五年级下学期数学思维.doc

五年级数学思维训练 五年级数学思维训练第一讲：分解质因数 每个合数都可以由几个质数相乘得到，例如：15=35、4=22、24=2223像这样把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。其中3和5就被称为是15的质因数。怎样快速的找出一个合数的质因数呢？【例题】28可以写成哪几个质数相乘的形式？【解题策略】方法一：用圆圈来表示分解的过程： 师：为什么第一次分出的4没有画圈呢？方法二：用短除法师：为了简便，通常用短除法来分解质因数。2介绍步骤：第一步：先用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除；第二步：看上一步除得的商，如果商是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止；第三步：把各个除数和最后的商写成连乘形式。【练一练】1、用短除法将18、21、60进行分解质因数。2、期末考试后，小明问小红的数学考了多少分。小红说：我这次的数学成绩考了班级前三名，而且我的成绩分数、名次数和我的年龄数三者的成绩为1940。你能正确推算出小红数学成绩吗？第二讲：组合图形求表面积 生活中有许多物体都是由规则的长方体、正方体等立体图形拼组而成的，这种拼组的物品，可衍生出许多的数学问题。如一个正方体或长方体每切开一次，就会增加两个切面。所以解决类似问题时，要注意增加或减少的是哪两个面，问题就会变得简单【例题】一个棱长为9厘米的正方体，如果把它锯成棱长为3厘米的小正方体，表面积增加了多少？【解题策略】把棱长为9厘米的正方体锯成棱长为3厘米的小正方体，可以按上图的线锯6次，每锯一次就增加99=81（平方厘米）的大面，锯6次共增加了81 26=972（平方厘米），所以锯后增加的面积为972平方厘米。【练一练】1、一个棱长为16厘米的正方体，如果把它锯成棱长为4厘米的小正方体，表面积增加了多少？2、把一个棱长为1分米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方分米？3、小红把8块棱长为1分米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比所有的小正方体表面积之和少多少平方厘米？第三讲：“曹冲称象”的应用 同学们，大家一定还记得“曹冲称象”的故事，一定很佩服故事中曹冲的聪明能干，其实我们生活中有很多类似这样的问题，如要求一个不规则物体的体积就可以运用“曹聪称象”的原理来解决，不信你试试看！【例题】在一个长8分米，宽4分米的长方体金鱼缸里装有5分米深的水。如果将一个棱长为2分米的正方体铁块沉浸在水中（水没有溢出），这时鱼缸里的水深多少分米？【解题策略】若把铁块沉浸在水中后，它在水中占了8立方分米的空间。因此，金鱼缸里的水上升的体积也是8立方分米，用这个体积除以鱼缸的底面积（84）就能得到水上升的高度，从而也就得出后来鱼缸中水的深度。 222=8（立方分米） 8（84）=0.25（分米） 5+0.25=5.25（分米）答：鱼缸中的水深5.25分米。【练一练】1、一个长方体容器，从厘米量长8分米，宽6分米，高9分米。现在里面注有5分米深的水，如果将一个棱长为3分米的正方体零件沉浸在水中，水面上升了多少分米？2、小红家有个小鱼缸，长5分米，宽4分米，水深2分米。她把一小块假山石沉浸水中后，水面上升了0.4分米。这块假山石的体积是多少立方分米？3、小明从棱长为4分米的容器水底，取出一个长2分米，宽1分米，高2分米铁块，这时水面下降了多少分米？第四讲 分数的意义和性质(一)【例题】 分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个？【解题策略】把420分解因数，得到420142022103140410558467076010421235152820213014。其中，两个因数互质的有1420，3140，4105，584，760，1235，1528，2021。用这些因数作分子和分母，可以组成8个最简真分数，分别是、。 【例题】 学校体操队有 20 名同学, 其中女生占 , 男生有多少人?【解题策略】女生占 , 是把全队 20 人看作单位“1”, 平均分成 5 份, 女生占了其中的 3 份, 剩下的 2 份是男生, 所以, 男生的人数是 205(53)8 (人)【练一练】 (1) 一个带分数, 分数部分是真分数，分子是 4, 把它化成假分数后, 分子是 19, 这个带分数是()。 (2) 一个分数, 添上一个分数单位等于 1, 去掉一个分数单位等于, 这个分数是( )。(3)从3、5、7、9、11、15这六个自然数中取出两个数，分别作分子和分母，可以组成( )个最简真分数。3. 五一班有 45 人, 喜欢美术的占 , 喜欢音乐的占 , 喜欢体育的占 。那么：(1)喜欢美术的有多少人？第五讲 最小公倍数与最大公因数【例题】 传说古时候有一位将军, 统帅了一支五千多人的队伍。队伍操练时遇到了一个让将军头疼的问题：无论 2 人一排，还是 3人、4人以至10 人一排, 最后一排总是少 1 人。你知道这支队伍有多少人吗?【解题策略】不妨和将军开个玩笑, 让他也站到队伍里, 这样一来, 因为增加了 1个人, 所以按上面的排法每次都能排成整排。可见增加1人以后的人数是 2、3、4、10的公倍数。怎样求这个的公倍数呢? 因为 6、9、8、10 分别是2、3、4、5的倍数, 问题简化为求 6、7、8、9、10 的公倍数；又因为 7、8、9 的最小公倍数是 789504, 问题简化为求 6、10、504 的公倍数；又因为 504 是 6 的倍数, 问题最后简化为求 504 与 10 的公倍数。504 与 10 的公倍数有：2520、5040、7560根据已知条件, 取 5040, 504015039, 就是要求的数。所以这支队伍有 5039人。答：这支队伍有 5039人。 【例题】 有 336 个苹果、252 个橘子、210 个梨, 用这些果品最多可以分成多少份同样的礼物? 每份礼物中三种水果各多少个? 【解题策略】首先从“同样的礼物”想到, 三种水果必需分成相同的份数；其次, 从“最多可以分成多少份”想到, 所分的份数要尽可能多。把二者联系起来,要求的“最多的份数”就是 336、252、210 这三个数的最大公因数。因为几个数的最大公因数一定是这几个数的差的因数(为什么?) 所以, 这三个数的最大公因数, 可以从比较接近的两个数 252 与 210 的差 42 中求得。42 不是这三个数的公因数, 42 的一半 21 是这三个数的公因数, 也就是最大公因数。所以最多可以分成 21 份同样的礼物。每份礼物中有苹果 3362116(个), 橘子 2522112(个)，梨 2102110(个)。答：用这些果品最多可以分成 21 份同样的礼物。每份礼物中有 16个苹果, 12 个橘子，10 个梨。【练一练】1. 一篮鸡蛋大约 200 多个。2 个 2 个地数, 3 个 3 个地数, 4 个 4个地数, 5 个 5个地数, 总是多 1 个, 这篮鸡蛋有多少个？ 2. 有一堆苹果, 3 个 3 个地数, 剩 2 个；5 个 5 个地数, 剩 4 个；7 个 7 个地数, 剩 6 个。这堆苹果至少有多少个？第六讲分数加减法 分数加减法有许多趣味题, 这些趣味题既引人入胜又发人深思。 【例题】 在 9 的里分别填入 1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字, 组成两个带分数, 并且使等式成立。 【解题策略】带分数是由整数和分数两部分组成的，题中两个带分数的差是整数，说明这两个带分数的分数部分相等，而整数部分相差9。用上面 8 个数字中的 4 个数字组成两个相等的分数, 有 、取 ，再用剩下的数字4、5、7、8组成两个差是 9 的两位数, 于是得到 57489，完全满足题目的要求。 你还能想到其它的解吗? 【例题】 计算 1。 【解题策略】按照常规要先通分, 可是, 观察发现, 算式中的前一个数总是后一个加数的2倍, 也就是说, 算式的含意实际上是每次去掉前一个数的一半，所以，最后去掉的和剩下的同样多。最后去掉的数是，所以，算式的得数就是。由此得到的经验是：做题要针对题目特点采取灵活方法, 不要墨守成规。练 习 十 三1把1、2、3、4、5、6六个数分别填入下式的里，使等式成立。102. 在、中，哪几个分数的和等于 1？3. 在、这几个分数中，最大的分数减去最小的分数, 差是多少?第七讲分数的意义和性质(二) 【例题】 比较下面各组分数的大小。 (1) 与 (2) 与 (3) 与 【解题策略】(1) 与。因为通分时的分子、分母要乘 19, 的分子、分母要乘 7, 再比较分子的大小, 因此只需让两分数的分子和分母交叉相乘, 对所得的积进行比较。 因为 31987, 所以 。 (2) 与。这两个分数都与 1 很接近, 可以比较它们与 1 的差, 差越小分数越大。 1, 1, 因为 , 所以 。 (3) 与。这两个分数都在 左右,可以间接比较它们的大小。 因为 , , 所以 。 【练一练】1. 填空。 (1) 1, 方框中能填的自然数有( )。(2) ，方框中能填的自然数有( )。 2. 在里填上“”、“”、“”。 (1) (2) (3) (4) 3. 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数中的任意两个数作分子和分母的真分数中： (1) 最大的是多少？(2) 最小的是多少？(3) 相等的有哪些？第八讲 长方体和正方体的体积 【例题】 一个长方体, 如果长减少 1cm 就变成正方体, 同时表面积减少 24 cm2, 这个长方体的体积是多少立方厘米?【解题策略】从已知条件可以想到：这个长方体的长比宽多 1cm, 高和宽相等；表面积所减少的 24cm2, 包括 4 个同样大的长方形, 每个长方形宽 1cm, 长就是长方体的宽。所以, 长方体的宽是 24416(cm)，体积是 (61)66252(cm3)。答：这个长方体的体积是 252cm。 例 2 一个长方体, 前面的面积是 12cm2, 上面的面积是 8cm2, 左面的面积是 6cm2, 它的体积是多少立方厘米? 解法一：因为已知的三个面的面积, 分别等于长高、长宽、宽高, 并且这三个积都是整数, 不妨假设这个长方体的长、宽、高都是整厘米数。很容易想到 1234, 842，623。观察这三个积的因数, 发现 3、4、2 恰好各出现两次, 于是可以断定, 这个长方体的长是 4cm, 宽是3cm, 高是 2cm。所以, 体积是 43224(cm3)。 解法二：因为, 已知的三个面的面积分别是长高、长宽、宽高的结果, 所以, 如果把已知的三个积乘起来, 就会得到：(长高)(长宽)(宽高)(长宽高)(长宽高)体积体积，因为 12862424，所以长方体的体积是 24cm3。答：它的体积是24 cm3。【练一练】1. 一个长方体木块, 从上面截去一个高 5cm 的长方体后, 变成了一个正方体, 同时表面积减少了 120cm2, 原来长方体的体积是多少立方厘米？2 一个正方体被切成 24 个小长方体如图，这些小长方体的表面积的总和是 162cm2。这个正方体原来的表面积是多少平方厘米？第九讲 长方体和正方体的表面积 【例题】 一个长方体形状的铁皮无盖水桶, 底面是边长 0.25m的正方形, 高 0.4m。做一对这样的水桶, 至少要用铁皮多少平方米? 【解题策略】水桶的表面积由侧面和一个底面组成, 所以, 做一对这样的水桶至少要用铁皮 (0.2540.40.25)20.925(m2)。 答：做一对这样的水桶至少要用 0.925 m2铁皮【例题】有个模型，是用一个棱长 4cm 的正方体，在它的一个面上挖去一个棱长 1 厘米的正方体而做成的，这个模型的表面积是多少平方厘米？【解题策略】原来正方体的表面积是 44696(cm)，挖去一个小正方体后，表面积增加了 4cm，所以，这个模型的表面积是 964100(cm)。答：这个模型的表面积是 120cm。【练一练】