《鲁棒控制》-2-数学准备_36701326.pdf

鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 第二章 数学准备第二章 数学准备 2 1 范数范数 设X是复数域C上的线性空间 若在X上定义实值函数 f x XR 满足 1 0 f xx X 正性 2 f axa f xxa XR 齐次性 3 f xyf xfyx y X 三角不等式 则称 f x为x的半范数 若进而满足 4 0f x iff 0 x 则称 f x为x的范数 记为x 而X按此范数i成为线性赋范空间 记为 X i 例 1 在 n E 中 令 2 2 1 n i i xx 欧几里得范数 1 1 n i i xx 1 max i i n xx 则这些函数都是x的范数 有时称之为向量范数 在同一空间上可能定义多种范数 例 2 令 p a bL为区间 a b上 1p 方 勒贝格 可积函数全体所构成的线性 空间 对于 p ga b L 令 1 bp p a f gg tdt 则 f g是 p a bL上的半范数 但当局限 f g于区间 a b上的连续函数全体所构成的线性空间 a bC上 时 它又成为范数 对于 x ta b C 定义 2 2 b a xxt dt 1 b a xx t dt sup a t b xx t 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 用 n a bC表示由元为 a b上的连续函数的n维向量全体所构成的线性空 间 对于 n x ta b C 定义 2 2 2 2 1 n bb i aa i xx tdtxt dt 1 1 n b i a i xx t dt sup max i i a t b xx t 上述范数有时称之为信号范数 同一实值函数在某空间成为范数 而在另一空间上可能不然 2 2 线性算子空间与算子范数线性算子空间与算子范数 设 X Y是数域F上的两个线性空间 D是X的线性子空间 P是D到Y中 的 一 映 射 xD PxY 如 果 对 12 x xD F 有 1212 PxxPxPx 则 称P是 线 性 算 子 称D为P的 定 义 域 PDy yPx xD 为P的值域 取值为实 复数的线性算子称为实 复数线性 泛函 例 1 1 n R中的线性变换A yAx 是一个线性算子 n R n R 2 k次微分算子多项式 d P dt 是 k Ca bC a b 的线性算子 3 Laplace 变换是一线性算子 有界算子 将D中每个有界集映射成一个有界集的算子 线性算子空间 令 L X X是X到X的所有线性算子的集合 如果定义 算子加法 AB xAxBxxA B XL X X 算子数乘 A xAxxA FXL X X 则 L X X为一线性空间 算子乘积 AB xA BxxXA BL X X 算子范数 令X是F上的一线性赋范空间 i为其范数 A是XX 的一线 性算子 定义 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 0 sup x Ax AA x R 若A是有界算子 则称A为线性算子A的 由范数i 导出范数或算子范数 一般也可 ab AXY ii or ab XX ii 1 sup x AAx 设 A B为任意有界线性算子 则 FxX 且 AxAx AA ABAB ABAB 例 2 对于 1 T n n xxx R 考虑范数 1 1 n i i xx 1 1 1 np p i p i xxp max i i xx 设 n n ij Aa R 则A是 nn RR上的一线性映射 1 视A为 11 nn RR ii的算子 1 11 nn ijj ij Axa x 11 nn ijj ij ax 11 nn ijj ji ax 11 max nn ijj j ij ax 1 1 1 0 1 1 supmax n ij i j x i Ax Aa x 列和最大者 设 11 max nn ijik j ii aa 取 0 0 1 T k k xe 则 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 11 1 n kik i AxAea 1 11 0 1 11 sup n k ik x i k AxAe a xe 因此 1 1 max n ij i j i Aa 结论 若 1 nn i ARR ii 则 1 1 1 0 1 1 supmax n ij i j x i Ax Aa x 2 视A为 nn RR ii的算子 1 max n ijj i j Axa x 1 max n ijj i j ax 1 maxmax n jij ji j xa 1 max n ij i j ax 1 0 1 supmax n ij i x j Ax Aa x 行和最大者 设 11 max nn ijkj i ji aa 取 12 T n zz zz 其中 0 10 kjkj i kj sign aifa z ifa 则 0 sup x AxAz xz 1 max n ijj i j a z 1 n kjj j a z 1 n kj i a 1 max n ij i j a 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 1 0 1 supmax n ij i x j Ax Aa x 结论 若 nn ARR ii 则 1 0 1 supmax n ij i x j Ax Aa x 3 视A为 22 nn RRii的算子 12 2 TT Axx A Ax 11 22 TT A Ax x 2 Ax 其中 T A A 为 T A A的最大特征值 1 2 T AA A 称为A的最大奇异值 2 2 0 2 sup x Ax AA x 设z的对应于特征值 的 T A A的特征向量 即 T A Azz 则 11 22 22 TTT Azz A AzA Az 1 2 T AAA A 因此 2 1 2 2 0 2 sup T x Ax AAA A x 4 视A为 22 nn CC ii的算子 2 2 max 0 2 sup x Ax AAA A x 例 3 SISO 系统 假设 0 x tt 是连续函数 对于 1 0 x tL 1 0 xx t dt 2 0 x tL 12 2 2 0 xx tdt 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 0 x tL 0 sup t xx t 考虑卷积算子 H uHuh uH sU sH su t 即 0 0 t Huth tudt 假设 1 1 0 hh t dtie hL 0 sup t hh tie hL 1 视H为 0 0 LL ii的算子 Huh u 0 0 sup t t h tud 0 0 sup t t h tud 0 00 supsup t tt h tdu t 0 h t dtu 11 0 0 sup u Hu Hh t dth u 取 sign 0 uh tt 则 0 0 sup t t Huh tud 0 0 sup t t h t dt 1 h 因此 11 0 0 sup u Hu Hh t dth u 2 视H为 22 22 0 0 LL ii的算子 令 yHuh u YL yH sU s 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 由Parseval定理 有 2 2 2 0 t yy tdt 1 2 YjYjd 1 2 UjHjHjUjd 21 sup 2 HjUjUjd 2 2 2 sup Hju 2 2 0 2 supsup u Hu HHj u 假设 1 sup o HjHj o 2 H s为实有理函数 令 2 0 o if u j else 则 2 2 2 1 2 uu jd 1 1 222 oo oo dd 2 2 1 22 1 22 o o o o yHjHjd H jH jd 22 0 2 2 2 1 22 1 22 sup sup o o o o oo oo HjHjd HjHjd HjHj Hju i 若令0 则有 2 2 0 2 supsup u Hu HHj u 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 物理意义 能量增益 幅频特性的最大值 例 4 考虑多输入多输出系统 1 2 2 2 2 0 1 0 n n i i x tLxx tdt 0 0 maxsup n i i t x tLxx t 考虑卷积算子 1 0 1 n t ijj i j n Hu HuHuthtud Hu 1 视H为 0 0 nn LL 的算子 0 0 1 maxsup n t ijj i t j Huhtud 0 0 1 maxsup n t ijj i t j htud 0 00 1 maxsup sup n t jij i tt j uhtd 0 00 1 maxsupsup n t jij i tt j uthtd 0 0 1 maxmaxsup n ijj ij t j ht dtut 0 1 max n ij i j ht dtu 因此 1 0 sup u Hu H u 0 1 max n ij i j ht dt 设 00 11 max nn ijkj i jj ht dtht d 令 sign 0 1 2 jkj uhtt jn 则 0 0 1 maxsup n t ijj i t j Huhtud 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 0 0 1 sup n t kjj t j htud 0 0 1 sup n t kj t j htd 0 1 n t kj j ht dt 0 1 max n ij i j ht dtu 得 1 0 sup u Hu H u 0 1 max n ij i j ht dt 2 视H为 22 22 0 0 nn LL 的算子 令 yHu 则 22 22 Huy 1 2 YjYjd 1 2 UjHjHjUjd 1 2 HjHjUjUjd 1 sup 2 HjHjUjUjd 2 2 2 supHju 可得 2 2 0 2 supsup u Hu HHj u 1 2 supHjHj 上述导出范数有时也称之为系统范数 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 2 3 几种函数空间几种函数空间 2 3 1 时域函数空间时域函数空间 1 2 L 2 n x tx txt x t dt LRC 范数 12 2 xxt x t dt 2 0 LRCnx t 2 0 LRCnx t 222 00 LLL 2 2 LR Cm n 2 trace m nm n X tX tXt X tdt 上解析 3 2 0 1 sup 2 xjd 定理 设 2 Hx 则对几乎 极限 0 limx jxj 存在 且 2 Lx 而且映射 xx 是 22 HL 的线性单射的保范映射 单射 1212 xxf xf x 保范 22 xx 故可将 n x与 x 等同起来 视 2 H 为 2 L 的一个闭子空间 2 H 在 2 H的定义中 将 0 改为 0 222 LHH 2 RH 22 RHH x xx为实有理函数向量 Re0 s无极点 严格真的实有理函数向量 2 RH 22 RHH x xx为实有理函数向量 Re0 s无极点 严格真的实有理函数向量 222 RLRHRH 例 1 2 2 11 RLf s ss 11 11ss 12 fsfs 12 1 1 RHfs s 22 1 1 RHfs s 3 LFj1 RCm nj 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 2 supFj 类似的 将 H中的元的定义延拓到虚轴上 视 H为 L的一个闭子空间 H H在 L中的补空间 Re0Re0 ss LHH 无正交的概念 Re0 RHs在内无极点的真的实有理函数矩阵 Re0 为实数 定 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 义 2 T TT Ar BB H C CA 则 Fr iff H在虚轴上无特征值 证明 设1r 否则讨论 1 r F s 和 1 0A r B C 即可 1F iff 令 0 rr 2 计算 2T TT Ar BB H C CA 3 H在虚轴上有特征值 r r 无 减 o o 有 增大大2 增量差 小小4 4 Fr F s为非严格真的情形 设 A B C D为 F s的一最小实现 rD 令 2 T Rr ID D 定义 11 11 TT T TTT ABR D CBR B H CIDR DCABR D C 算法与前述相同 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 2 4 内部稳定和小增益定理内部稳定和小增益定理 yHuh u 外部稳定性 当系统为零初始状态时 若 0 0 LLuy 则称该系统为外部稳定 BIBO 稳定 H为 BIBO 稳定 iff 1 1 or0 LHh t 1 0 L ij ht 对于线性定常系统 HH s为 BIBO 稳定 iff ij hs 的所有极点均有负 实部 内部稳定性 当系统输入为零时 若对任意的初始状态 系统状态均趋于零 则称该系统为内部稳定性 对于线性定常系统 内部稳定 外部稳定 反之 一般不然 因为 外部稳定 能控能观模态稳定 内部稳定 所有模态均稳定 当线性定常系统 x tAx tBu t y tCx t 为状态完全能控 完全能观时 内部稳定 外部稳定 注 对于非定常系统 内部稳定不能保证外部稳定 例 u H y 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 1 2 x tx tf t t 当 0 f t时 0 2 0 2 x txt t 当 1 f t时 0 21 12 22 x txtt t 可镇定性和可检测性 线性定常系统 x tAx tBu t y tCx t 为可镇定的 如果其无不可控不稳定模态 为可检测的 如果其无不可观不稳定模态 可镇定性和可检测性 线性定常系统 x tAx tBu t y tCx t A B为可镇定 iff K st ABK为稳定阵 C A为可检测 iff H st A