高二双曲线小结.doc

双曲线知识点归纳1双曲线的定义第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|F1F2|时，动点轨迹不存在；当时，动点轨迹是线段的中垂线。第二定义：平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率.2双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形 范围顶点对称性关于轴，轴，原点对称。实轴长为，虚轴长为焦点焦距焦距为 离心率 (e1) e越大,双曲线开口越开阔准线方程渐近线通径焦半径1）焦半径公式：双曲线（a0，b0）上有一动点当在左支上时,当在右支上时,注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时，当在左支端点时，3.等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，其标准方程为，离心率为 ，渐近线方程为（互相垂直）4.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，通常称它们互为共轭双曲线双曲线的共轭双曲线是，性质如下：双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线；双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距，四焦点共圆；双曲线与它的共轭双曲线离心率分别为,则有和.5.双曲线系:与双曲线共渐近线的双曲线系方程为,它们的渐近线为与双曲线共焦点的双曲线系方程为6.点与双曲线的位置关系点P在双曲线内点P在双曲线上点P在双曲线外7.直线与双曲线的位置关系可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于X（或Y）的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。直线与双曲线相交；直线与双曲线相切 (只有一个公共点)；直线与双曲线相离(无公共点)。若为双曲线的弦,弦中点弦长直线的方程为:直线的垂直平分线方程为: 8.焦点三角形：双曲线上的点与两焦点构成的的三角形称为焦点三角形。设若双曲线方程为，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，若则；特别地，当时，有。, 易得时，有1.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程 解析 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.2.与渐近线有关的问题1.过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）： 即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或3.几何性质1设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.4.求弦1双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为-【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：。2. 已知双曲线方程为与点P(1,2),（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。 (2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (1)()当2k2=0,即k=时，方程(1)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与之有交点，所以以P为中点的弦为：.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：