福建省晋江市季延中学高中物理 校本课程实施方案之专题12 微元法.DOC

专题12 微元法一方法介绍随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科同学的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得同学利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高在教学中渗透微元思想，对加深同学对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用比如：位移对时间的变化率瞬时速度：，求位移：；速度对时间的变化率加速度：，求速度；磁通量对时间的变化率感应电动势：；通过导体某一截面的电量对时间的变化率电流强度：，求电量；功对时间的变化率瞬时功率：，求功；穿过线圈的磁通量对时间的变化率感应电动势：掌握微元思想对这些物理概念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃” 微元法思想在新课标教材上时有渗透如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+t这段时间间隔内，t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确在此基础上，再提出若t趋向于零时，就可以认为t的平均速度就是t时刻的瞬时速度正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可必修2重力势能中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功弹性势能中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想新教材中恰当地将“微元法”以多样化的形式展现给同学，潜移默化地渗透“微元法”；在习题教学中进行“微元法”的训练，提高思维能力和分析解决问题的能力有些高考压轴题的求解也运用先“微元”再“求和”的方法二例题精讲用微元法解题的基本方法和步骤例. 如图所示，水平放置的导体电阻为r ，r与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为l ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为b的匀强磁场导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v0向右运动求这个过程的总位移？解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动， 在某一时刻取一个微元 变式 两边求和 因 故 得 小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程微元法的解题思路：选取“微元”，将瞬时变化问题转化为平均变化问题（避免直接求瞬时变化问题的困难）；利用数学“微积分”知识，将平均变化问题转化为瞬时变化问题（充分利用数学工具，既完成问题“转化”且保证所求问题的性质不变，又能简单地求得结果）微元法的解题步骤：确定研究对象，选取“微元”；列出相关微元的方程；对相关微元进行累积求和或求导用微元法解题的方法的应用1微元法在牛顿第二定律中应用例1 一质量为m、带电量为q的带电粒子（重力不能忽略），以速度v0从磁场上边界竖立进入一宽度为d的匀强磁场区域（如图所示），磁感应强度为b，试求粒子飞出磁场的方向？【解析】该带电粒子的运动分解为水平和竖直两个方向的运动在水平方向除洛仑兹力分力外无其它力的作用，所以在水平方向用牛顿第二定律有： fx =max fx =qbvy ax= 得： mvx= fxt =qbvyt mvx =qbvyt mvcos=qbd，而粒子在下落过程中只有重力做功，所以有mv2-mv02=mgd,，得v=，代人上式则得cos=2微元法在变化的电量中运用例2如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为l和2l，宽间距的导轨间相距均为2l、窄间距的导轨间相距均为l，最左端用导线连接阻值为r的电阻，各段导轨间均用导线连接，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为b的匀强磁场中质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直导轨和导体棒电阻均忽略不计现使导体棒从ab位置以初速度v0垂直于导轨向右运动，则rv0blll2l2l2ll2labcdc（1）若导体棒在大小为f、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v，求在此运动的过程中电路产生的焦耳热（2）若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的功和电路中电流的有效值（3）若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小【解析】（1） （2） 重点讨论第（3）题（3）设导体棒在每段宽间距和窄间距轨道上运动速度变化的大小分别为和，在宽间距轨道上，根据牛顿第二定律，在时间内有，则 ， =写出式，同理 所以导体棒运动到cd位置时的速度大小 3微元法在变化的速度中应用例3如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒l1和l2，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为r，回路中其余部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为b两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持l1向上作速度为的匀速运动，在t=0时刻将靠近l1处的l2由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)， 经过一段时间后l2也作匀速运动已知d=0.5m ， m=0.5kg，r=0.1，b=1t， g取10m/s2(1)为使导体棒l2向下运动，l1的速度最大不能超过多少？(2)若l1的速度为3m/s,在坐标中画出l2的加速度a 2与速率2 的关系图像；(3)若l1的速度为3m/s，在l2刚作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，求在此时刻前l2运动的距离【解析】(1) (2) 重点讨论第（3）题(3) 当导体棒l2做匀速运动时，l1和l2两棒的速度分别是和2，由平衡条件得 得 设当导体棒l2、l1的相对速度为相时，棒的加速度 取极短时间t，在时间t内速度变化 又相t=x相 得代入数据得两棒间距为4m所用时间t=1.1s 导体棒l1运动的位移x1=t=31.1m=3.3m导体棒l2运动的位移 4微元法在变化的位移中应用例4从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度h【解析】 重点讨论上升时加速度为a， 取极短时间，速度的变化量，有 又 上升全过程 则 5.微元法在变化的时间中应用例5如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为b、方向与导轨平面垂直长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上导体棒中通以大小恒为i的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）线框的边长为d（d l），电阻为r，下边与磁场区域上边界重合将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直重力加速度为g求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热q； （2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ； （3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离m 【解析】(1) （3）重点讨论第（2）题（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动 由动能定理 装置在磁场中运动时受到的合力 感应电动势 =bd 感应电流 = 安培力 由牛顿第二定律，在t到t+t时间内，有则有解得 三针对训练1如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为l的区域内，有一个边长为a（al）的正方形闭合线圈以初速v0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为v（vv0），则laaa完全进入磁场中时线圈的速度大于b安全进入磁场中时线圈的速度等于c完全进入磁场中时线圈的速度小于d以上情况a、b均有可能，而c是不可能的2如图所示，质量为m、边长为l的正方形闭合线圈从有理想边界的水平匀强磁场上方h高处由静止起下落，磁场区域的边界水平，磁感应强度大小为b线圈的电阻为r，线圈平面始终在竖直面内并与磁场方向垂直，ab边始终保持水平若线圈一半进入磁场时恰开始做匀速运动，重力加速度为g求：（1）此匀速运动的速度v（2）从静止起到达到匀速运动的过程中，线圈中产生的焦耳热qa bc d l h b （3）从线圈cd边进入磁场到开始做匀速运动所经历的时间t3