数学实验教程_实验7(多元函数微分学).doc

实验7 多元函数微分学 - 43 -实验7 多元函数微分学实验目的1加深理解偏导数的定义及几何意义2学会多元函数偏导数的计算方法3学会绘制曲面的切平面与法线4学会求多元函数的极值实验准备1复习偏导数的定义以及几何意义2复习偏导数的计算方法，如链式法则，隐函数求导等3复习空间曲面的切平面以及法线的求法4复习求解无条件极值问题的方法5复习求解条件极值问题的拉格朗日乘子法实验内容1利用几何图形演示偏导数的定义及几何意义2多元函数偏导数和全微分的计算3求曲面的切平面与法线方程并绘制图形4求多元函数的梯度，并绘制梯度场5求多元函数的极值6偏导数的应用软件命令表7-1 Matlab多元函数微分学命令函数名称调用格式说 明symsSyms 变量名1，变量名2,定义符号变量symsym(x,)定义符号变量diffdiff(f,x,n)求函数f对x的n阶导数plot3plot3(x,y,z,可选项s)绘制空间参数曲线meshmesh(x,y,z)用两组相交的平行平面上的网状线方式来表示曲面surfsurf(x,y,z)用网状线与补片填充色彩的方式来表示曲面fminsearchfminsearch(fun,x0,options)求多变量函数极小值jacobianjacobian(f,v)求符号函数的Jacobian矩阵实验示例【例7.1】偏导数的定义及几何意义利用函数说明偏导数的几何意义。【程序】：参见Exm07Demo01.m【例7.2】偏导数的计算（1）已知，求；（2）已知，且具有连续的二阶偏导数，求；（3）已知，求全微分。【程序】：clearclcsyms x y;% 第一小题z=x4+y4-cos(2*x+3*y);zx=diff(z,x);zy=diff(z,y);zxx=diff(z,x,2);zyy=diff(z,y,2);zxy=diff(diff(z,x),y);zyx=diff(diff(z,y),x);zxyx=diff(zxy,x);% 第二小题u=sym(f(y/x,x2*y);% 定义复合抽象函数ux=diff(u,x);uy=diff(u,y);uxx=diff(ux,x);uxy=diff(ux,y);uyx=diff(uy,x);uyy=diff(uy,y);% 第三小题clear z;syms z dx dy dz;u=asin(z/(x2+y2)(1/2);ux=diff(u,x); uy=diff(u,y); uz=diff(u,z);du=ux uy uz*dx dy dz;【例7.3】曲面的切平面与法线求出旋转抛物面在处的切平面、法线方程并画出它们的图形。【原理】：一般曲面在点处的切平面方程为：法线方程为：【步骤】：【Step1】：计算在指定点（1，1）处的偏导数值、切平面以及法线方程数据clear;clc;syms x y;z=x2+y2;a=-2;b=2;c=-2;d=2;n=40;X,Y=meshgrid(linspace(a,b,n),linspace(-c,d,n);% 曲面数据Z=X.2+Y.2;% 切平面数据x0=1;y0=1;z0=x02+y02;DFx=diff(z,x);DFy=diff(z,y);Fx0=subs(DFx,x,x0);Fy0=subs(DFy,y,y0);Z1=Fx0*(X-x0)+Fy0*(Y-y0)+z0;% 法线数据t=-0.5:0.1:0.5;Xt=x0+Fx0*t;Yt=y0+Fy0*t;Zt=z0-t;【Step2】：绘制旋转抛物面、切平面和法线% 绘制图形hold ongrid onbox onaxis equalaxis(Xmin Xmax Ymin Ymax Zmin Zmax)surf(X,Y,Z);shading interpsurf(X,Y,Z1,FaceColor,y);plot3(Xt,Yt,Zt,r,LineWidth,2);hold off【输出】：图7-3 切平面与法线【例7.4】梯度、梯度线与等值线的实际应用某景区计划堆积一座人工高地，其表面形状可近似地用曲面表示（单位：米），在高地表面上的点（-24，-2.5，10.1）处设置人工喷泉口，让泉水自由地从高地上流下，直到水流到达水平高度为0.3米的地面某处。为了防止水流冲刷地表，施工时需要在水流路线上采取一定措施。为此，请帮助施工人员绘制出人工高地的等高线图、经过喷泉口的梯度线图及水流线路图。【概念】：【梯度】：函数在点处的梯度为由微积分知识，梯度方向是函数在点处改变最快的方向。【等值线】：一般地，二元函数在几何上表示一个曲面，这个曲面被平面(c是常数)所截的曲线L在xoy平面上的投影曲线：。函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法向量相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线，梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数。【梯度场】：由函数的定义域内各点的梯度所确定的向量场。【梯度线】：在的定义域内的曲线L，如果其上各点处的切向量为函数的梯度方向，则称曲线L为的一条梯度线。【原理】：由梯度的理论及水流的特征，水流路线应该是沿着梯度线从高向低流。绘制水流线图时，首先在等值线图中绘制梯度线图，然后在高地的曲面图上画出梯度线的相应空间曲线。【梯度线的画法】：从泉水出口点起求梯度，水流方向为梯度的反方向，以一定的步长取梯度的负向量，计算该向量的终点坐标，即水流下一步到达的点的x,y坐标。如此反复，直到该点的水平高度h小于0.3米。取到梯度线上的这些点的坐标后，利用函数plot画图。【水流路线图的画法】：在取到的梯度线上的各点处计算出人工高地曲面上的对应高度值，这样就得到水流路线上一些离散点的坐标（x,y,z）,然后利用plot3函数绘图。【步骤】：【Step1】：准备数据，即划分网格并计算函数值【Step2】：绘制曲面图、梯度场、等值线、水流梯度线和水流路线图【程序】：参见Exm07Demo04.m。【输出】：（1）梯度场和水流梯度线图（2）曲面及水流路线图图7-4 梯度、梯度线与等值线的应用【例7.5】无约束条件极值设，求的极值点和极值。【步骤】：对二元函数而言，求极值的步骤如下：【Step1】：解方程组，求得所有的驻点；clearclcsyms x y;z=x4+y4-x2-2*x*y-y2;dzx=diff(z,x);dzy=diff(z,y);x1,y1=solve(4*x3-2*x-2*y=0,4*y3-2*x-2*y=0,x,y)在实数范围内有三个驻点：P(0,0)，Q(-1,-1),R(1,1)。【Step2】：求每个驻点处的二阶偏导数 dzxx=diff(dzx,x); dzxy=diff(dzx,y); dzyy=diff(dzy,y);A1=subs(subs(dzxx,x,0),y,0); A2=subs(subs(dzxx,x,-1),y,-1);A3=subs(subs(dzxx,x,1),y,1); B1=subs(subs(dzxy,x,0),y,0);B2=subs(subs(dzxy,x,-1),y,-1); B3=subs(subs(dzxy,x,1),y,1);C1=subs(subs(dzyy,x,0),y,0); C2=subs(subs(dzyy,x,-1),y,-1);C3=subs(subs(dzyy,x,1),y,1);输出结果：A1=-2，A2=A3=10；B1=B2=B3=-2；C1=-2，C2=C3=10。【Step3】：计算每个驻点处的判别式Delta=dzxx*dzyy-dzxy2;Delta1=subs(subs(Delta,x,0),y,0);% 第一个点（0，0）Delta2=subs(subs(Delta,x,-1),y,-1);Delta3=subs(subs(Delta,x,1),y,1); 计算结果为：Delta1=0，Delta2=96，Delta3=96。【Step4】：根据判断驻点是否是极值点：（1）若，则为极小值；（2）若，则为极大值；（3）若，则不是极值；（4）若，则不能确定是否