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概率论与数理统计习题解答概率论与数理统计习题答案第一章随机事件及概率101（1）两次抽取中至少有一次取到黑球（2）两次都取到黑球（3）第一次取到黑球但第二次取到白球（4）第一次取到黑球（5）可以用积事件表示（6）可以用积事件表示（7）可以用和事件 表示（8）可以用和事件 表示102（1）三门炮中至少有一门击中目标（2）三门炮中至少有两门击中目标（3）三门炮都击不中目标（4）三门炮中至多有两门击中目标（5）可以用和事件表示（6）可以用和事件表示（7）可以用积事件表示（8）可以用和事件表示103（1）（2）104（1）（2）105设A=刮风， B=下雨（1）（2）106（1）（2）（3）（4）107（1）（2）108设A=单独使用时 B=单独使用时（1）（2）（3）（4）109（1）（2）110设A=第一次取到的为合格品 B=第二次取到的仍为合格品（1） （2）111设A=甲厂产品为次品 设B=乙厂产品为次品（1）（2）112113设A=甲击中目标 B=乙击中目标 C=丙击中目标 114设A=甲厂生产 B=乙厂生产 C=丙厂生产 D=从市场上任买一件为正品 （1）（2）115（1） （2）116 设A=为合格品 C=经检查为合格品117118（1） （2） （3） （4）119（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）120（1）C （2）C（3）D （4）A（5）A （6）B（7）C （8）D（9）C （10）D 第二章随机变量及其数字特征201 202 203204（1） （2）205 206(1) （2）207(1) （2）208 (1) （2） （3） （4）209210（1） （2）211（1） （2）212（1） （2）213 214（1） （2）215（1） （2）216（1） （2）（3） （4）217（1） （2）218（1） 219填空题 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）4 （10）220单项选择题 （1）c （2）a （3）b （4）c （5）b （6）a （7）d （8）b （9）c （10）c第三章几种重要的概率分布301302303304（1）(2)（3）（4）305（1） （2）（3） （4）306（1） （2）307308（1） （2）309（1） （2） （3） （4）310（1）（2）311（1）（2）（3）5（4）312 （1） （2）313（1） （2）（3） （4）314（1）0 （2）（3） （4）（5） （6）315316317（1） （2）318（1） （2）（3） （4）319填空题（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9） （10） 320单项选择题（1）d （2）b （3）a （4）d（5）b （6）b （7）c （8）d（9）a （10）b第四章中心极限定理与参数估计4.01解：晚间每名学生去图书馆上自己是独立的，去图书馆学生人数X是一个离散型随机变量，它服从参数为n=1000，p=0.7的二项分布，即离散型随机变量XB（1000, 0.7）计算数学期望E（X）=np=10000.7=700方差D（X）=npq=10000.7（1-0.7）=10000.70.3=210事件650X750表示晚间去图书馆人数在650人750人之间，它可还记作-50X-70050即有|X-700|50由此可知在切贝谢夫不等式中应取常数=50，利用切贝谢夫不等式估计所求概率所以晚间上图书馆人数在650人750人之间的概率不小于0.916说明只要有750人的位置供学生使用图书馆就可以相当大的保证1000名住校生使用。4.02解：每个产品为废品是相互独立的。废品数X是一个离散型随机变量，它服从参数为n=800，p=0.02的二项分布，即离散型随机变量XB（800, 0.02）计算数学期望 EX=np=8000.02=16方差 DX=npq=8000.020.98=15.68事件10X22表示废品数在10个22个之间，它可还记作：-6X-166即有|X-16|0）利用切贝谢夫不等式估计概率 所以此概率不小于4.04解：盒内第i个螺丝钉重量都是连续型随机变量，一盒螺丝钉重量X也是一个连续型随机变量，显然连续型随机变量相互独立，且连续型随机变量由题意得到数学期望标准差 从而方差 根据随机变量数学期望的性质S，计算数学期望由于连续型随机变量相互独立，根据随机变量方差的性质5，计算方差 根据林德伯格莱维定理，连续型随机变量近似服从参数为，的正态分布，即近似有连续型随机变量。事件X3980表示一盒螺丝钉重量小于3980g，其发生的概率为所以一盒螺丝钉净重小于3980g的概率约为0.0228.4.05解：商店第笔销售收入将小数归为后的误差都是连续型随机变量，归为整数所产生误差服从-0.5，0.5上的均匀分布，各笔销售收入相互独立，300笔销售收入中误差总和X也是连续随机变量且由题意得 则方差 则 根据林德伯格莱维定理，连续型随机变量近似服从参数为，的正态分布，即近似有连续型随机变量 事件表示300笔销售收入误差总和的绝对值不超过5元的概率为所以300笔销售收入中误差总和的绝对值不超过5元的概率约0.6826。4.06解：系统各部件之间是相互独立的，系统各部件损坏个数是一个离散型随机变量，它服从参数为n=100，p=0.05的二项分布，即离散型随机变量计算数学期望 E（X）=np=1000.05=5方差 D（X）=npq=1000.050.95=4.75=2.182根据德莫绋拉普拉斯定理，离散型随机变量近似服从参数为，的正态分布，即近似有离散型随机变量 事件X8表示系统正常运行，其概率为则系统正常运行的概率约为0.9162.4.07解：1000粒种子中发芽种子个数是一个离散型随机变量，发芽种子之间相互独立，它服从参数为n=1000，p=0.9的二项分布，即离散型随机变量XB（1000, 0.9）计算数学期望 E（X）=np=900方差 D（X）=npq=90=9.492根据德莫佛拉普拉斯定理，离散型随机变量近似服从参数为，的正态分布，即近似有离散型随机变量 事件X表示1000粒种子中发芽种子所占比例与这批种子发芽率之差绝对值小于0.01，其概率为所以1000粒种子中发芽种子所占比例与这批种子发芽率之差绝对值小于0.01的概率约为0.7062.4.08解：统计量不仅是样本的函数，而且其中不能含总体分布未知参数，已知参数为，未知为，因此（1）是统计量，（2）（3）（4）因为含总体分布的未知参数不是统计量，（5）（6）含总体分布的已知参数，是统计量。4.09解：（1）注意到所给概率值=0.01，查附表三，p=0.01 自由度m=n-1=8-1=7，其纵横交叉处的数值即为对应的t分布的双侧分位数（2）由，故查附表三，p=Z=0.10，自由度m=5，则其纵横交叉处的数值即为对应的t分布上侧分位数（3） 解：由题已知得，则 查附表四，在表中第一行找到概率值再在表中第一列找到自由度m=n-1=10-1=9，其纵横交叉处数值即为对应的X2分布的分位数继续在表中第一行找到概率值，自由度m=n-1=9，其纵横交叉处数值即为对应的X2分布的分位数（4）解：由题意知，则=0.01 查附表四，在表中第一行找到概率值再在表中第一列找到自由度m=n-1=8-1=7，其纵横交叉处数值即为对应的X2分布的分位数继续在表中第一行找到概率值，第一列找到自由度m=n-1=8-1=7，其纵横交叉处数值即为 （5）解：注意到题中所给概率值0.025为，因而概率，查附表五，在组成附表五中的5个分表中，选出概率值的第3个分表，在此分表中第一行找到第一自由度，再由此分表中第一列找到自由度，其纵横交叉处的数值为值，取倒数得到对应的F分布分位数继续在此分表中第一行找到第一自由度，再在此分表中第一列找到第二自由度，其纵横交叉处的数值即为对应的下分布分位数（6）注意所给概率值0.10为，即概率，查附表三，在表中第一行找到概率值再在表中第一列找到自由度，其纵横交叉处的数值即为对应的t分布双侧分位数4.10解：（1）（2）（3）（4）均是无偏估计量因为（1）（2）（3）（4）4.11解： 由于，则所以统计量有效。4.12解：用样本均值作为灯泡寿命数学期望E(X)的估计值有 用样本方差作为灯泡寿命方差D（X）的估计值，有所以这批灯泡寿命X的期望E（X）估计值为1147小值，方差D（X）估计值为7578.9小时2.4.13解：根据定理4.5，样本均值所以概率 4.14解：根据定理4.5，样本均值得到概率查附表二，得到关系式 有样本容量 所以样本容量n至少应取25.4.15解：这是已知正态总体方差求数学期望置信区间的问题，利用U变量求解，所给正态总体标准差，样本容量n=5，计算样本均值。由所给置信度1-=0.90查表4-1得到对应的标准正态分布双侧分位数，计算分式从而得到置信下限 与置信上限 所以某加热炉正常工作的炉内平均温度的置信区间（1250.2, 1267.8）4.16解：由已知正态总体方差求数学期望置信区间问题，利用U变量求解。所给正态总体标准差，样本容量n=15，样本均值，由所给置信度1-=0.95查表4-1得对应标准正态分布双侧分位数=1.96，计算分式从而得到置信下限 与置信上限 所以每桶奶粉平均净重的置信区间（443.5，448.5）4.17解：这是未知正态总体方差求数学期望置信区间的问题，利用T变量求解，所给样本容量n=10，计算样本均值。计算样本方差 由所给置信度1-=0.95知检验水平查附表三，在表中行找概率值p=0.05，列找自由度m=n-1=10-1=9，其纵横交叉处的数值即为对应的t分布双侧分位数，计算分式从而得到置信下限 与置信上限 所以每人平均脉博的置信区间（68.2, 71.8）4.18解：这是未知正态总体数学期望求方差置信区间的问题，利用X2变量求解。所给样本容量n=8，计算样本均值计算样本方差 由所给置信度1-=0.95知检验水平查附表四，在表中第一行找到概率值，再在表中第一列找到自由度m=n-1=8-1=7，其纵横交叉处的数值即为对应的X2分布分位数；继续在表中第一行找到概率值，再在表中第一列找到自由度m=n-1=8-1=7，计算分式其纵横交叉处的数值即为对应的X2分布分位数，计算置信下限与置信上限 所以飞机最大飞行速度方差的置信区间（12.49, 118.34）4.19解：这是未知正态总体方差求数学期望置信区间的问题，利用T变量求解，所给样本容量n=9，计算样本均值计算样本方差 由所给置信度1-=0.99查附表三，p=0.01，自由度m=n-1=9-1=8对应的t双侧分位数，计算分式从而得到置信下限 与置信上限 所以每根保险丝在短路情况下平均熔化时间的置信区间（5.0, 7.6）（2）这是未知正态总体数学期望求方差置信区间的问题，利用X2变量求解。所给样本容量n=9，样本方差S2=1.26，由所给置信度1-=0.99知检验水平=0.01，查附表四，行找列自由度m=n-1=8，其纵横交叉处的数值即为对应的X2分布分位数；继续在表中第一行找到概率值，列找到m=8纵横交叉处的数值即为对应的X2分布分位数，计算置信下限与置信上限 所以每根保险丝在短路情况下熔化时间方差的置信区间（0.46, 7.50）4.20解：根据定理4.5，每株梨树平均产量服从正态分布参数为，用样本均值作为每株梨树平均产量数学期望的估计值有同样本方差作为每株梨树产量方差的估计值，有（3）由所给置信度1-=0.95知检验水平=0.05查附表三，概率值p=0.05，自由度m=n-1=6-1=5对应的t双侧分位数，计算分式从而得到置信下限 与置信上限 所以每株梨树平均产量的置信区间为（193.0, 247.0）（4）由所给置信度1-=0.95知检验水平=0.05查附表四，概率值，自由度m=n-1=6-1=5，得对应的X2分布分位数；继续在表中找到概率值，自由度m=n-1=6-1=5得对应X2分布分位数侧分位数计算置信下限 与置信上限 所以每株梨树产量的置信区间为（258.1, 3985.6）第五章假设检验与回归分析5.01解：零假设H0与备择假设H1分别记作由已知正态总体方差，因而此假设检验为U检验，所给正态总体标准差，样本容量n=10，当零假设H0成立时，构造变量由所给检验水平查表5-1得到对应的标准正态分布双侧分位数，使得概率等式 成立这说明事件 是一个小概率事件，于是得到拒绝域 计算样本均值得到U变量的观测值它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设H0，而接受零假设H0，即可以认为，所以可以认为这批袋装面粉的平均重量显著合乎标准。5.02解：零假设H0与备择假设H1分别记作由于未知正态总体方差，因而此假设检验为T检验，所给样本容量n=5，当零假设H0成立时，构造变量查附表三，得入=2.132，使得概率等式成立，这说明事件T2.132是一个小概率事件，于是得到拒绝域 计算样本均值计算样本方差得到T变量观测值 它落入拒绝域，于是能拒绝零假设H0，而接受H1，即可认为，所以该厂排放工业废水中该有害物平均含显著超过规定标准。5.03解：这是检验正态总体数学期望是否小于240，即检验关系或是否成立，其对立检验关系式为，因此零假设H0与备择假设H1分别记作这种情况的零假设H0所代表的检验关系式中不等号可以省略不写，记作当零假设H0成立时，由于未知，因而此假设检验为T检验，n=6，构造变量由已知，因而此假设检验为U检验，所给正态总体标准差，样本容量n=5，平均寿命，构造变量为：查附表三，得使得概率等式成立，这说明事件是一个小概率事件，于是得到拒绝域 所给校本均值，样本方差得T变量的观测值它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H0，而拒绝H1，即不能认为.所以不能认为今年果园每株梨树的平均产量显著减少。5.04解：零假设H0与备择假设H1分别记作由已知，因而此假设检验为U检验，所给正态总体标准差，样本容量n=6，当零假设H0成立时，构造变量由所给检验水平查表5-1得（双侧分位数）使得概率等式 成立这说明事件 是一个小概率事件，于是得到拒绝域 计算样本均值 得到U变量的观测值 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H0，而接受H0，即可以认为，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度显著为32.0kg/cm2。5.05解：零假设H0与备择假设H1分别记作由已知，因而此假设检验为U检验，所给正态总体标准差样本容量n=5，平均寿命，构造变量为：由所给检验水平查表5-1，得到对应标准正态分布上侧分位数，使得概率等式成立，这说明事件是一个小概率事件，于是得到拒绝域所以由所给校本均值，得到U变量的观测值它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，接受备择假设H1，即可认为.所以可以认为这批新摩托车的平均寿命有显者提高。5.06解：这是检验平均单位产量是否大于150kg，即检验关系式是否成立，其对立假设为，因此零假设与备择假设分别记作：由于未知正态总体的，选用T检验，样本容量n=9.当零假设H0成立时，构造变量：查附表三，找概率值自由度m=n-1=8的交叉处数值得对应t分布上侧分位数使得概率等式成立，这说明事件是一个小概率事件，于是得拒绝域计算样本均值样本方差 得到T变量的观测值它没有落入拒绝域，不能拒绝H0，能接受H0，即可认为.所以不能认为这种肥料使小麦显著增产.5.07解：零假设H0与备择假设H1分别记作由于正态总体的方差未知，这是假设检验的T检验，样本容量n=8.在零假设H0成立时，构造变量：查附表三，概率自由度m=7对应得到t分布上侧分位数使得概率等式成立，这说明事件是一个小概率事件，于是得拒绝域.根据所给样本均值样本方差得变量T观测值它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，而接受备择假设，即可认为.所以可以认为该市7月份的平均气温显著低于30.5.08解：这是检验正态总体方差是滞为3，其零假设H0与备择假设分别记作：由于未知正态总体数学期望，因布此假设检验为检验，样本容量n=10.当零假设H0成立时，构造变量：查附表四，找概率自由度m=9得对应分布分位数继续找自由度m=9对应的分布位数使得概率等式成立，这说明事件或是一个小概率事件，于是得绝域到拒绝域或所给样本均值 样本方差 得变量的观测值它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，而接受备择假设H1，即可认为.所以可以认为这推零件长度编差的方差显著改变。5.09解：（1）这是检验平均运转时间是否为30，零假设与备择假设分别记作：由于未知正态总体方差，因而此假设检验为T检验，样本容量n=7.当零假设H0成立时，构造变量：查附表三，找概率自由度m=6对应的t分布双侧分位数使得概率等式 成立，这说明事件是一个小概率事件，于是得到拒绝域.计算样本均值 样本方差 得到T变量的观测值它没有落入拒绝域，才能拒绝零假设H0，而接受零假设，即可以认为所以可以认为这推柴油发动机燃烧一升柴油的平均运转时间无显著改变。（2）这是检验正态总体方差是否为4的检验，零假设和备择假设分别记作：由于未知正态总体数学期望，因而此假设检验为检验，所给样本容量n=7.当零假设成立时，构造变量：但附表四，得 使得概率等式成立，这说明或是一个小概率事件，于是得拒绝域 或所给样本均值样本方差，得到变量的观测值它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设，从而接受零假设H0，即.所以可以为这批柴油发动机燃烧一升柴油运转时间方差无显著改变。5.10解：这是检验两个正态总体方差与是否相等，其零假设H0与备择假设H1分别记作：由于未知正态总体的数学期望，因而此假设检验为T检验，所给正态总体X的样本容量n1=8.正态决体Y的样本容量n2=10，当零假设H0成立时，构造变量：查附表五，选出概率的第2个分表，在表中找到第一自由度m1=n2-1=10-1=9再找m2=n1-1=8-1=7，其纵横交叉数值即为的值取倒数得对应F分位数继续找m1=n1-1=8-1=7再找m2=n2-1=10-1=9其交叉处数值即为对应的F都分位数使得概率等式成立，这说明或是一个小概率事件，于是得拒绝域或计算正态总体X的样本均值 样本方差 再计算正态总体Y的样本均值样本方差 得到F变量的观测值 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设H0，即认为.所以可以认为甲、乙两车间所生产的这两推螺栓直径方差与无显著差异。5.11解：零假设H0与备择假设H1分别记作：这是未知正态总体的数学期望，因而此假设检验为F检验，n1=n2=16，当零假设H0成立时，构造变量：查附表五，由概率知选出分表3。用m1=n2-1=15，m2=15，查=2.86得继续在表中利用m1=n1-1=m2=15，找使得概率等式成立，这说明或是一个小概率事件，于是得到拒绝域或所给正态总体的样本方差分别为：，得F变量观测值它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，接受备择假设H1，即认为. 所以不能认为甲、乙两校学生体重方差与无显著差异。5.12解：这是检验两个正态总体数学期望与是否相等，其零假设H0与备择假设H1分别记作由于未知两个正态总体的方差，但已知两个总体方差相等=，因而此假设检验为检验，所给正态总体X的样本容量n1=10，正态总体Y的样本容量n2=12，当零假设H0成立时，构造变量：查附表三，自由度，对应的t分布双侧分位数使得概率等式 成立，这说明事件是一个小概率事件，于是得到拒绝域根据正态总体X的样本均值，样本方差；正态总体Y的样本均值，样本方差得F变量观测值 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H0，接受H0即可认为，当然意味着不能认为。 所以不能认为一片A，B两种安眠药使患者平均延长睡眠时间有显著差异。5.13解（1）：这是检验两个正态总体方差与是否相等，其零假设H0与备择假设H1分别记作：由于未知正态总体的数学期望，因而此假设检验为F检验，所给正态总体X的样本容量n1=7，正态决体Y的样本容量n2=7，当零假设H0成立时，构造变量：查附表五，选出概率的第3个分表，对照自由度m1=n2-1=6=m2，查对应的数值为，则F分布分位数；继续对照m1=n1-1=6=m2，查对应的数值，使概率等式成立，这说明事件或是一个小概率事件，于是得拒绝域或所给正态总体X的样本方差：，正态总体Y的样本方差得F变量观测值它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设H0，而接受H0，即可以认为. 所以可以认为两个商店在11月份的一天销售额方差与无显著差异。（2）这是检验两个正态总体数学期望与是否相等，其零假设H0与备择假设H1分别记作由于未知两个正态总体的方差，但在（1）中已有结论：可认为=，因此假设检验为检验，n1=n2=7，当零假设H0成立时，构造变量：查附表三，找自由度，得对应的t分布双侧分位数使得概率等式 成立，于是得到拒绝域所给正态总体X样本均值，正态总体Y样本均值，得到变量的观测值它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，接受备择假设H1即可认为，不能认为。 所以不能认为两个商店在11月份的平均一天销售额与无显著差异。5.14解： 所以随机变量X与Y的相关系数5.15解：由于得 又由 得 所以随机变量X与Y的相关系数5.16解：这是检验正态总体相关系数，其零假设H0与备择假设H1分别记作：所给样本容量n=6，当零假设H0成立时，构造样本相关系数统计量：查附表六，在表中行找列找自由度m=n-2=6-2=4得对应的R分布双侧分位数，使得概率等式成立，于是得拒绝域计算再计算 得到样本相关系数统计量R的观测值 它没有落入拒绝域，于是接受零假设H0，即可认为不能认为 所以可以认为加工这种铸件第二道工序出现砂眼数Y个与第一道工序出现砂眼数X个具有显著线性相关关系。5.17解：这是检验正态总体的线性相关系数是否为0，零假设H0与备择假设H1分别记作：样本容量n=8，当零假设H0成立时，构造变量：查附表六，m=n-2=8-2=6对应得R分布双侧分位数，使得概率等式成立，得拒绝域计算再计算 得到样本相关系数统计量R的观测值 它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，而接受备择假设，即可认为所以可以认为该地区每个家庭一年的支出Y万元与收入X万元具有显著线性相关关系。5.18解：（1）零假设H0，与备择假设H1分别记作：所给样本容量n=10，当零假设H0成立时，构造样本相关系数统计量：在附表六中，查m=8对应的R分布双侧分位数，使得等式成立，得拒绝域计算再计算 得到样本相关系数统计量R的观测值 它落入拒绝域，于是拒绝零假设H0，接受备择假设H1，即可认为所以可以认为该地幼儿的身高Y