2013年高考数学(理)二轮复习专题二三角函数与平面向量(带解析).doc

三角函数与平面向量主要包括三部分内容三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求，定最值点求”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如a2Rsin A，sin A(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于”和诱导公式可得到sin(AB)sin C，sincos 等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“ab”的必要不充分条件是“存在实数t，使得bta”，因为若a0，b0，虽然有ab，但实数t不存在；(3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用第一节三角函数的图像与性质1巧记六组诱导公式对于“，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限2辨明常用三种函数的易误性质函数ysin xycos xytan x图像单调性在(kZ)上单调递增；在2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在(kZ)上单调递增函数ysin xycos xytan x对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)3识破三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)(A0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0)三角函数的概念、诱导公式及基本关系式高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等例1已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为()A.B.C. D.思路点拨由三角函数定义求出tan 值，再由的范围，即可求得的值解析tan 1，又sin0，cos0，且a1)，则cos的值为()A. BC. D解析：选B由题意可知tan(3)，所以tan ，coscossin .(，0)，sin .三角函数图像变换及函数yAsin(x)的解析式函数yAsin(x)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A、问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力例2(2012陕西高考)函数f(x)Asin1(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值思路点拨(1)利用最值求出A的值再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角的某一个三角函数值，再根据的范围易求得的值解(1)函数f(x)的最大值为3，A13，即A2.函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期T.2.函数f(x)的解析式为y2sin1.(2)f2sin12，sin.0，0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()A. B1C. D2解析：选D将函数f(x)sin x的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)sin (x)sin(x)又因为函数图像过点(，0)，所以sin()sin0，所以k，即2k(kZ)，因为0，所以的最小值为2.5(2012衡水模拟)若函数yAsin(x)(A0，0，|)在一个周期内的图像如图所示，M，N分别是这段图像的最高点与最低点，且0，则A()A. B.C. D.解析：选C由题中图像知，所以T，所以2.则M，N，由0，得A2，所以A，所以A.三角函数的性质三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法例3(2012北京高考)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间思路点拨先化简函数解析式，再求函数的性质解(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的定义域为xR|xk，kZ因为f(x) 2cos x(sin xcos x) sin 2xcos 2x1 sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysin x的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk，xk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为和(kZ)函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题6(2012石家庄模拟)下列函数中，周期为且在上是减函数的是()AysinBycosCysin 2x Dycos 2x解析：选D因为ycos 2x的周期T，而2x0，所以ycos 2x在上为减函数7(2012山东高考)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D1解析：选A当0x9时，sin1，所以函数的最大值为2，最小值为，其和为2.8(2012广州调研)已知函数f(x)sin(xR)，给出下面四个命题：函数f(x)的最小正周期为；函数f(x)是偶函数；函数f(x)的图像关于直线x对称；函数f(x)在区间上是增函数其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选C函数f(x)sincos 2x，则其最小正周期为，故正确；易知函数f(x)是偶函数，正确；由f(x)cos 2x的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x不对称，错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在上是增函数，故正确9设函数f(x)sin xsin，xR.(1)若，求f(x)的最大值及相应的x的集合；(2)若x是f(x)的一个零点，且010，求f(x)的单调递增区间解：(1)f(x)sin xsinsin xcos x，当时，f(x)sincossin，又1sin1，所以f(x)的最大值为，此时，2k，kZ，即x4k，kZ，相应的x的集合为x|x4k，kZ(2)法一：因为f(x)sin，所以，x是f(x)的一个零点fsin0，即k，kZ，整理，得8k2，kZ，又010，所以08k210，k1，而kZ，所以k0，2，f(x)sin，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.法二：x是f(x)的一个零点fsincos0，即tan1.所以k，kZ，整理得8k2，kZ又010，所以08k210，k0，0，|)在一个周期内的图像如图所示(1)求函数的解析式；(2)设0x，且方程f(x)m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和思路点拨利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解解(1)由图像知A2，T，则T，所以2，又图像过点，所以2.即.所以所求的函数的解析式为f(x)2sin.(2)在同一坐标系中画出y2sin和ym(mR)的图像，如图所示，由图可知，当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m的取值范围为2m1或1m2.当2m1时，两根之和为；当1m2时，两根之和为.名师支招本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和高考预测函数f(x)sin xcos x|sin xcos x|对任意的xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x2x1|的最小值为_解析：依题意得，当sin xcos x0，即sin xcos x时，f(x)2sin x；当sin xcos x0，即sin x0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则()A. B.C2 D3解析：选B由于函数f(x)sin x的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知为这个函数的四分之一周期，故，解得.4(2012福州质检)将函数f(x)sin 2x(xR)的图像向右平移个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是()A. B.C. D.解析：选B将函数f(x)sin 2x(xR)的图像向右平移个单位后得到函数g(x)sin 2cos 2x的图像，则函数g(x)的单调递增区间为，kZ，而满足条件的只有B.5(2012山西考前适应性训练)已知函数f(x)sin(x)(05,0)的图像经过点，且f1，则()A. B4C. D.解析：选D依题意得，f(0)sin ，又0，因此.由fsin1得2k，8k，kZ；又05，于是有08k5，k，kZ，因此k1，.6已知函数f(x)sin xcos x设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbac Dbca解析：选B法一：f(x)sin xcos x2sin，因为函数f(x)在0，上单调递增，所以ff，而cf2sin2sinf(0)f，所以cab.法二：f(x)sin xcos x2sin，显然f(x)的最小正周期T2，一个对称轴为x.因为，所以fff，即ca0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么等于_解析：f(x)在上为增函数，且f(x)的最大值是0，0，|，xR)的图像的一部分如右图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值解：(1)由图像知A2，T8，T8，.又图像经过点(1,0)，2sin0.又|，.f(x)2sin.(2)yf(x)f(x2)2sin2sin2sin2cosx，x，x.当x，即x时，yf(x)f(x2)取得最大值；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值为2.第二节三角变换与解三角形1“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan().(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.2“熟记”两个定理(1)正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.三角变换及求值三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题例1(2011广东高考)已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f(0)的值；(2)设，f，f(32)，求sin()的值思路点拨(1)可以直接代入求值(2)首先要化简条件得sin ，cos ，然后用和角公式sin()计算解(1)f(0)2sin21.(2)由f，即2sin ，所以sin .由f(32)，得2sin，即2cos ，所以cos .，cos ，sin .sin()sin cos cos sin .三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换特别是“1”的代换，如1cos2sin2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x2cos2x(sin2xcos2x)cos2x1cos2x；配凑角：()，等(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次(4)化弦(切)法将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)(5)引入辅助角asin bcos sin()，这里辅助角所在的象限由a，b的符号确定，的值由tan 确定1(2012深圳调研)已知直线l：xtan y3tan 0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan()()AB.C. D1解析：选D依题意得，tan 2，3tan 1，即tan ，tan()1.2(2012哈师大附中模拟)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos ()A. B.C.或 D.或解析：选A依题意得sin ，cos()；又，均为锐角，因此0cos()，注意到，所以cos().cos cos()cos()cos sin()sin .3(2012德州模拟)已知函数f(x)2cos2sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若为第二象限角，且f，求的值解：(1)f(x)2cos2sin x1cos xsin x12cos，周期T2，f(x)的值域为1,3(2)f，12cos ，即cos .为第二象限角，sin .正、余弦定理正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合例2(2012新课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为 ，求b，c.思路点拨(1)由题设以及正弦定理得到关于A的三角函数值，进而求得A的值(2)由面积公式以及余弦定理得到b与c的方程组，进而求得b与c的值解(1)由acos Casin Cbc0得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.4(2012天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b5c，C2B，则cos C()A.BC D.解析：选A由C2B得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及8b5c得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2 B1221.5(2012北京高考)在ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_解析：由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.答案：6(2012江西高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.解：(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，从而cos Acos(BC).(2)由于0A，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213.解方程组得或正、余弦定理的实际应用由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题例3某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由思路点拨第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S，利用余弦定理把S表示为关于t的函数，利用二次函数求解S的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v，t的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题解(1)设相遇时小艇航行距离为S海里，则S ，故当t时，Smin10，v30，即小艇以每小时30海里的速度航行，相遇时距离最小(2)若轮船与小艇在B处相遇，由题意可得：(vt)2202(30t)2220(30t)cos(9030)，化简得v29004002675，由于00)，于是有4002600900v20，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以解得：15vACBC，且CD，所以SABDSABC.故选择ABC的形状建造环境标志费用较低因为ADBDAB7，所以ABD是等边三角形，DC60.故SABCACBCsin C10，所以所求的最低造价为5 0001050 00086 600元透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：未能牢记三角公式；不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角典例(2011天津高考)已知函数f(x)tan，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设，若f2cos 2，求的大小思路点拨(1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值解(1)由三角函数的定义得2xk，kZ，即x，kZ.f(x)的定义域为x|x，kZ，f(x)的最小正周期为.(2)由f2cos 2，得tan2cos 2，即2(cos2sin2)，整理得：2(sin cos )(sin cos )，sin cos 0.(sin cos )2.sin 2.由，得2，2，.名师支招利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变高考预测已知向量(cos ，sin )(，0)，向量m(2,1)，n(0，)，且m(n)(1)求向量；(2)若cos()，0，求cos(2)解：(1)(cos ，sin )，n(cos ，sin )，m(n)，m(n)0，即2cos (sin )0，又sin2cos21，由联立方程解得cos ，sin ，.(2)cos()，cos ，又0，sin ，且.又sin 22sin cos 2，cos 22cos2121，cos(2)cos 2cos sin 2sin .配套课时作业1(2012威海模拟)已知，cos ，则tan 2()A.BC2 D2解析：选B因为，cos ，所以sin .所以tan 2.则tan 2.2若，且sin2cos 2，则tan 的值等于() A.B.C. D.解析：选D由二倍角公式可得sin212sin2，sin2，又因为，所以sin .即，所以tan tan.3设sin ，tan()，则tan(2)()A BC. D.解析：选Dsin ，cos ，tan .又tan()，tan ，tan 2，tan(2).4(2012重庆高考)()A BC. D.解析：选C原式.5已知sinsin ，0，则cos等于()A BC. D.解析：选D由sinsin ，BC，3b20acos A，则sin Asin Bsin C为()A432 B567C543 D654解析：选D由题意可得abc，且为连续正整数，设cn，bn1，an2(n1，且nN*)，则由余弦定理可得3(n1)20(n2)，化简得7n213n600，nN*，解得n4，由正弦定理可得sin Asin Bsin Cabc654.7(2012北京高考)在ABC中，若a2，bc7，cos B，则b_.解析：代入余弦定理公式得：b24(7b)222(7b)，解得b4.答案：48(2012烟台模拟)若，且cos2sin，则tan _.解析：因为cos2sin，即cos2cos 2，所以cos22cos21.整理得3cos2，所以cos (因为锐角，所以取正)又，所以，tan 1.答案：19在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a(cos C,2ac)，b(b，cos B)且ab，则B_.解析：由ab，得abbcos C(2ac)cos B0，利用正弦定理，可得sin Bcos C(2sin Asin C)cos Bsin Bcos Ccos Bsin C2sin Acos B0，即sin(BC)sin A2sin Acos B，故cos B，因此B.答案：10(2012安徽名校模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4，1)，n，且mn.(1)求角A的大小；(2)若bc2a2，试判断ABC的形状解：(1)m(4，1)，n，mn4cos2cos 2A4(2cos2A1)2cos2A2cos A3.又mn，2cos2A2cos A3，解得cos A.0A，A.(2)在ABC中，a2b2c22bccos A，且a，()2b2c22bcb2c2bc.又bc2，b2c，代入式整理得c22c30，解得c ，b，于是abc，即ABC为等边三角形11已知复数z1sin 2xi，z2m(mcos 2x)i(，m，xR)，且z1z2.(1)若0且0x，求x的值；(2)设f(x)，已知当x时，试求cos的值解：(1)z1z2，sin 2xcos 2x.若0，则sin 2xcos 2x0，得tan 2x.0x，02x2.2x或2x.x或.(2)f(x)sin 2xcos 2x222sin，又当x时，2sin，sin.cos(4)12sin2(2)12.12.在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解：由题意，得轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟又船始终匀速前进，所以BC4EB.设EBx，则BC4x.由已知，得BAE30，EAC150.在AEC中，由正弦定理，得，所以sin C.在ABC中，由正弦定理，得，AB.在ABE中，由余弦定理，得BE2AB2AE22ABAEcos 302525，故BE.所以船速v(km/h)所以该船的速度为 km/h.第三节平面向量1掌握两个定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底2熟记平面向量的两个充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3活用平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算在近几年高考中时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，考查线性运算的运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点例1(2012海淀模拟)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么()A.B.