2.第一章直角三角形的边角关系.doc

第一章 直角三角形的边角关系1. 从梯子的倾斜程度谈起专题一 锐角三角函数的概念1（2012,内江）如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）.A. B. C.D. 2已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP1，则tanBPC的值是 _3（2012，扬州）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tanDCF的值是_.4（2012,，鄂州）如图，ABCD 中，AEBC于E，AFCD于F，若AE=4，AF=6，sinBAE=,则CF= .专题二 正切、正弦、余弦的实际应用5如图，将一个RtABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20，若楔子沿水平方向前移8 cm(如箭头所示)，则木桩上升了（）.A8tan20cmB cmC8sin20cmD8cos20cm6. （2012，德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30方向，且相距20海里客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行小时到达B处，那么tanABP（）.A B2 C D7生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当5070（为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC（结果保留两个有效数字，sin700.94，sin500.77，cos700.34，cos500.64）AB梯子CC状元笔记：【知识要点】锐角三角函数的定义及应用.【方法技巧】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，求锐角三角函数值或者要用三角函数值必须在直角三角形中进行，通常有两种方法：（一）构造直角三角形；（二）等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.参考答案1B 解析设格点的边长是单位“1”，构造直角三角形如下图：因为，所以，即ADC是直角三角形. 所以sinA=.2 或2 解析此题的最大特点是没有图形，故可以联想到可能存在多种情况因为点P在直线CD上，PD1，所以点P可以在点D的两侧，如图甲、乙所示，故有两个答案3 解析由折叠可知CF=BC.四边形ABCD是矩形，DC=AB，D=90.，.设，则，在RtCDF中，tan. 46 解析sinBAE=，AE=4， CD=AB=，连接AC， ABCCDA，=，即 BCAE= CDAF，BC=AD=, DF=6，则CF=.5A 解析设木桩上升了h cm，则= tan 20，即h=8 tan 20.6A 解析在PAB中，APB603090，PA20，PB6040，故tanABP7解：由题意知，当越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当5070时，能够使人安全攀爬，所以当70时AC最大在RtABC中，AB6米，70，sin70，即0.94，解得AC 5.6.答：梯子的顶端能达到的最大高度AC约为5.6米.2. 30，45，60角的三角函数值专题 特殊角的三角函数值1如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）.Asin30xsin60 Bcos30xcos45 Ctan30xtan45 Dtan45xtan60ABC2如图，已知：45A90，则下列各式成立的是（）.AsinAcosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA3在顶角为30的等腰三角形ABC中，ABAC，若过点C作CDAB于点D，则BCD 15根据图形计算tan15 4一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，FACB90，E 45，A60，AC10，试求CD的长ABCFDE状元笔记：【知识要点】30，45，60角的三角函数值【温馨提示】熟记三角函数的特殊值是解题的关键.参考答案1D2B 解析在锐角三角函数中仅当A45时，sinAcosA，所以A选项错误；因为45A90，所以B45，即AB，所以BCAC，所以，即sinAcosA，B选项正确，D选项错误；tanA 1，sinA1，所以C选项错误.32解析可设CDx，用含x的代数式表示BD即可4解析过点B作BMFD于点M在ACB中，ACB90， A60，AC10，ABC30， BCACtan6010.ABCF，BCM30BMBCsin30105.CMBCcos301015.在EFD中，F90， E45，EDF45，MDBM5CDCMMD15-53. 三角函数的有关计算专题 三角函数与其他数学知识的综合应用1（2012，德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出右面图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）.A1组B2组C3组D4组2(2012，衡阳)如图，菱形ABCD的周长为20 cm，且tanABD=，则菱形ABCD的面积为 cm23如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离BC为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75,求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：cos750.259, tan753.732）4某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道若点 E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sinBAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米求：(1) D的度数；(2)线段AE的长状元笔记：【知识要点】三角函数的有关计算.【温馨提示】在告诉有关角和边时，可考虑利用三角函数的定义此类问题可以从以下三个角度出发来解决问题：1找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口；2弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题；3当找不到可解的直角三角形时，要仔细分析已知条件和未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程求解.参考答案F1C23解：根据题意可知：竹子长是AB,楼高是AC，楼与地面垂直，在RtABC中，已知BC=2(米），ABC=75.因为tanABC=，所以AC=tanABCBC=2tan7523.7327.5(米).因为cosABC=，所以AB=(米)，所以这棵竹子比楼房高出0.2米.4解：（1）四边形BCEF是矩形，BFE=CEF=90，CE=BF，BC=FE，BFA=CED=90. CE=BF，BF=3米，CE=3米. CD=6米，CED=90，D=30.（2）sinBAF=， . BF=3米，AB=米，AF=(米)，AE=米.4. 船有触礁的危险吗5. 测量物体的高度专题一 解直角三角形的实际应用1. （2012，潍坊）如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里A25B25C50D252. （2012，黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D处用高2 m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30，然后向楼前进20 m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60，楼AB的高度为（）A(102)m B(202)m C(52)m D(152)m3. （2012，安顺）小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的数据帮他计算出BE，CD的长度.（精确到个位，1.7）4（2012，南昌）如图，小红家的阳台上放置了一个晒衣架.如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量:AB=CD=136 cm，OA=OC=51 cm，OE=OF=34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链EF成一条线段，EF=32 cm.（1）求证：ACBD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角OEF的度数（精确到0.1，可使用科学计算器）（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122 cm，问挂在晒衣架后是否会脱落在地面？请通过计算说明理由5. （2012，绍兴）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角BAC为32（1）求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2，小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin320.5299，cos320.8480，tan320.6249 6. (2012，随州) 在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45，游船向东航行100米后(B处)，测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30，60.试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？(，结果精确到米)7.（2012，内江）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，B=60，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米. （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石多少立方米？（2）求加固后大坝被水坡面DE的坡度. 8.（2012，乐山）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：）状元笔记：【知识要点】解直角三角形及实际应用.【温馨提示】在解直角三角形时，借助图形对题中的边与边、角与角和边与角的关系进行分析，从而确定未知的边、角的关系，选择合适的关系进行解答；利用三角函数知识解决实际问题的关键是要善于将千变万化的实际问题转化为数学问题，抽象出数学模型参考答案F1D 解析根据题意，1=2=30，ACD=60，ACB=30+60=90，CBA=75-30=45，ABC为等腰直角三角形.BC=500.5=25，AC=BC=25（海里）2A 解析沿长CF与AB交于点G.设AGx，由题意知ACG30，AFG60，则CAF30ACF，所以CFAF在RtAFG中，AGF90，CFAF20，解得x10所以，AB102楼AB的高度为(102)米3. 解：由ABC120可得EBC60在RtBCE 中，CE51，EBC60.因此tan60， BE30.在矩形AECF中，由BAD45，得ADFDAF45，因此DFAF51.FCAE343064.CDFCFD645113. 因此BE的长度约为30 cm，CD的长度约为13 cm4. 解：（1）证明：OA=OC，OB=OD，OAC=OCA=（180AOC），OBD=ODB=（180BOD），OAC=OBD，ACBD（2）作OMEF于点M，OE=OF=34 cm，EF=32 cm，EM=16 cm. cosOEF=0.471，用科学计算器求得OEF61.9（3）小红的连衣裙会拖落在地面理由如下：过点A作AHBD于H. OE=OF，OB=OD，OEF=OFE=（180BOD），OBD=ODB=（180BOD），OEF=OBD，EFBD，OEM=ABH，又cosOEF=，cosABH=，即，BH=AB=136=64.由勾股定理，可得AH=小红的连衣裙挂在衣架后总长度122 cm晒衣架高度120 cm，小红的连衣裙会拖落在地面5. 解：（1）sinBAC=，BC=ABsin32=16.500.52998.74(米)（2）tan32=，级高=级宽tan32=0.250.6249=0.15622510秒钟电梯上升了20级，小明上升的高度为200.1562253.12(米)=-=-100，60tan45tan100，45tan30tanh2h2h1h16. 解：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意得 有(米),=50(+1)=50(3+)=50(3+1.732)=236.6237(米)答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米. 7. 解：（1）过点A作AGBC于点G，过点D作DHBC于H，AG=DH，在RtABG中，AG =sin60AB=.DH=，SDCE.需要填土石方(m3) （2）在RtDHC中，.HE=HC+CE=24+8=32，加固后大坝背水坡面DE的坡度=.8. 解：（1）过