罗马花椰菜.doc

罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的不规则碎片形蔬菜。它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。不规则碎片形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。它通过多次重复不规则碎片形生成等式，形成美丽的图案。我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1240年， 1202年，他撰写了珠算原理（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列通项公式与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割1.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）11=1，21=2，32=1.5，53=1.666.，85=1.6，越到后面，这些比值越接近黄金比.奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之1积多1。如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。隐藏斐波那契数列将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、公式表示如下：f=C(0,0)=1。f=C(1,0)=1。f=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。f=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。f=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。f=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。F=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。 F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+C(n-1-m,m) (m=n-1-m)斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除，.我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契数列的素数无限多吗？斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910相关的数学问题1.排列组合有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1，2，3，5，8，13所以，登上十级，有89种走法。类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？答案是（1/5)*(1+5)/2(10+2) - (1-5)/2(10+2)=144种。2.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔民数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对 依次类推可以列出下表：经过月数0123456789101112幼仔对数101123581321345589成兔对数01123581321345589144总体对数1123581321345589144233幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在；中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/5)*(1+5)/2n-(1-5)/2n（n=1,2,3.）自然界中的巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株 树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休 息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长 的过程中一直都能最佳地利用空间，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。数字谜题三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这