空间的平行直线与异面直线.doc

【高考导航】本节所涉及到的知识点：直线平行公理、异面直线的概念以及异面直线所成的角是高考考查的重点.考查的题型比较灵活.如1993，全国理，18题；1994，上海，14题；1995，全国文，10题；1996，全国，19题.试题分值45分，多以难度系数较大的题为主.【学法点拨】本节共有两个知识点：平行直线、异面直线.平行直线主要是将平行公理和平行线的传递性推广到空间，并引出平移的概念，学习时要意识到并非所有在平面图形中适用的结论，对于立体图形仍应适用.例如没有公共点的直线在平面上是平行关系，在空间中考虑就有平行与异面两种位置关系.对于异面直线要理解不同在任何一个平面内，它们构成一个空间图形，绝不是平面图形，异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角的概念扩充而成.计算异面直线a、b的夹角大小，必须通过平移转化为相交直线a，b的夹角，实现转化的手段是“平移”.【基础知识必备】一、必记知识精选1.空间两条不重合的直线的三种位置关系.(1)相交直线共面有且仅有一个公共点.(2)平行直线共面没有公共点.(3)异面直线不同在任一平面内.2.平行公理：平行于同一条直线的两直线平行.3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.4.异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.5.异面直线的概念及异面直线所成角：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线aa,bb,a与b所成的锐角或直角叫做异面直线所成角.异面直线所成角的范围为(0,.二、重点难点突破1.掌握平行公理并能熟练应用；了解公理4是证明直线平行的主要依据.2.异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法.注意概念中异面直线所成角与“O”点位置无关，因此，在实践中“O”点常取在两条异面直线中的一条上.（二）难点1.异面直线的判定.利用异面直线判定定理，或排除平行、相交两种位置关系进行判断，或利用反证法.2.异面直线所成角.求异面直线所成角，是按定义先作出它们所成的角，然后一般通过解三角形来求角.三、易错点和易忽略点导析1.对定理的掌握不准确.【例1】 如果角A的两边与角B的两边分别平行，则角A与角B的关系是 .错解：A=B.正确解法：A=B或A+B=.错解分析：在利用等角定理时忽略了“方向相同”这一条件.对概念的把握不深刻.2.空间概念不牢固.【例2】 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A.平行 B.垂直C.异面 D.以上答案都不对错解:A正确解法:D错解分析：以固有的平面思维对待空间问题，本题中两条直线的位置关系是平行、相交或异面.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】 已知两直线a,b是异面直线，a上有两点A、C中，b有两点B、D.求证AB和CD是异面直线.思维入门指导：证明两直线a、b异面，其实质是证明使a，b的平面是不存在的.一般有两种方法：反证法和利用异面直线判定定理进行证明.证明：假设AB与CD不是异面直线，则AB、CD共面.设AB，CD，则A，C.又A，C，AC.即a.同理b，这与a、b异面矛盾.故假设不成立，则直线AB和CD是异面直线.点拨：反证法是证明否定命题的基本方法.反证法证明过程一般有如下几个步骤：(1)反设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：将反设和条件进行推理,得出矛盾；(3)结论：肯定原命题正确.在立体几何中，下面三类问题常用反证法.(1)直接利用公理、定义证题，即在尚未建立有关定理作为依据的情况下证题.(2)证明某些惟一性结论的命题.(3)所证结论是一种否定性的命题.二、应用思维点拨【例2】 已知：长方体ABCDABCD中AB=a，BC=b，AA=c(ab)，求异面直线DB和AC所成角的余弦值.思维入门指导：欲求两条异面直线所成的角，关键在于选择恰当的点，通过平移一条直线后，转化为平面问题，利用解三角形求之.解法一：如图9-2-1，连接BD交AC于E，取DD的中点F,连结EF，则EFDB.FEA是DB和AC所成的角.连接AF，AE=,EF=DB=,AF=,在FEA中，cosFEA=.ab，cosFEA0.DB与AC所成角的余弦值为.解法二：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，如图9-2-2，则BEAC,DBE为DB和AC所成角或其补角.DB=,BE=,DE=,在DBE中，cosDBE=.ab,则b2-a20,即cosDBE0.故DB与AC所成角的余弦值为.点拨:求异面直线所成角的基本法则是“作平行线，构造三角形”.而在采用平移找角,转化为三角形求解时,应时刻注意两条异面直线所成的角的范围为(0,因为常常会出现所找的角为异面直线所成角的补角.三、创新思维点拨【例3】 如图9-2-3,A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BC=5，CD=8，BCD=60，求MN的长.思维入门指导：由题设中的条件M、N分别为三角形重心，可预想解题过程要利用三角形的中线及重心的性质进行解题.解：连结AM并延长交BC于点E，连结AN并延长交CD于点F，则E、F分别为BC、CD的中点，连结EF，则EFBD.,MNEF.MNBD.在BCD中，BC=5，CD=8，BCD=60，BD2=BC2+CD2-2BCCDcos60=25+64-258=49.则BD=7.MN=.点拨：本题是一道好题，其创新之处是将重心的性质及平行公理有机地结合在一起.四、高考思维点拨【例4】 （2003，北京春招，5分）如图9-2-4，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为（ ）A.90 B.60 C.45 D.0思维入门指导：本题是折叠类问题，解答此类问题的基本思路是：先作出折叠前与折叠后的图形.注意折叠前后元素之间的位置关系，数量关系的变化，然后解答.解：如图9-2-5所示，折叠后A、B、C重合，记为点K，GH与IJ为异面直线.K(A、B、C)GHDF，IJKD，KDF为GH与IJ所成角.KDF=60，GH与IJ所成角的度数为60，选B.点拨：把平面物体折叠成空间几何体的过程中，始终在同一个平面内的点与线，线与线的位置关系及数量关系不变,若折叠前后不在同一个平面内,则位置关系及数量关系都可能发生变化.五、经典类型题思维点拨【例5】 设A、B、C、D是不共面的四个点，P、Q、R、S分别是AC、BC、DB、DA的中点，如图9-2-6，若AB=12，CD=4,且四边形PQRS的面积为12，求异面直线AB和CD所成的角.思维入门指导：利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为相交的两条直线所成的角，然后求解.解：P、Q是AC、BC的中点，PQAB.Q、R是BC、BD的中点,QRCD.同理RSAB,PSCD.四边形PQRS为平行四边形，且PQR是异面直线AB与CD所成的角或其补角.PQ=6，QR=2.SPQRSPQQRsinPQR62sinPQR12,sinPQR=.故异面直线AB、CD所成角为45.点拨：异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考查.考查的内容涉及定义、所成角两方面，其中异面直线所成角为考查的热点.六、探究性学习点拨【例6】 如图9-2-7，空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成角为，AC=a，BD=b（a,b为常数），E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当为何值时，四边形EFGH的面积S最大？最大值为多少？思维入门指导:四边形EFGH面积的大小是由边的长度及内角的度数决定的,先将四边形EFGH的面积表示为的函数,再利用函数求最值.解:E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,EFHGAC,且EF=HG=AC;EHFGBD,且EH=FG=BD.四边形EFGH是一个平行四边形,且EF=a,FG=b.AC与BD所成角为，EFG=.S=EFFGsin=absin.(0,),当=时,Smax=ab.点拨：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形，空间四边形各边中点连结形成的平行四边形中有以下结论：（1）当AC=BD时，为菱形；（2）当ACBD时，为矩形;（3）当ACBD，AC=BD时，为正方形.【同步达纲训练】A卷:教材跟踪练习题 （60分45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.如果a、b是异面直线，ca，那么c与b（ ）A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线2.两条直线不相交是两条直线异面的（ ）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个空间四边形各边中点所形成的四边形是（ ）A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形4.正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）A.2 B.3 C.6 D.125.一个角的两边与另一角的两边分别垂直,则这两个角（ ）A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定6.正方体AC1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E与C1F所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.二、填空题(每小题4分,共16分)7.点A是BCD所在平面外一点，M、N、P分别是ABC、ACD、ABD的重心,且SBCD=9,则MNP的面积为 .8.正方体六个面内的所有对角线中,互成60角的对角线共有 对.9.若ab,ca,db.则c与d的位置关系是 .10.过异面直线a与b外的点P.与a、b都垂直的直线的条数是 .三、解答题(每小题7分,共14分)11.已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成角.12.如图9-2-8在四面体ABCD中，AB=AC=AD=a，BC=CD=a,BD=a，点F是BD的中点，求AF与CD所成的角的大小.B卷:综合应用创新练习题 （70分60分钟）一、学科内综合题（5分）1.两条异面直线所成角为，则有（ ）A.0cos1 B.0cos1C.0sin1 D.0sin1二、应用题（5分）2.空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设(BC+AD)=l,则（ ）A.MNl B.MNlC.MN=l D.MN与l的大小关系不确定三、创新题（55分）（一）教材变型题（5分）3.（P15第5题变型）和两条异面线AB、CD都相交的两条直线a、b的位置关系是（ ）A.平行 B.异面 C.相交 D.以上都不对（二）一题多解（1O分）4.证明：对边平方和相等的空间四边形的对角线互相垂直.（三）一题多变（20分）5.两条异面直线a、b所成的角是60，过空间任意一点O与a、b都成60角的直线的条数是( )A.2条 B.3条 C.4条 D.不能确定(1)一变:两条异面直线a、b所成的角是60,过空间任意一点O与a、b都成50角的直线有 条.(2)二变:两条异面直线a、b所成的角是，过空间任意一点O与a、b都成45角的直线有两条.则的取值范围是 .(3)三变:两条异面直线a、b所成的角是60，过空间一点O的直线l与a、b所成的角都是,则的取值范围是 .(四)新解法题(10分)6.已知棱长为a的正方体AC1中，E、F分别为BC、A1D1的中点，求AF与DE所成的角.(五)新情境题(10分)7.A、B、C、D是异面直线AB、CD上的点，线段AB=CD=4，M为AC的中点,N为BD的中点，MN=3，求异面直线AB、CD所成角的余弦值.四、高考题8.（1995，全国，5分）如图9-2-9，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.加试题：竞赛趣味题（10分）（1999，全国联赛）给定下列两个关于异面直线的命题:命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是、的交线，那么c至多与a、b中的一条相交.命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线.那么（ ）A.命题正确，命题不正确 B.命题正确，命题不正确C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确【课外阅读】多面体的截面用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点.作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面.作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.主要画法是交线法，即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点.【例1】 如图9-2-10，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面.作法:(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线交于点L、M.(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于点K.(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于点H.(4)连结KE、FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介.【例2】 如图9-2-11，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F在两条棱上,G在底面A1C1内，求作过E、F、G的截面.作法:(1)在底面A1C1内,过G作PQB1C1，交棱于P、Q两点.(2)作辅助面PBCQ，在此面内，过G、F作直线交BP的延长线于M.(3)在侧面A1B内,连结ME，交A1B1于K.(4)在底面A1C1内,连结KG，延长交B1C1于H.(5)连结HF.(6)在底面AC内，作FLHK，交AB于L.(7)连结EL.则五边形ELFHK为所求的截面.此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解.【例3】 如图9-2-12，五棱锥PABCDE中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面.作法:(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥PBST.(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K.(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L.(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N.(5)连结FN、MH.则五边形FGHMN即为所求的截面.参考答案A卷一、1.C 点拨：若cb，又ca，则ab，与a、b异面矛盾.2.A 点拨：两条直线异面一定不相交，但不相交也可以是平行.3.C 点拨:如答图9-2-1所示，E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边的中点.则EFAC，HGAC.则EFHG.四边形EFGH为平行四边形.AC=BD，EF=HE.ACBD，EFHE.四边形EFGH为正方形.4.C 点拨：除相交的6条棱外，其余6条棱均与之成异面直线.5.D 点拨：两者共在一个平面内则相等或互补，若一个角在另一个角平面外，且一条边垂直于第一个角所在平面，则两角关系不能确定.6.C 点拨:如答图9-2-2所示，取B1G=A1B1，连结GF，GC1,则C1FG即为A1E与C1F所成的角.设AA1=a，则在C1GF中，C1F=a,GF=a,C1G=a.cosC1FG=.二、7.1 点拨：如答图9-2-3，连结AM并延长交BC于点E，则E为BC中点.同理可得CD边中点F,BD边中点G,则.MNEF，MPEG，NPGF，且MP=EG.又EFBD,SMNP=SEGF=SBCD=9=1.8.24 点拨:一个顶点对应3对,故共有38=24对.9.平行、相交或异面 点拨:可以在正方体中找出此题的实物模型,另外此题等价于判断垂直于同一条直线的两条直线间的位置关系.10.1条 点拨:两条异面直线有一条公垂线,过直线外一点与直线平行的直线有且只有一条，所以过点P可以作一条直线与公垂线平行.三、11.解：如答图9-2-4，取BC的中点E，连结ME、NE.则MEAC,NEBD.MEN就是异面直线AC与BD所成角或其补角.在MEN中,ME=AC=5,NE=BD=3,MN=7,cosMEN=-.AC与BD所成角为60.12.解：如答图9-2-5，取BC的中点E，连EF、AE，F为BD的中点,EFCD.AFE为异面直线AF、CD所成的角或补角，且EF=a，在ABC中,AB=AC=a,BC=a.AE2=AB2-(BC)2=a2-a2=a2.在ABD中,AB=AD=a,BD=a,AF2=AB2-(BD)2=a2-a2=a2.在AFE中，cosAFE=0,AFE=90.异面直线AF与CD成90的角.B卷一、1.B 点拨：两条异面直线所成角的范围为（O，.二、2.B 点拨：取AC的中点为E，连结ME,NE，则在MNE中，(BC+AD)=ME+NEMN，即MNl.三、(一)3.D 点拨：可能存在异面与相交两种情况.(二)4.已知：如答图9-2-6中，AB2+CD2=BC2+AD2.求证:ACBD.证法一：回归定义，所成角为90，作角计算.如答图9-2-6(1)，分别取AB、CD、DA的中点E、F、G，则有EGBD，FGAC，这样问题就演变为证明EFG为直角三角形.因为题设为数量关系，故可考虑通过计算EFG的各边长来解决，记AB、BC、CD、DA、AC、BD的长分别为a、b、c、d、m、n,则EG=n,FG=m.在ACD和BCD中分别求出中线AF和BF的长，再进一步在AFB中求出中线EF的长，比较EF、FG、GE的关系即可解决问题.证法二：遵循化归思想，该问题也可考虑构造平行四边形ENFG（如答图9-2-6(2)）,通过证NG=EF来证明其为矩形.遵循条件集中的原则取各棱中点并顺次连