采样所得到的数据 1 概率密度函数随机变量x t 的概率密度函数可由下式估计 1 5 3 式中 x是以x为中心的窄区间 Nx是数据落在x 0 5 x中的数据个数 N是采样容量 注意 p x 的估计不是唯一的 它取决于分组区间的选择 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 均值计算平稳过程子样xk k 1 2 N 的均值 可由下式确定 1 5 4 3 相关函数相关函数的估计有两种方法 一种是直接计算法 另一种是用傅立叶变换计算功率谱密度函数 然后计算它的傅立叶逆变换 下面介绍直接法 子样xk k 1 2 N 在时间位移m t处的自相关函数 可由下式估计 1 5 5 式中 m是滞后数 M是最大滞后数 对应的最大时间位移 max是M t 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 当N很大时 上式可简化为 1 5 6 由此得到自相关函数的有偏估计 但因m相对于N来说是很小的数 故有偏估计与无偏估计 式1 5 5 的差别很小 对于协方差函数的估计 可先去均值 再作相关估计 如果用相关函数的傅立叶变换来计算功率谱 则谱密度估计的频率分辨力 f与最大时间位移 max的关系是 1 5 7 4 功率谱估计对0 c 或0 f fc 范围内的任意 单边功率谱密度函数Gx 可用下式估计 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 5 8 其中 t为采样间隔 c t为截止频率 通常称上式定义的函数Gx 为周期图 单边功率谱密度函数Gx 也可用下式估计 1 5 9 式中 X n 与xk n k 0 1 2 N 1 的构成离散傅立叶变换对 即 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 单边谱Gx 与双边谱 x 的关系可用图1 12来表示 二者存在如下的关系 上述推导的结果也适用于互密度函数的值 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 5 用DFT做谱分析的参数选择采样间隔 t应满足采样定理采样点数N与采样间隔 t及信号持续时间T的关系应满足式中 f为谱分析的频率分辨力 例1 3用快速傅立叶变换 FFT 进行频谱分析 N必须是2的整次幂 现假设信号的上限频率fc 1250Hz 要求谱分析的频率分辨力 f 5Hz 解 1 由频率分辨力确定采集信号的最小持续时间 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 由上限频率确定最大采样周期 3 DFT点数应满足选择满足2的整次幂的DFT点数 即如果x k 是实序列 则有X k X N k k 0 1 N 2 利用该特性可减少DFT的计算量 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 5 3两个样本记录的数字处理设有两个平稳过程 x t 和 y t 的时间历程记录x t 和y t 若它们只在t0 t t0 T上存在 t0是任意常数 假定采样间隔是 t 它对应的截止频率是fc 1 2 t 则x t 和y t 的采样值分别为下面介绍的内容均按上述假设作为前提 1 联合概率密度函数与式 1 5 3 类似 两个平稳记录x t 和y t 的联合概率密度函数为 1 5 10 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 式中 x和 y是中心分别为x和y的两个窄区间 Nxy是x和y同时落在这两个窄区间的数目 N为采样容量 2 均值首先需要计算的量是子样均值然后计算去均值后的数据值 1 5 11 它们对应于新的不含有直流分量的时间记录为x t x t mx和y t y t my 3 互相关函数有两种估计方法 直接法和间接法 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 子样的互相关函数在滞后数m 0 1 2 M处的直接无偏估计为 1 5 12 此外 根据式 1 2 16 可计算出互相关系数 xy m 4 互谱密度函数设有xk和yk k 0 1 2 N 1 用DFT方法计算互相关函数可采用如下步骤 先按下式计算互谱密度函数 即 1 5 13 计算互谱密度Gxy n 的逆DFT 就可估计出互相关函数Rxy m 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 5 频率响应函数根据式 1 3 8 估计频率响应函数H j 可采用下式 即 1 5 14 或者 写成幅频特性和相频特性的形式 1 5 15 因此 按前面介绍的谱密度和互谱密度DFT估计算法 即可估计出系统的频率特性 6 相干函数采用FFT方法计算 n 2 n N t n 0 1 2 N 1 处的相干函数可由下式估计 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 6观测数据准备 检验与修正 测控系统是受随机噪声污染的动态系统 因此 系统的观测量是随机变量 在一般情况下 被测对象的真实波形往往是不知道的 故波形的畸变是不容易被发现 因此 简单地根据测试波形直接求得结果 往往会产生很大的误差 乃至得出错误的结论 本节将介绍随机数据分析处理的若干问题和畸变波形的反演修正方法 1 6 1随机数据预处理的基本内容数据处理都包含以下基本内容 其一 数据获取 其二 数据准备 其三 数据检验与分析 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 1 数据获取数据的采集 记录与传递 在某些应用中 也可以直接用传感器的输出信号作实时数据处理 而在多数场合 需要将采集数据存储起来 2 数据准备目的是要检测和剔除野点和奇异项 过高和过低的观测数据 校正 计算数据使之与实际物理单位相联系 最后预验数据 包括 消除电平漂移和趋势项 一般用一阶差分法检测奇异项 用采样平均估计检测电平漂移 用最小二乘法和均斜率法消除趋势项 3 数据检验与分析随机数据处理的结果是否正确 取决于数据的一些基本特性 数据的平稳性 周期性 正态性 非平稳数据与平稳数据的处理方法是不同 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 周期性的正确判别可以避免在结果的解释中出现错误 正态性的判定对数据计算精度有直接的影响 比如 最小二乘法就是建立在数据正态分布的前提下的 平稳性检验其重要特征是时间波形的平均值波动小 波形的峰谷变化比较均匀 频率结构比较一致 例如 对于单个记录样本x t 的平稳性检验 可用如下方法 第一步 把样本记录分为N个等间隔的独立区间 第二步 对每个区间计算均方值 并列成时间序列 第三步 检验该均方值序列 看是否有因采样变化以外的其它因素而引起的变化 或变化趋势 如果没有 则可判为平稳随机数据 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 周期性和准周期数据分析主要是检验观测数据中是否含有周期或准周期的正弦成分 通常进行功率谱分析 这是因为在正弦分量的频率上 各谱值出现一个尖峰 它对应于正弦分量的均方值 频率分辨力 谱密度的最大峰值 尽管这种尖峰有时会与窄带随机分量混淆 但如果数据中的周期分量很强时 则它们的存在往往是易于分辨的 采用适当的滤波器 就可以从数据中分离出这些正弦分量 在高分辨力的功率谱中 即使周期分量很弱 也会显示出尖峰形状 但是谱的尖峰也可能表示窄带随机数据 所以 必须用更高分辨力的带通滤波器重复测量 计算功率谱函数 才能区别出这两者尖峰 在相关函数图中 周期分量总是一条连续振荡的曲线 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 正态性检验简明的方法是估计观测数据的概率密度函数 然后与理想的正态分布曲线比较 还可以采用作图表的方式 即把一组数据序列标在专用的正态概率分布图上 若样本记录的各点近似地落在一条直线上 则说明样本符合正态分布 与上述数据检验与分析方法对应的统计信号处理方法有 均值和均方差是数据分布中心趋势和散布的基本测量 直接估计的均值和均方差 可用于检验数据的平稳性 相关估计可用于检测随机数据中的周期分量 互相关估计可以用来检验两个记录波形的相似性 功率谱密度是描述平稳随机过程统计特性的最有力数学工具之一 它确定了平稳过程的频率结构 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 功率倒频谱 Cepstrum 定义为对数功率谱的功率谱 即式中 称为倒频率 具有时间因次 F表示傅立叶变换 注意到自相关函数可表示为可见倒频率与自相关函数的时间因次 是一样的 高的倒频率表示谱中的快速变化分量 低的倒频率表示谱中的缓慢波动分量 倒谱在功率谱的对数计算时给低幅值分量予以较高的加权 其作用既可突出谱的周期性 又能精确地测出频率间隔 而相关函数与频谱形状的关系十分密切 经滤波后实际上不能检测出相关函数的峰值 而功率谱的对数对滤波器带宽的变化是不敏感的 因此 在自相关函数无法分辨的场合 功率倒频谱还能显示出延时峰值 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 概率密度的估计常常被忽略 因为人们一般总是认为随机现象是服从正态分布的 然而 在一些场合下 随机数据可能会严重偏离正态分布 若在正态性检验时发现确实有这种偏离 则必须估计观测数据的概率密度函数 以获得数据的实际概率分布 对于非平稳和瞬变数据 或用于特殊目的的随机数据处理 有时也可以按上述方法进行预处理 但这种分析结果的解释 必须特别慎重 除此之外 还有卷积分析 细化FFT分析 最大熵谱分析 时频分析和小波分析等 在今后的章节中还将介绍这些内容 在此暂不赘述 1 6 2畸变波形的反演修正畸变波形的反演就是对观测数据 或波形 进行修正来获得真实波形的过程 幅值和相位进行修正 波形的基线修正 消除因漂移或基线移动所引起的畸变和趋势项 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 滤波 下面重点介绍波形的基线修正 1 波形基线修正的意义 数值积分 微小波动 积分后的影响很大 进行参量变换 提供一些无法测量的参数 相互校核计算 必须有统一基准 补偿传感器性能特性所引起的偏差 如残余位移和残余应力等 系统的飘溢 干扰 非线性输出 充放电作用 传感器安装等 都可能造成基线的移动 周期大于记录长度的频率成分 趋势项 2020 1 26 波形 频谱与随机信号分析 2 确定性波形的基线修正主要采用多项式修正法 例如 采用三次项修正量的可表示为 1 6 1 式中 ci i 1 2 3 4 为修正量的系数 由初始条件和终止条件决定 例1 4弹性变形爆炸瞬态