比较二次根式大小的巧妙方法

运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。例2：比较与的大小。解：， 0，0 分母分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。 例4：比较与的大小 解： 求差或求商法求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当0时，；当时，；当0时，”来比较与的大小。求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“同号：当1时，；1时，；1时，。异号：正数大于负数” 来比较与的大小。例5：比较的大小。解： 例6：比较的大小。解：1六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例7：比较的大小。解：七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。例8：已知，试比较的大小。解：设，则，即八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。例9：比较 与 的大小。解：设，则：1，1，九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。例10：比较的大小。解：设，78，即78 ，89，即89 ，即例11：比较与的大小。解： 十、“结论”推理法通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“（0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例12：比较1与的大小。解：， 由（0）可知：即又总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。附：“（0）”的证明。证明：， （0） 【典题新练】：1、比较与的大小；2、比较与的大小；3、比较与的大小；4、比较与的大小；5、比较与的大小； 6、比较与的大小（其中为正整数）；7、设，试比较它们的大小；8、比较与的大小；9、比较与的大小；10、 比较与的大小；11、比较与的大小；12、比较的大小； 13、比较与的大小； 14、 比较与的大小； 15、若为正整数，试比较的大小； 16、比较的大小； 17、比较与的大小。【典题新练参考答案】：1、提示：， 2、提示：平方后再进行比较。 ， 3、提示：可利用（0）。 ，即4、提示：分母有理化后再进行比较。 ， 5、提示：分子有理化后再进行比较。 ， 即 6、提示：， 其中为正整数， 故 7、提示：设， 则：， ， 8、平方后再进行比较。 ，又， ， 9、提示：23，78，5， 10、提示：分子有理化后再进行比较。 因为，而 所以，故 11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ， ， 12、提示：，而78，的整数部分为7。同样可得 的整数部分为8， 13、提示： 14、提示：平方后再比较大小。 ， 15、提示：由偶次根式的定义得，2009，0， 0，0，16、提示：由，