椭圆专题练习.doc

1.设椭圆有一个内接,射线OP与轴正向成角,直线AP,BP的斜率适合条件.(1),求证:过A,B的直线的斜率是定值;(2),求面积的最大值.1.(1)证明:易知直线OP的方程为,将此方程代入,可求得交点P(1, .由题意可设直线PA,PB的方程分别为和,分别与椭圆方程联立,可求得A,B的横坐标分别为,.从而,所以(定值).(2)不妨设直线AB的方程为,与椭圆方程联立,并消去得+,有 =点P到战线AB的距离,所以=,当且仅当,即时,.2.已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点（1）设动点，满足，求点的轨迹方程（2）当，时，求点的坐标（3）设，求证：直线过轴上的定点【解】（1）由题意知:，设，则 ， 化简整理得: （2）把代人椭圆方程,分别求出: ， 直线 ; 直线 、联立,得： （3）由已知: ，直线与椭圆联立，得：直线与椭圆联立，得：直线的方程为：化简得令，解得，即直线MN过X轴上定点。3.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足2，求点M的轨迹方程【解答】 (1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c.整理得2210.得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc.可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c，得方程组的解不妨设A，B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，则，.由y(xc)，得cxy.于是，(x，x)由2，即xx2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)4.已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。 （）求椭圆的方程 （）设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（-a,0）（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0,yo）在线段AB的垂直平分线上，且，求yo的值。4.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分. （）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为. （）（i）解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或. （ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。 （2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得.由，整理得。故,所以.综上，或.5在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积 又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积 当时，得又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ，解得 因为，所以 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.6. 已知O为坐标原点，F为椭圆C：x21在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足0.(1)证明：点P在C上；(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上【解答】 (1)证明：F(0,1)，l的方程为yx1，代入x21并化简得4x22x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则x1，x2，x1x2，y1y2(x1x2)21，由题意得x3(x1x2)，y3(y1y2)1.所以点P的坐标为.经验证，点P的坐标满足方程x21，故点P在椭圆C上(2)证明：由P和题设知Q，PQ的垂直平分线l1的方程为yx.设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为yx.由、得l1、l2