（全国通用）2019届高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.1 坐标系与参数方程 第2课时 参数方程学案.doc

第2课时参数方程最新考纲考情考向分析1.了解参数方程，了解参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.了解参数的意义，重点考查直线参数方程中参数的几何意义及圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化，往往与极坐标结合考查在高考选做题中以解答题形式考查，难度为中档.1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)抛物线y22px(p0)(t为参数)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过m0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点m0为起点，任一点m(x，y)为终点的有向线段m0m的数量()(3)方程(为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点m在椭圆上，对应参数t，点o为原点，则直线om的斜率为.()题组二教材改编2p25例3曲线(为参数)的对称中心()a在直线y2x上 b在直线y2x上c在直线yx1上 d在直线yx1上答案b解析由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3p37例2在平面直角坐标系xoy中，若直线l：(t为参数)过椭圆c：(为参数)的右顶点，求常数a的值解直线l的普通方程为xya0，椭圆c的普通方程为1，椭圆c的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a3.题组三易错自纠4直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率解将直线l的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线l的斜率为3.5设p(x，y)是曲线c：(为参数，0,2)上任意一点，求的取值范围解由曲线c：(为参数)，得(x2)2y21，表示圆心为(2,0)，半径为1的圆表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设k，则原问题转化为ykx和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离dr，所以1，解得k，所以的取值范围为.6已知曲线c的极坐标方程是2cos ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)求曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)设点p(m,0)，若直线l与曲线c交于a，b两点，且|pa|pb|1，求实数m的值解(1)曲线c的极坐标方程是2cos ，化为22cos ，可得直角坐标方程为x2y22x0.直线l的参数方程是(t为参数)，消去参数t可得xym，即yxm0.(2)把(t为参数)代入方程x2y22x，化为t2(m)tm22m0，由0，解得1m0.实数m1或m1.题型一参数方程与普通方程的互化1(2018开封调研)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以o为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为4cos .(1)求曲线c的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)将曲线c上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线c1，求曲线c1上的点到直线l的距离的最小值解(1)曲线c的直角坐标方程为x2y24x，即(x2)2y24.直线l的普通方程为xy20.(2)将曲线c上的所有点的横坐标缩短为原来的，得(2x2)2y24，即(x1)21，再将所得曲线向左平移1个单位长度，得曲线c1：x21，则曲线c1的参数方程为(为参数)设曲线c1上任一点p(cos ，2sin )，则点p到直线l的距离d，所以点p到直线l的距离的最小值为.2在圆锥曲线论中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点a，b，设p点在同一平面上且满足(0且1)，p点的轨迹是圆”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”已知点m与长度为3的线段oa两端点的距离之比为，建立适当坐标系，求出m点的轨迹方程并化为参数方程解由题意，以oa所在直线为x轴，过o点作oa的垂线为y轴，建立直角坐标系，设m(x，y)，则o(0,0)，a(3,0)因为，即，化简得(x1)2y24，所以点m的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆由圆的参数方程可得思维升华 消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围题型二参数方程的应用典例 (2017全国)在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求c与l的交点坐标；(2)若c上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线c的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而c与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故c上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为 .由题设得，所以a8；当a0，所以方程有两个实数解故曲线c1与曲线c2的交点个数为2.5已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为4sin.(1)求圆c的直角坐标方程；(2)点p(x，y)是直线l与圆面4sin的公共点，求xy的取值范围解(1)因为圆c的极坐标方程为4sin，所以24sin4.又2x2y2，xcos ，ysin ，所以x2y22y2x，所以圆c的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)设zxy，由圆c的直角坐标方程为x2y22x2y0，得(x1)2(y)24，所以圆c的圆心是(1，)，半径是2.将代入到zxy，得zt.又直线l过c(1，)，圆c的半径是2，所以2t2，所以2t2，即xy的取值范围是2,26(2016全国)在直角坐标系xoy中，圆c的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求c的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与c交于a，b两点，|ab|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆c的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(r)设a，b所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入到c的极坐标方程，得212cos 110.于是1212cos ，1211.|ab|12|.由|ab|，得cos2，tan .所以l的斜率为或.7(2018洛阳模拟)在极坐标系中，曲线c的极坐标方程为4sin.现以极点o为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)写出直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程；(2)设直线l和曲线c交于a，b两点，定点p(2，3)，求|pa|pb|的值解(1)因为4sin4sin 4cos ，所以24sin 4cos ，所以x2y24x4y0，即曲线c的直角坐标方程为(x2)2(y2)28；直线l的普通方程为xy230.(2)把直线l的参数方程代入到圆c：x2y24x4y0中，得t2(45)t330，t1,2，则t1t233.点p(2，3)显然在直线l上由直线标准参数方程下t的几何意义知，|pa|pb|t1t2|33，所以|pa|pb|33.8已知曲线c1：(t为参数)，曲线c2：(为参数)(1)化c1，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若c1上的点p对应的参数为t，q为c2上的动点，求pq中点m到直线c3：(t为参数)的距离的最小值解(1)曲线c1：(x4)2(y3)21，曲线c2：1，曲线c1是以(4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线c2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，p(4,4)，q(8cos ，3sin )，故m.曲线c3为直线x2y70，m到c3的距离d|4cos 3sin 13|，从而当cos ，sin 时，d取最小值.9已知曲线c1的参数方程是(为参数)，以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是4cos .(1)求曲线c1与c2的交点的极坐标；(2)a，b两点分别在曲线c1与c2上，当|ab|最大时，求oab的面积(o为坐标原点)解(1)由得两式平方相加，得x2(y2)24，即x2y24y0.由4cos ，得24cos ，即x2y24x.得xy0，代入得交点为(0,0)，(2,2)其极坐标为(0,0)，.(2)如图由平面几何知识可知，a，c1，c2，b依次排列且共线时|ab|最大，此时|ab|24，点o到ab的距离为.oab的面积为s(24)22.10已知曲线c的参数方程是(为参数，a0)