中考数学复习专题突破(点拨交流+思路引导+变式训练).docx

中考数学复习方案 专题突破篇（点拨交流+思路引导+变式训练）专题一探索规律【考向互动探究】通过列举特例中数字、算式、代数式、等式和图形等的变化规则，探索其中蕴含的共同数学特征，提炼出一定的规律，并根据这一规律对后面的变化进行推测探究一 探索数式变化规律例题1. 某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，第3位同学报，这样得到的20个数的积是多少？【点拨交流】(1)对已知算式进行初步分析，你能写出下一个算式吗？(2)根据这些特例，你能写出这些等式的一般形式吗？(3)你能运用上述规律解答问题吗？进一步推广，你能得到什么结论？【思路导引】特例归纳基础 归纳概括在特例基础上，观察、抽象、概括 猜想得出一般性结论运用你得到的结论解决问题【点拨交流】(1)前3位同学报的数依次为12，1，1；以此类推，第4位同学报的数为1.(2)采用由特殊到一般的思想，可得第n位同学报的数(算式)是1(3)这样得到的20个数的积为2.前一个分数的分子与后一个分数的分母相同，通过约分的方法化简，可得其乘积为21.这样得到的n个数的积为n1.答案： 21探究二 探索图形变化规律 有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图X11.若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换图、图分别表示第1次变换和第2次变换按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是 ()图X11A上B下C左D右【点拨交流】(1)比较每一次变换前后的图形，它们有什么共同特征？(2)能否找到图形变换所呈现的周期规律？根据这个规律，你能解决问题吗？(3)本题启发我们：解题时怎样看待貌似复杂的图形变换过程？【思路导引】 (1)每一次变换后相当于逆时针旋转了90度(2)每经过4次变换后会回到原始位置按这个规则，完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置应该是第一次变换后的位置，即在左边(3)直接比较图形变换的起始情况，或许更容易发现明显的特征答 案 C探究三 探索数形变化规律 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，这样的数称为“正方形数”从图X12中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是 ()图X12A13310 B25916C361521 D491831【点拨交流】(1)从“形”的角度来看，“正方形数”和较小的“三角形数”，它有何规律？(2)从“数”的角度来看，等式有何规律？用字母表示出来；(3)你能对以上结论进行证明或者验证吗？(4)选项中的哪一个等式符合上述结论？【思路导引】 点拨交流(1)“正方形数”依次为：112，422，932，1642，2552，即从1开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数”，依次为：1，123，1236，123410，1234515，即从1开始的连续正整数相加的和(2)如果用n2表示“正方形数”，则等式表示为：n2.（3)n2.(4)对照图示规律或者等式特征，可知选C. 答 案： C专题二函数图像主要研究对象，有时添加简单的几何图形，分成23个小问题，研究函数图像的特征及其与系数的关系，求函数的表达式考向互动探究探究一 一次函数与反比例函数图像问题例题 如图X21，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.(1)求直线DE的表达式和点M的坐标；(2)若反比例函数y(x0)的图像经过点M，求该反比例函数的表达式，并通过计算判断点N是否在该函数的图像上；(3)若反比例函数y(x0)的图像与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围 图X21【点拨交流】(1)用待定系数法求直线的表达式，一般需要几个点的坐标？(2)用待定系数法求双曲线的表达式，一般需要几个点的坐标？(3)怎样判断一个点是否在某个函数图像上？(4)一个函数图像与某种几何图形有公共点的问题，通常转化为什么问题解决？【思路导引】 点拨交流(1)一般需要知道直线上两个点的坐标，题目中直线DE上的两个已知点坐标是D(0，3)和E(6，0)，由此列方程组求得一次函数表达式，并进一步确定点M，N的坐标(2)一般需要知道双曲线上一个点的坐标，故可利用点M的坐标求得反比例函数表达式(3)把这个点的坐标代入函数表达式，看其能否成立因此，判断点N是否在反比例函数的图像上，就是判断点N的坐标是否满足反比例函数表达式(4)转化为函数图像经过该几何图形的顶点的问题，比如本题可以考查反比例函数y(x0)的图像经过MNB三个顶点的情况，m的值介于三者之间时，方能与MNB有公共点解 (1)设直线DE的表达式为ykxb，点D，E的坐标分别为(0，3)，(6，0)，解得yx3.点M在AB边上，B(4，2)，而四边形OABC是矩形，点M的纵坐标为2.又点M在直线yx3上，2x3.x2.M(2，2)(2)函数y(x0)的图像经过点M(2，2)，m4.y.又点N在BC边上，B(4，2)，点N的横坐标为4.点N在直线yx3上，y1.N(4，1)当x4时，y1，点N在函数y的图像上(3)4m8.探究二 二次函数图像问题例题 已知抛物线yax2bx经过点A(3，3)和点P(t，0)，且t0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图X22，请通过观察图像，指出此时y的最小值，并写出t的值；(2)若t4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值【点拨交流】(1)从“数”的角度考虑，抛物线的表达式能否求出来？从“形”的角度考虑，有没有更简单的解法？(2)求抛物线的表达式一般需要几个条件？试求(2)中抛物线的表达式(3)数形结合思想在解决函数图像问题中，有着广泛的应用能否分别从“数”与“形”两个角度进行解答第(3)小题？【思路导引】 点拨交流(1)可以利用抛物线经过点A(3，3)和“对称轴经过点A”两个条件求出函数表达式，进一步解答；但是直接利用抛物线的顶点坐标和轴对称性质解答更为便捷(2)一般需要三个点的坐标，但由于本题中抛物线有两个待定的系数，(2)中由点A(3，3)和点P(4，0)的坐标可求得其表达式，并根据a的值确定开口方向(3)从“数”的角度看：利用点A(3，3)和点P(t，0)两个条件，把抛物线的二次项系数a用t表示出来，再根据a0列不等式解答；从“形”的角度看：由于抛物线确定经过点A(3，3)和原点，画出草图，观察抛物线与x轴的交点位置，确定t的取值范围.解 (1)y的最小值为3. t6.(2)分别将(4，0)和(3，3)代入yax2bx，得解得此时抛物线的开口向上(3)1.(注：答案不唯一，写出t3且t0中任意一个数均可)提示：一方面，从“数”的角度进行研究：把A(3，3)代入yax2bx，得9a3b3，即3ab1，则b3a1，所以yax2bxax2(3a1)x.再把P(t，0)代入yax2(3a1)x，得at2(3a1)t0.因为t0，所以两边都除以t，得at(3a1)0.即(t3)a10，则a.要使该抛物线开口向下，则需a0，即0，则t3且t0.另一方面，从“形”的角度进行研究：由于抛物线确定经过点A(3，3)和原点，在坐标系中画出经过A，O两点，且开口向下的图像，如图中的两条抛物线所示观察抛物线与x轴的交点，可知t3且t0.专题三函数应用在解答题中，函数应用题主要是应用一次函数或二次函数解决实际问题，其题目条件以文字、符号、图像、图形、表格等多种形式呈现，需要解决34个小问题【考向互动探究】探究一 一次函数的实际应用 例题 某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm30 cm，B型板材规格是40 cm30 cm.现只能购得规格是150 cm30 cm的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(如图X31是裁法一的裁剪示意图)裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A，B两种型号的板材刚好够用(1)上表中，m_，n_；(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式；(3)若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【点拨交流】(1)表格中的数据与哪些量有关？与哪些量无关？(2)应用一次函数解决实际问题时，列一次函数解析式主要有三种方法：一是“列式化简法”，即根据题意直接表示函数值的关系式，然后进行化简，得到一般形式；二是“等式变形法”，即根据题意直接列方程、套公式或其他等式，然后变形为用自变量表示函数值的形式；三是待定系数法你觉得本题适用哪种方法？(3)怎样利用一次函数确定最小值？【思路导引】 点拨交流(1)由于各种板材的宽度都是30 cm，所以只需关注其长度，不论裁法如何，都要受到每张标准板材的长度为150 cm的限制(2)求y与x和z与x的函数关系式，适用“等式变形法”，由每张标准板材裁出的A，B两种型号的板材的数量分别与标准板材的数量相乘，即得各自的总量(必为非负数)，据此可以列出方程，变形得到函数关系式求Q与x的函数关系式，适用“列式化简法”，Q等于三种裁法所购标准板材的张数之和，据此直接列出关系式，将所有自变量都用x表示出来(3)首先求出自变量x的取值范围，然后根据Q与x的一次函数关系的增减性，确定Q的最小值解 (1) 03(2)由题意，得x2y240，y120x. 2x3z180，z60x.(3)由题意，得Qxyzx120x60x.整理，得Q180x.由题意，得解得x90. (注：事实上，0x90且x是6的整数倍)由一次函数的性质可知，当x90时，Q最小此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张探究二 二次函数的实际应用 例题 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为yx150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内(元)(利润销售额成本广告费)若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10a40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外(元)(利润销售额成本附加费)(1)当x1000时，y_元/件，w内_元；(2)分别求出w内，w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围)；(3)当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是.【点拨交流】(1)已知函数自变量的值，怎样求函数值？(2)把w内与w外分别用文字表达式表示出来，据此能否得到w内，w外与x间的函数关系式？(3)如何利用二次函数确定最大值？(4)怎样利用方程或不等式比较不同方案的销售利润？【思路导引】 【点拨交流】(1)把自变量的值x1000代入函数关系式yx150，即可求得y的值(2)w内销售额成本广告费每件产品的销售价格月销量每件产品的成本月销量固定支出的广告费yx20x62500；w外销售额成本附加费每件产品的销售价格月销量每件产品的成本月销量附加费150xaxx2.(3)将二次函数解析式配方为顶点式求出顶点坐标，或利用顶点坐标公式，结合抛物线的开口方向和自变量的取值范围确定最值(4)当月销量x5000时，w内337500，w外5000a500000(10a40)，需要分三种情况比较w内与w外的大小，分类讨论进行解答.解： (1)把x1000代入yx150，求出y140，w内14010002010006250057500.(2)w内x(y20)62500x2130x62500，w外x2(150a)x.(3)当x6500时，w内最大；由题意，得，解得a130，a2270(不合题意，舍去)所以a30.(4)当x5000时，w内337500，w外5000a500000.若w内w外，则a32.5；若w内w外，则a32.5；若w内w外，则a32.5.所以，当10a32.5时，选择在国外销售；当a32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5a40时，选择在国内销售专题四变式猜想大部分变式猜想问题从一个简单的基本图形出发，经过补充图形和图形变化，形成新的研究对象，通常把全等和相似知识、证明和计算题型、过程与结果呈现融为一体解题过程体现了类比思想和转化思想的重要作用【考向互动探究】探究一 关于线与角的变式猜想例题 在图X41至图中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图，若AOOB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图中的MN绕点O顺时针旋转得到图，其中AOOB.求证：ACBD，ACBD；(3)将图中的OB拉长为AO的k倍得到图，求的值图X41【点拨交流】(1)获取几何图形相关结论往往始于观察，几何直观帮助我们发现了什么结论？(2)当图形发生变化时，设法使之转化为原来的图形，或与之建立联系，本题如何实现这一转化？(3)转化和类比的思想方法是解题的重要原则，题目中还有哪方面的应用？【思路导引】 【点拨交流】(1)AO与BD的数量关系为AOBD，位置关系为AOBD.(2)在后面的问题中，显然AO已经不与BD垂直了，为此，我们可以考虑通过添加BD的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决(3)比如：在第(2)小题中1与2的联系不明显，我们考虑平移直线AC使之经过点B，用由此形成的三角形关系，沟通AC与BD的数量关系和位置关系；第(3)小题类比借鉴了第(2)小题的解题思路，利用相似三角形解决问题，所得结论可以视为对第(2)小题结论的深化与推广解 (1)AOBD，AOBD.(2)证明：如图，过点B作BECA交DO于点E，ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOCBOE.ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45.245，BEBD，EBD90.ACBD.延长AC交DB的延长线于F，如图. BEAC，AFD90.ACBD.(3)如图，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOEAOC.又OBkAO，由(2)的方法易得BEBD.k.探究二 关于三角形的变式猜想例题 如图X42，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧(1)AE和ED的数量关系为_，AE和ED的位置关系为_；(2)在图中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连结GH，HD，分别得到了图和图.在图中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比是12，H是EC的中点求证：GHHD，GHHD；在图中，点F在BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若BC2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GHHD且GHHD(用含k的代数式表示)图X42【点拨交流】(1)直接观察图形，能得到两条线段的数量关系和位置关系吗？(2)证明不在同一三角形中的两条线段相等，一般用什么方法？(3)类比上述解题过程，能否把(2)中的问题转化为比较简单的问题？【思路导引】 【点拨交流】(1)结合等腰直角三角形的性质，可得AEED，AEED.(2)用全等三角形知识证明，本题中GH与HD分别位于HGF与DHC中，可证这两个三角形全等，进一步通过对应角相等推导两条线段垂直(3)受到第(2)小题的影响，容易想到HGFDHC，那么问题就转化为补充这两个三角形全等的条件了解 (1)AEED，AEED.(2)证明：由题意，BC90，ABBEECDC.EGF与EAB位似，且相似比是12，GFEB90，GFAB，EFEB.GFEC.EHHCEC，GFHC，FHFEEHEBECBCECCD.HGFDHC.GHHD，GHFHDC.又HDCDHC90，GHFDHC90.GHD90. GHHD. CH的长为k.提示：要使GHHD，且GHHD，必需满足HGFDHC，此时CHFG.EGF与EAB的相似比是k1，k，FGkAB.BC2，点E是线段BC的中点，ABBC1.FGk1k.CHFGk.探究三 关于四边形的变式猜想例题 如图X43，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG.(1)求证：DEDG；DEDG；(2)尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG (要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；(3)连结(2)中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4)当时，请直接写出的值图X43【点拨交流】(1)证明两条线段相等且垂直常用什么知识？(2)按照尺规作图的规则作一个几何图形的依据是什么？本题有哪些作法？(3)观察图形，猜想四边形的形状是什么？(4)求两个图形的面积之比，如果不分别求出它们的面积，还有没有别的方法？(5)从题型、考查的知识点等角度，本题包含哪些方面的内容？【思路导引】 【点拨交流】(1)利用全等三角形进行证明，DE与DG分别在DCE和DAG中，可以证明这两个三角形全等(2)尺规作图的依据是几何图形的定义和判定定理，本题中正方形有两个重要特征可以为作图提供不同的思路，一是从数量关系的角度看：四条边相等；二是从位置关系的角度看：邻边垂直(3)四边形CEFK是平行四边形，再加以证明(4)所有正方形都是相似的，故可利用相似图形的性质解答第(4)小题(5)从题型看，本题既有证明题，又有作图题和计算题；从题目的构成要件看，既有封闭性的试题，又有开放性的试题；从考察的知识看，涉及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的判定，相似多边形的性质以及尺规作图，所以覆盖面较广.解 (1)证明：四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90.又CEAG，DCEDAG.EDCGDA，DEDG.又ADEEDC90，ADEGDA90，DEDG.(2)如图所示：(3)四边形CEFK是平行四边形证明：设CK，DE相交于M点四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG.BKAG，KGABCD，四边形CKGD为平行四边形CKDGEF，CKDG.KMEGDEDEF90.KMEDEF180.CKEF，四边形CEFK是平行四边形(注：由CKDG，EFDG得CKEF也可)(4).提示：当时，设CE1，则CBCDn.在RtCDE中，由勾股定理，得DE2CE2CD21n2.正方形ABCD正方形DEFG，.专题五操作探究从题型特点来看，通常由呈现背景材料、建立几何模型、研究基本特征、深入变式探究等环节构成与变式猜想题相比，更突出题目形式的板块结构，更注重内容中的“综合与实践”特征，强调通过实验操作和几何建模解决问题，突出对思维能力的考查，不过分强调证明和计算，而是加大了对几何直观、空间观念的考查力度【考向互动探究】探究一 几何图形的操作探究例题 如图X51至图中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点思考如图中，圆心为O的半圆形纸片在AB、CD之间(包括AB、CD)，其直径MN在AB上，MN8，点P为半圆上一点，设MOP，当_度时，点P到CD的距离最小，最小值为_探究一在图的基础上，以点M为旋转中心，在AB、CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止如图，得到最大旋转角BMO_度，此时点N到CD的距离是_图X51探究二将图中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB、CD之间顺时针旋转(1)如图，当60时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角BMO的最大值；(2)如图，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定的取值范围【点拨交流】(1)在操作变化的图形中求最值(比如最大(小)距离、角的最大(小)度、线段的最大(小)长度等)，关键是确定相关图形的特殊位置，那么在图图的有关问题中，存在怎样特殊的位置关系？(2)确定几何图形中角度的取值范围，要考虑它的最大角度和最小角度两种极端情况，那么，图中的取值范围对应的两种极端情况的图形分别是怎样的？(3)解题过程的每一步都进行了严格的论证吗？为什么这么做？【思路导引】 【点拨交流】(1)在“思考”的图中，当OPCD时，点P到CD的距离最小；在“探究一”的图中，半圆形纸片不能再转动时，O与CD相切于点P；在“探究二”的图中，当PMAB时，点P到CD的距离最小；当 (O)与AB相切时，旋转角BMO的度数最大(2)图中，当弦MP6时，取最小值；当 (O)与CD相切于点P时，即半径OPCD于点P时，取最大值(3)根据生活经验和几何直观进行判断，无需每步都进行严格论证解 思考：902提示：当90度时，点P到CD的距离最小MN8，OP4.点P到CD的距离最小值为642. 探究一：302提示：如图，O与CD相切于点P，连结PO并延长交AB于点E，则OEPEOP642.在RtEOM中，OM4，BMO30.过点N作FGAB，分别交AB、CD于点F、G，则OE为MNF的中位线，FN2OE4.NGFGFN642.即点N到CD的距离为2.探究二：(1)由已知得M与P的距离为4，当MPAB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为642.当扇形MOP在AB、CD之间旋转到不能再转时，与AB相切，此时旋转角最大，BMO的最大值为90.(2)如图，由探究一可知，点P是与CD的切点时，达到最大，即OPCD.此时，延长PO交AB于点H，最大值为OMHOHM3090120.如图，当点P在CD上且与AB距离最小时，MPCD，达到最小连结MP，作OHMP于点H，由垂径定理，得MH3.在RtMOH中，MO4，sinMOH，MOH49.2MOH，最小为98.的取值范围是98120.探究二 现实物体的操作探究例题 一透明的敞口正方体容器ABCDABCD装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为(CBE，如图X52所示)探究如图，液面刚好过棱CD，并与棱BB交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图所示解决问题：(1)CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm；(2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V液底面积SBCQ高AB)(3)求的度数.拓展在图的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图或图是其正面示意图若液面与棱CC或CB交于点P，设PCx，BQy.分别就图和图求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围延伸在图的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图，隔板高NM1 dm，BMCM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当60时(如图)，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.图X52【点拨交流】(1)在直角三角形中，常用什么知识求边长？(2)题干中给出的公式可以直接用来解题，本题给出了什么公式？(3)求一个角的三角函数值，常把它放到直角三角形中进行研究，本题有何体现？(4)“拓展”的各个操作环节中，液体的体积是不变的，这对解题有何作用？(5)画出正确的图形对解决几何问题至关重要，“延伸”中，符合要求的图形是怎样的？【思路导引】 【点拨交流】(1)常用三角函数或者勾股定理求直角三角形的边长根据三视图和正方体特征可知：在RtBCQ中，BCAB4 dm，CQ5 dm，利用勾股定理即可求得BQ的长(2)题目中给出了直棱柱体积公式，直接利用所给公式求液体的体积(3)利用BCQ中的BCQ的三角函数值，求的度数(4)根据液体体积不变，可得图和图中表示液体的阴影部分面积等于SBCQ，据此即可列方程，变形求得解析式(5)正面示意图中的液面被MN分割成两部分，这两部分分别是直角三角形和直角梯形，据此求得剩余液体的体积，进一步推断溢出液体的体积，作出判断解 探究：(1)平行5sin(2)V液34424(dm3)(3)在RtBCQ中，tanBCQ.BCQ37.拓展：当容器向左旋转时，如题图，037.液体体积不变，(xy)4424.yx3.当容器向右旋转时，如题图，同理，得y.当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B重合时，如题图.由BB4，且PBBB424，得PB3.由tanPBB，得PBB37，BPB53.此时3753.延伸：当60时，如图所示，设FNEB，GBEB，过点G作GHBB于点H.在RtBGH中，GHMB2，GBB30，HB2 .MGBH42 4(dm3)溢出液体可以达到4 dm3.探究三 几何图形的知识迁移例题 如图X53和图，在ABC中，AB13，BC14，cosABC.图X53拓展如图，点D在AC上(可与点A、C重合)，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F.设BDx，AEm，CFn.(当点D与