双曲线的几何性质物理奥赛数学知识.doc

84 双曲线的几何性质双曲线的离心率双曲线的简单几何性质双曲线的范围、顶点、对称性椭圆的标准方程及简单几何性质1本节知识结构 2目的要求 掌握双曲线的几何性质3教学任务分析1双曲线的几何性质的教学，也可与椭圆的性质对比进行，让学生首先活动起来，在操作中归纳、发现双曲线的性质，比较与椭圆性质的联系和区别（1）范围由标准方程，可得x2a2，当|x|a时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值要讲情在xa，xa之间没有图象，当x的绝对值无限增大时，y的绝对值也无限增大，所以曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线（2）顶点双曲线有两个顶点（a，0），（a，0）令x0时，方程y2b2无实数根，所以它与y轴无交点，2b是双曲线的虚轴的长因为学生没有学过共轭双曲线，所以对虚轴不好理解，往往把虚轴与椭圆的短轴混淆，教学中要提醒他们注意另外双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同（3）对称性双曲线的对称性与椭圆完全相同，可逐一提问，让学生回答双曲线的对称性，并说明原因（4）渐近线对圆锥曲线来说，这是双曲线特有的性质在远离双曲线的中心时，双曲线的渐近线几乎成为双曲线的“代表”，“双曲线是直线？”在徒手画双曲线时双曲线的渐近线指导意义更为突出教学时，让学生通过计算机或者计算器的计算体验“渐近”的含义，然后再提出渐近线的定义。下面给出渐近线的比较严格的定义，只供教师教学时参考若曲线上某一点到某条直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线首先可以看到，由双曲线的标准方程解出yx，当x无限增大时，趋向于0，也就是说，这时双曲线y与直线yx无限接近这使我们有理由猜想直线yx为双曲线的渐近线至于在第一象限内，当x无限增大时，双曲线上的点M（x，y）到直线yx的距离是否趋向于0，教科书中有证明如图，设点M到直线yx 的距离为|MQ|，在RtMQN中，若斜边的长趋近于0，当然直角边的长也趋近于0，所以当|MN|0时，立刻可得|MQ|0，这就证明了当x无限增大时，点M到直线yx的距离趋近于0 （5）离心率与椭圆一样，我们把比值e叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据由于上，当e的值从接近于 1逐渐增大时，的值就从接近于 0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口”逐渐增大教学双曲线的离心率时，同样应该让学生操作，如教材图819，计算，拖动点F1（或F2）观察双曲线的“张口”大小与大小关系，由学生归纳出结论。2与椭圆一样，教科书中着重讲第一个标准方程的双曲线的性质对于第二个标准方程的双曲线的性质，教师可列出下面的图表，通过提问学生来解答和小结长轴在x轴上相同点长轴在y轴上实轴的长2a虚轴的长2bc2a2b2离心率e（e1）不同点方程（a0，b0）（a0，b0）焦点F1（c，0），F2（c，0）F1（0，c），F2（0，c）顶点A（a，0），A（a，0）A（b，0），A（b，0）准线l：xl：x（c0）l：yl：y（c0） 3例3的教学已经在习题8.2中的数学实验中做了铺垫，把本题与习题8.2后的数学实验比较，即把图817中的点B拖动到了圆A外，点M的轨迹由椭圆变成双曲线第（1）小题学生不会有困难，第（2）小题可能难度较大，可以根据学生的具体情况确定教学方法、要求或者内容的取舍。即便不加以严格的证明，只是用信息技术验证这一关系也未必不可。另外，也可以改成探求BCD的外心H的轨迹，也就是直线l，然后验证成立。设置这道题的目的是体现双曲线两个定义的统一性，由于在教学椭圆时，已经学习过类似的知识，应该说学生已经有了心理准备，因此这一关系学生又不难接受。 由例3可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（e1）时，这个点的轨迹是双曲线定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率对于双曲线1，相应于焦点 F（c，0）的准线方程是x根据双曲线的对称性，相应于焦点 F（c，0）的准线方程是x所以双曲线有两条准线48.4 节后的数学实验是双曲线的