求极值与最值的方法.doc

求极值与最值的方法1 引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。2 求函数极值的方法极值定义：设函数在的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点，称为极值点。2.1 求导法判别方法一：设在点连续，在点的某一空心邻域内可导。当 x由小增大经过时，如果：(1)由正变负，那么是极大值点；(2)由负变正，那么是极小值点；(3)不变号，那么不是极值点。 判别方法二：设在点处具有二阶导数,且,。(1)如果，则在点取得极大值；(2)如果，则在点取得极小值。判别方法三：设在点有n阶导数，且，则：（1）当为偶数时，在取极值，有时，在取极大值，若时，在取极小值。（2）当为奇数时，在不取极值。求极值方法：（1）求一阶导数，找出导数值为0的点（驻点），导数值不存在的点，及端点；（2）判断上述各点是否极值点例 1 求函数的极值。解法一 ： 因为的定义域为,且,令，得驻点, ；在内，在内，,为函数的极大值。解法二： 因为的定义域为， 且,。令,得驻点,。又因为,所以，为极大值。,所以为极小值例 2 求函数的极值解 因为的定义域为,且在上连续，所以，当时, 不存在,所以为的可能极值点在内, ；在内, , 在处取得极大值。例3 求函数的极值。 解 令，得驻点，且，但0 所以有极小值0.2.2 利用拉格朗日乘数法求条件极值“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉格朗日函数F的二阶微分符号来判断。例4 求函数在条件下的极值。解 先求令得驻点为又由，=故为即的极大值点，此时2.3 不等式求极值应用n个正数的算术平均数大于等于n个正数的几何平均数这个基本不等式来处理，基本不等式是，。例5 当为何值，函数取得极值。分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系，尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理。解 式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得此时2.4 利用二次方程判别式的符号来求初等函数的极值例6 若，试求函数的极值。解 ，带入得 即这个关于的二次方程要有实根，则要即 （2）解关于的二次不等式得：显然，求函数的极值，相当于求或 （3） 的极值。由（2）得 （4）这个关于的二次方程要有实数根，必须即解此关于的二次不等式，得。所以的极大值是3，极小值为。2.5 利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变量有关的量做标准量，称其余为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来，这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量。例7 设，求的极小值。解 取为标准量，令，则（、为任意实数），从而有 （等号当且仅当=即时成立）。所以的极小值为。2.6 配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此方法，中学大部分求极值的问题都是采用这用方法。例8 求函数的极值。分析：不难看出函数的解析式中分母是以为主元的二次三项式，则可以用配方法来解决这道题。解 令，则，取极大值的条件是取最小值，取极小值的条件是取最大值；取最大值 则的极小值为； 则的极大值为。2.7 柯西不等式求初等函数的极值柯西不等式的一般形式为：对任意的实数及有或，其中等号当且仅当时成立。例9 已知为正常数，且,求的极小值。 解 利用柯西不等式，得等号成立的当且仅当时；即 时，于是 再由柯西不等式， 等号成立也是当且仅当时。 从而， 于是的极小值是。3 求初等函数最值的方法3.1 判别式法 若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程: 。在时,由于为实数,则有,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。例10 实数满足,设,则的值为_。 解 由题意知, ,故又 是方程的两个实根.解得，即3.2 函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。例11 求函数的最小值和最大值。解 先求定义域，由 得 又 ，故当，且增加时，增大，而减小.于是是随着的增大而减小，即在区间上是减函数，所以 , 3.3 均值不等式法 均值不等式:设是个正数,则有,其中等号成立的条件是。运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。 例12 设，,记中最大数为M,则M的最小值为多少？解 由已知条件得 设中的最小数为,则M= 由已知条件知, ,于是 所以, ,且当时, ,故的最小值为,从而M的最小值为注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。3.4 换元法用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。例13 正数满足，其中为不相等的正常数，求的最小值。解 令则 当且仅当，即时上式取等号.故3.5 几何法 某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:3.5.1 可视为直线斜率的函数的最值例14 求函数的最小值。解 令,则且，于是问题转化为:当点在上半个单位圆上运动时,求与的连线的斜率的最值(如图).显然,当点与点重合时,直线的斜率最小,此时.当直线与上半个单位圆相切时,直线的斜率最大. 设,则直线的方程为直线与上半个单位圆相切 解得 (舍去)或综上可得,直线的斜率的最值为: ， ， 3.5.2 可视为距离的函数的最值例15 函数的最大值是_。解 将函数式变形,得 可知函数的几何意义是：在抛物线上的点分别到点和点的距离之差,现求其最大值.由知，当在的延长线上处时，取得最大值3.5.3 可视为曲线截距的函数的最值例16 求函数的最大值。解 令,则,且.则问题转化为:当点在单位圆上运动时,求双曲线族 (视为常数)在轴上的截距的最大值.当时,由方程得 , 由此可知:当时, ;当时, 此双曲线族有公共的渐进线和,有公共的中心由此不难得出,当双曲线族与单位圆切于点 时,纵截距取得极大值 ，而,故所求纵截距的极大值就是最大值.因此,所求函数的最大值为3.6 构造方差法设个数据的平均数为,则其方差为 显然（当且仅当时取等号）。应用这一公式，可简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。例17 确定最大的实数，使得实数满足： , 解 由已知得 , , 的方差 解得 .故的最大值为 解法二：不妨设，则由已知,即 得 又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值为3.7 复数法 用复数的方法解函数的最值,就是运用复数的模以及绝对不等式的性质来解题。 复数的模的不等式 ： 例18 求函数的最小值。解 令则 其中,当且仅当时,上述不等式取等号.由两个复数相等的条件可求得, 当时,函数 3.8 导数法 设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。例19 求函数,的最大值和最小值。解 ,令,方程无解. 函数在上是增函