函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究.doc

函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中 闫辉知识梳理1.函数的奇偶性：（1）奇函数：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有 f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，则称f（x）为奇函数。（2）偶函数：如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 f（x）= f（x）或f（x）f（x）=0，则称f（x）为偶函数.（3）奇、偶函数的性质具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.奇函数的反函数也为奇函数.奇偶函数的运算性质：设y=f(x)(x D1)为奇函数，y=g(x)(x D2)为偶函数，,则在D上有： 奇奇奇（函数）偶偶偶（函数） 奇奇偶（函数）偶偶偶（函数）奇偶奇（函数）2.函数的单调性：（1）增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数y=f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f（x）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间.（2）函数单调性可以从三个方面理解图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.定量刻画，即定义.（3）关于函数单调性的几个重要结论和函数的单调性： 若y=f(x)与y=g(x)在公共区间D内都是增（减）函数，则函数y=f(x)+g(x)在D内是增（减）函数。若y=f(x)在区间D内是增（减）函数，则函数y=kf(x) k0 (k0)在D内是增（减）函数。奇偶函数在对称区间上的单调性奇函数在(a,b)和(-b,-a) (ab)上单调性相同，偶函数在(a,b)和(-b,-a) (ab)上单调性相反。3.函数的最值：（1）函数的最值的定义：定义：一般地，函数y=f(x)在x0处的函数值是f(x0） ，如果对于定义域内任意x，不等式f(x)f(x0) （f(x)f(x0)）都成立，那么f(x0）叫做函数y=f(x)的最小值，（最大值）记做：ymin=f(x0) （ymax=f(x0)）（2）求函数最值的常用方法有：（1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；（2）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。（3）数形结合法：利用函数图象求出函数的最值.（4）函数的单调性法.一、函数奇偶性的判定问题。【例1】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）f（x）=；（4）f（x）=剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，这时有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.二、奇偶函数的解析式问题。【例2】已知f（x）是奇函数，当x（0，1）时，f（x）=lg，那么当x（1，0）时，f（x）的表达式是_.解析：当x（1，0）时，x（0，1），f（x）=f（x）=lg=lg（1x）.答案：f(x)= lg（1x）三、奇偶函数的图象问题。【例3】下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR） ( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（a，a）.答案：A四、函数单调性的判定问题。【例4】证明：函数是增函数【例5】讨论函数f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性.解：设1x1x21，则f（x1）f（x2）=.1x1x21，x2x10，x1x2+10，（x121）（x221）0.又a0，f（x1）f（x2）0，函数f（x）在（1，1）上为减函数.五、函数单调区间的求法问题。【例6】 求函数y=x+的单调区间.（对号函数）【增减减增】剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f（x2）f（x1）的正负.解：首先确定定义域：x|x0，在（，0）和（0，+）两个区间上分别讨论.任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x1）f（x2）=x1+x2=（x1x2）+=（x1-）（1）=（x1-）（1）当x1、x2（0，1）时，f（x1）f（x2）0，为减函数.（2）当x1、x2（1，+）时，f（x1）f（x2）0，为增函数.同理可求（3）当x1、x2（1，0）时，为减函数；（4）当x1、x2（，1）时，为增函数.评述：解答本题易出现以下错误结论：f（x）在（1，0）（0，1）上是减函数，在（，1）（1，+）上是增函数，或说f（x）在（，0）（0，+）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数y=x+（a0）的单调区间.提示：函数定义域x0，可先考虑在（0，+）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性.答案：在（，（，+）上是增函数，在（0，（，0）上是减函数.【例7】求下列函数的单调区间： 六、函数奇偶性与单调性的应用。【例8】（1）已知函数求。（2）已知是偶函数，为奇函数，求f（x）。（3）求函数的值域。七、二次函数在区间上的最值问题。【例9】求函数在区间上的最大值和最小值。【例10】求函数在区间上的最大值。【例11】求函数在区间上的最大值和最小值。闯关训练1.已知函数f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）=ax3bx2cx是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3cx（a0）为奇函数.答案：A2.已知f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有a12a，得a.又对于所给解析式，要使f（x）f（x）恒成立，应b0.答案： 03.给定函数:y=（x0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x；y=log2（x+）.在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.答案： 4.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是A.y=x+1 B.y=C.y=x24x+5D.y= 答案：B5.函数y=loga（x22x3），当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是A.（，3） B.（1，）C.（，1）D.（1，）解析：当x=2时，y=loga50，a1.由x22x30x3或x1，易见函数tx22x3在（，3）上递减，故函数y=loga（x22x3）（其中a1）也在（，3）上递减.答案：A6.（2003年北京朝阳区模拟题）函数y=log|x3|的单调递减区间是_.解析：令u=|x3|，则在（，3）上u为x的减函数，在（3，+）上u为x的增函数.又01，在区间（3，）上，y为x的减函数.答案：（3，+）7.有下列几个命题：函数y=2x2+x+1在（0，）上不是增函数；函数y=在（，1）（1，）上是减函数；函数y=的单调区间是2，+）；已知f（x）在R上是增函数，若a+b0，则有f（a）+f（b）f（a）+f（b）.其中正确命题的序号是_.解析：函数y=2x2+x+1在（0，+）上是增函数，错；虽然（，1）、（1，）都是y=的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，错；要研究函数y=的单调区间，首先被开方数5+4xx20，解得1x5，由于2，+）不是上述区间的子区间，错；f（x）在R上是增函数，且ab，ba，f（a）f（b），f（b）f（a），f（a）+f（b）f（a）+f（b），因此是正确的.答案：8.若f（x）=为奇函数，求实数a的值.解：xR，要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（x）=0，即a+a=0，得a=1.9.（文）如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_.解析：对称轴x=1a，由1a4，得a3.答案：a3巩固：如果函数f（x）= x2+2（a1）x+2的单调减区间是（，4，那么实数a的值是_答案：a=3（理）（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（x）的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（4xx2）的递增区间是_.解析：先求y=2x的反函数，为y=log2x，f（x）=log2x，f（4xx2）=log2（4xx2）.令u=4xx2，则u0，即4xx20.x（0，4）.又u=x2+4x的对称轴为x=2，且对数的底为21，y=f（4xx2）的递增区间为（0，2）.答案：（0，2）10.讨论函数f（x）=（a）在（2，+）上的单调性.解：设x1、x2为区间（2，+）上的任意两个值，且x1x2，则f（x1）f（x2）=.x1（2，+），x2（2，+）且x1x2，x2x10，x1+20，x2+20.当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为减函数；当12a0，即a时，f（x1）f（x2），该函数为增函数.11.若奇函数f（x）在a，b上是增函数，且最小值是1，则f（x）在b，a上是 A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1C.减函数且最小值是1D.减函数且最大值是1解析：f（a）=1，f（a）=1.答案：B12.已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若a、b1，1，a+b0时，有0.判断函数f（x）在1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x1、x21，1，且x1x2，则x21，1.又f（x）是奇函数，于是f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=（x1x2）.据已知0，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.f（x）在1，1上是增函数.知识梳理考卷1、函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 的值f（x）和它对应，那么就称f:：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y = ，xA，其中x叫做 .。x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y的值叫做 ，函数值的集合f（x）|xA叫做 .2、常见函数定义域：，定义域为_；，定义域为_；定义域为_。其中a的取值范围是_。3、函数单调性：已知函数yf (x)，给定区间D，对任意x1，x2D，设x1x2，如果_，就称函数f (x)在区间上为_，如果_，就称_减函数。反之：如果函数f (x)在区间上为减函数，则对区间内任意x1，x2，x1x2_。如果函数f (x)在区间上为增函数，_。其中区间称为函数f (x)_。4、函数奇偶性：对函数f (x)定义域内的任意一个x，如果都有_，那么函数f (x)就叫做奇