高三数学理第一轮复习：两角和与差的三角函数、二倍角的正弦、余弦和正切人教版知识精讲.doc

用心 爱心 专心 高三高三数学理数学理第一轮复习 两角和与差的三角函数 二倍角的正弦 第一轮复习 两角和与差的三角函数 二倍角的正弦 余弦和正切余弦和正切人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 两角和与差的三角函数 二倍角的正弦 余弦和正切 二 重点 难点 1 掌握两角和与差的正弦 余弦 正切公式 能正确运用上述公式 进行简单三角函数 的化简 求值和恒等式的证明 2 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 能正确运用上述公式 进行简单三角函数式的 化简 求值和恒等式的证明 典型例题典型例题 例 1 1 已知 其中 5 3 4 cos 13 5 4 3 sin 4 3 4 4 0 求的值 2 已知都是锐角 且 求 sin 5 5 sin 10 10 sin 解 解 1 4 0 4 3 4 4 3 4 3 0 42 4 cos1 4 sin 2 5 4 5 3 1 2 4 3 sin1 4 3 cos 2 13 12 13 5 1 2 4 4 3 cos 2 cos 4 sin 4 3 sin 4 cos 4 3 cos 65 56 5 4 13 5 5 3 13 12 65 56 2 cos sin 2 2 0 2 0 0 又 10 103 cos 5 52 cos 用心 爱心 专心 sinsincoscos cos 2 2 10 10 5 5 10 103 5 52 又 在之间 余弦值为的角只有 0 2 2 4 4 例 2 已知锐角中 ABC 5 1 sin 5 3 sin BABA 1 求证 BAtan2tan 2 设 求 AB 边上的高 3 AB 解 解 1 证明 5 1 sin 5 3 sin BABA 5 1 sincoscossin 5 3 sincoscossin BABA BABA 5 1 sincos 5 2 cossin BA BA 2 tan tan B A BAtan2tan 2 5 3 sin 2 BABA 即 4 3 tan BA 4 3 tantan1 tantan BA BA 将代入上式并整理得BAtan2tan 解得 舍去负值 得01tan4tan2 2 BB 2 62 tan B 2 62 tan B 62tan2tan BA 设 AB 边上的高为 CD 则 62 3 tantan CD B CD A CD DBADAB 由 AB 3 得 62 CD AB 边上的高等于62 例 3 已知 求的值 4 7 12 7 5 3 4 cos xx x xx tan1 sin22sin 2 解 解 4 7 12 7 x 2 46 5 x 又 0 5 3 4 cos x 2 42 3 x 4 cos1 4 sin 2 xx 5 4 5 3 1 2 用心 爱心 专心 3 4 5 3 5 4 4 cos 4 sin 4 tan x x x 4 cos21 4 2cos2sin 2 xxx 25 7 25 18 1 原式 x x xx cos sin 1 sin22sin 2 xx xxx xx xxxx sincos sin cos2sin sincos cossin2cos2sin 2 x x x tan1 tan1 2sin 4 tan 2sinxx 75 28 3 4 25 7 例 4 已知三点 A B C 若向量 sin cos sin cos sin cos 为常数且 求的最大值 最小值0 2 OCkOBkOAk20 k cos 及相应的值 k 解 解 由已知 0sin 2 sinsin 0cos 2 coscos kk kk 移项得 sin 2 sinsin cos 2 coscos kk kk 两式平方 整理有 1 cos 2 2 2 22 kkkk cos 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 342 2 2 kkkkk kk 20 k 当时 有最大值1 k cos 2 1 又 故有最小值为 此时1 cos cos 1 1 2 2 3 1 kk 解得或 2 1 k 2 3 k 综上所述 当时 有最大值 当或时 1 k cos 2 1 2 1 k 2 3 k 有最小值 cos 1 例 5 已知 2 sin 2 cos 2 3 sin 2 3 cos xx bxxa 2 0 x 用心 爱心 专心 1 求及 ba ba 2 若的最小值是 求的值 babaxf 2 2 3 解 解 1 x x x x xba2cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 22 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos x x x xba xxcos2cos2 2 2 0 x 2 22 21 cos2cos42cos xxxxf 2 0 x 1 0 cos x 当时 矛盾0cos 0 x 1 min xf 当时 由 得 xcos 10 2 min 21 xf 2 3 21 2 2 1 当 时 由 得 矛盾 1 1cos x 41 min xf 2 3 41 1 8 5 综上 为所求 2 1 例 6 设 0 1 sin cos1 sin cos1 cba 与的夹角为 与的夹角为 2 求 0 a 2 ac 1 bc 6 21 的值 8 sin 解 解 根据题意 cos22 cos1 cos 1 ca ca 2 cos 2 cos1 而 2 0 2 0 1 2 1 同理 cos22 cos1 cos 2 cb cb 22 cos 2 sin 2 cos1 而 22 cos 0 2 2 0 22 22 2 将代入 得 22 2 21 6 21 32 用心 爱心 专心 4 62 34 sin 12 sin 8 sin 例 7 如图 在直径为 1 的圆 O 中 作一关于圆心对称 邻边互相垂直的十字形 其中 0 xy 1 将十字形的面积表示为函数 2 为何值时 十字形的面积最大 最大面积是多少 解 解 1 设 S 为十字形的面积 则 24 coscossin22 22 xxyS 2 方法一 方法一 2 coscossin2 S 2 1 2cos 2 1 2sin 2 1 2sin 2 5 其中 5 52 arccos 当 即时 S 最大1 2sin 2 2 所以当时 S 最大 S 的最大值为 5 52 arccos 2 1 4 2 15 方法二 方法二 因为 2 coscossin2 S 所以 cossin2sin2cos2 22 S 2sin2cos2 令 即0 S02sin2cos2 可解得 2arctan 2 1 2 所以当时 S 最大 S 的最大值为 2arctan 2 1 2 2 15 模拟试题模拟试题 答题时间 45 分钟 一 选择题 1 已知 则的取值范围是 2 1 cossin sincos A B C D 2 1 1 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 用心 爱心 专心 2 的值是 75cos15 cos15sin75 sin A B C D 1 2 1 2 3 2 2 3 要使有意义 则应有 m m 4 64 cos3sin A B 3 7 m1 m C 或 D 1 m 3 7 m 3 7 1 m 4 等于 2cos cos 2cos1 2sin2 2 A B C 1 D tan 2tan 2 1 5 已知 则等于 3 2 tan cos A B C D 5 4 5 4 15 4 5 3 6 在中 若 则是 ABC C c B b A a coscoscos ABC A 直角三角形 B 等边三角形 C 钝角三角形D 等腰直角三角形 7 已知 当时 可化简为 xxf 1 2 3 4 5 2sin 2 sin ff A B C D sin2 cos2 sin2 cos2 8 若 则的值是 xxf2sin tan 1 f A B C D 12sin 1 2 1 二 解析题 1 已知 5 3 2sin 2 3 4 5 1 求的值 cos 2 求满足的锐角 10 10 cos2 sin sin xxx 2 如图所示 有一块以点 O 为圆心的半圆形空地 要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD 辟为绿地 使其一边 AD 落在圆的直径上 另两点 B C 落在半圆的圆周上 已知 半圆的半径长为 如何选择关于点 O 对称的点 A D 的位置 可以使矩形 ABCD 的面积a 最大 用心 爱心 专心 3 已知为锐角 且 试求 1sin2sin3 22 02sin2sin3 的值 2 3 cos 试题答案试题答案 一 1 D 解析 解析 设 两式相加得t sincos 2 1 sin t 由 得 两式相减 得 由1 2 1 1 t 2 3 2 1 tt 2 1 sin 得 1 2 1 1 t 2 1 2 3 t 2 1 2 1 t 2 B 解析 解析 原式 15sin15 cos15sin15 cos 2 3 30cos15sin15cos 22 3 D 解析 解析 m m m m 4 32 3 sin 4 64 3 sin 2 由 3 7 11 4 32 1 m m m 4 B 解析 解析 2tan 2cos 2sin 2cos cos 2cos1 2sin2 2 5 B 解析 解析 4 3 91 6 2 tan1 2 tan2 tan 2 5 4 cos 在第一或第三象限 则在第一或第二象限 2 03 2 tan 又 0tan 在第二象限 故 5 4 cos 6 B 解析 解析 由 得 B b A a coscos B A b a cos cos 又 B b A a sinsin B A b a sin sin 用心 爱心 专心 B A B A cos cos sin sin BABAsincoscossin A B 同理 B C 是等边三角形0 sin BAABC 7 D 解 解 2sin12sin1 2sin 2 sin ff cossincossin 2 3 4 5 0cos 2 2 sin1 0sincos 0sincos 原式 cos2sincossincos 8 B 解析 解析 1 2 sin 4 tan 1 ff 二 1 解析 解析 1 因为 所以 2 3 4 5 32 2 5 所以 5 4 2sin12cos 2 由1cos22cos 2 所以 10 10 cos 2 因为 10 10 cos2 sin sin xx 所以 所以 10 10 sin1 cos2 x 2 1 sin x 因为为锐角 所以x 6 x 2 解析 解析 如图所示 令 则 则矩形 ABCD 的 AOB cos sinaOAaAB 面积为2sin aS 222