三角函数及解直角三角形竞赛试题.doc

三角函数及解直角三角形1三角函数定义：如图RtABC中，C90正弦：；余弦：；正切：；根据定义，写出B的三个三角函数值_；_；_；2三角函数之间关系（1）同角三角函数关系；模仿写出：_；（2）互余角三角函数关系（AB90）；tanAtanB1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3特殊角的三角函数值30、45、60三角函数3045604会设计并根据三角函数关系计算15、75角的三角函数5根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当090时，sin随的增大而_；cos随的增大而_；tan随的增大而_6已知一个三角函数值，求其他三角函数值。（根据三角函数关系）例题：sinA，求cosA、tanA注意：（1）正弦、余弦、正切、都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）不是与的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。（4）当时，。7解直角三角形的定义及应用(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。（3）指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45（东北方向） ， 南偏东45（东南方向），南偏西45（西南方向）， 北偏西45（西北方向）。（4）解非直角三角形的方法对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是：作垂线构成直角三角形；利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。（5）解直角三角形的实际应用的步骤审题分析题意，理解实际问题的意义，看懂题目给出的示意图或自己画出的示意图，找出要解的直角三角形；把实际问题中的数量关系，转移到直角三角形的各元素上，找出已知元素和未知元素；根据已知元素和未知元素之间的关系，选择合适的三角函数关系式。解题注意精确度答注意答的完整及注明单位（6）解斜三角形所根据的定理 (在ABC中)正弦定理：2R. (R是ABC外接圆半径).余弦定理：c2a2b22abcosC； b2c2a22cacosB； a2c2b22bccosA.如图，在ABC中，证明上面公式中的一个即可三角形的三角函数计算面积：在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可（7）解直角三角形应用常见基本图形例题讲解例题1：计算（1）sin45sin602cos45； （2）(1)0-1-sin301()-1；（3）sin60； （4）2-3()0cos60.例题2：已知sin+cos=，求sincos的值例题3：为锐角，若sin,求的范围 为锐角，若cos,求的范围例题4：已知4590,化简例题5：如图所示，A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（结果保留根号）例题6：如图，AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBC，DCBC，从点B测得点D的仰角为60，从点A测得点D的仰角为30，已知甲建筑物高AB36m。（1）求乙建筑物的高DC；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC（结果保留根号）。例题7：如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为BFE,点F落在AD上.（1）求证：ABEDFE（2）若sinDFE，求tanEBC的值.例题8：已知：四边形ABCD中，A60，CBAB，CDAD，CB2，CD1.求：AC的长.例题9：已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CDa.试写出表示AB的算式.例题10：已知：ABC中，A45，AB，BC2，求AC及ACB.(福建省初中数学联赛题)例题11：已知：二次方程mx2(m2)x(m1)0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.练习试题1如图，ABC中，cosB，sinC，则ABC的面积是【 】A B12 C14 D212如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是【 】A10m B10m C15m D5m3如果ABC中，sinAcosB，则下列最确切的结论是【 】A. ABC是直角三角形 B. ABC是等腰三角形C. ABC是等腰直角三角形 D. ABC是锐角三角形4在ABC中，A120，AB4，AC2，则的值是【 】A B C D5如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 .6在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距 m. 7如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cosAOB的值等于_ 8如图,在RtABC中，ACB=90,CDAB,垂足为D.若AC=,BC=2,则sinACD的值为【 】A. B. C. D. 9如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60和45求隧道AB的长（参考数据：=1.73）10一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，FACB90, E45,A60，AC10，试求CD的长11中，则外接圆半径为 ； 。12中，若、满足，求大小。13三边、与面积S满足，求的余弦值。14已知为外接圆半径，求证：面积15中，求的最小值。16已知：在ABC中，则此三角形为 【 】A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C.