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高中数学最牛的战神古典概率与几何概率，向量中的三角形四“心”探究巧解（概率，数列，不等式，三角函数，导数，立体几何，解析几何，函数，排列组合）【知识网络】1理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。2了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。【典型例题】 例1（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）A BCD（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）ABCD（3）在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）ABCD（4）向面积为S的ABC内任投一点P，则随机事件“PBC的面积小于”的概率为 （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 例2考虑一元二次方程x2+mx+n=0，其中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。例3甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率例4抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”方案1：总点数是几就送礼券几十元总点数23456789101112礼券额2030405060708090100110120方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元总点数23456789101112礼券额2040608010012010080604020方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元总点数23456789101112礼券额12010080604020406080100120如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决【课内练习】1某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是（）ABC D2盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P1，第8个人摸出红球的概率是P8，则（）AP8=P1BP8=P1CP8=P1DP8=0第3题图FEDCBAO3如图，A、B、C、D、E、F是圆O的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（）ABCD4两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m的概率为（）ABCD5一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个则任摸一张奖卷中奖的概率为 6某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 7在圆心角为150的扇形AOB中，过圆心O作射线交于P，则同时满足：AOP45且BOP75的概率为 8某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆 （1）共有多少个基本事件？ （2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦长超过半径的倍的概率10正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点设“VP-ABC”的事件为X，求概率P(X)；设“VP-ABC且VP-BCD”的事件为Y，求概率P(Y)17、概率172 古典概型与几何概型A组1取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为（）ABCD2甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）ABCD3已知椭圆(ab0)及内部面积为S=ab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，点P是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是（）PA1A2为钝角三角形的概率为1；PB1B2为直角三角形的概率为0；PB1B2为钝角三角形的概率为；PA1A2为钝角三角形的概率为；PB1B2为锐角三角形的概率为。A1B。2C。3D。44古典概型与几何概型的相同点是 ，不同点是基本事件的 5连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面其中“恰有两枚正面向上”的事件包含 个等可能基本事件6任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率A第7题OEDCB7如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和 BOC都不小于30的概率ACPB第8题8如图，在等腰三角形ABC中，B=C=30，求下列事件的概率：问题1 在底边BC上任取一点P，使BPAB；问题2 在BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BPAB17、概率172 古典概型与几何概型B组1在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为（）AB。C。D。2一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出红球的概率为（）AB。C。D。3已知O（0，0），A（30，0），B（30，30），C（0，30），E（12，0），F（30，18），P （18，30），Q（0，12），在正方形OABC内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ内的概率为（）AB。C。D。4若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的概率是_5在所有的两位数（1099）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是 6在AOB中，AOB=60，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C。试分别求下列事件的概率：AOC为钝角三角形；AOC为锐角三角形；AOC为锐角三角形。7在区间-1，1上任取两实数a、b，求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率8一海豚在水池中自由游弋水池为长30m，宽20m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2m”（1）试设计一个算法（用伪代码表示），使得计算机能模拟这个试验，并估算出事件A发生的概率；（2）求P（A）的准确值参考答案172 古典概型与几何概型【典型例题】例1（1）A。（2）C提示：总事件数为36种。而满足条件的(x，y)为（1，2），（2，4），（3，6），共3种情形。（3）D提示：M只能在中间6cm9cm之间选取，而这是一个几何概型。（4）作ABC的边BC上的高AD，取EAD且ED=，过E作直线MNBC分别交AB于M，AC于N，则当P落在梯形BCNM内时，PBC的面积小于ABC的面积的，故P=（5）。提示：总事件数为66=36种，相同点数的有6种情形。例2由方程有实根知：m24n由于nN*，故2m6骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有66=36种情形其中满足条件的有：m=2，n只能取1，计1种情形；m=3，n可取1或2，计2种情形；m=4，n可取1或2、3、4，计4种情形；m=5或6，n均可取1至6的值，共计26=12种情形故满足条件的情形共有1+2+4+12=19（种），答案为xO15156060例3答图y例3以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是在平面上建立直角坐标系如图7，则(x，y)的所有基本事件可以看作是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示故 P(两人能会面) 答 两人能会面的概率为例4由图可知，等可能基本事件总数为36种其中点数和为2的基本事件数为1个，点数和为3的基本事件数为2个，点数和为4的基本事件数为3个，点数和为5的基本事件数为4个，点数和为6的基本事件数为5个，点数和为7的基本事件数的和为6个，点数和为8的基本事件数为5个，点数和为9的基本事件数为4个，点数和为10的基本事件数为3个，点数和为11的基本事件数为2个，点数和为12的基本事件数为1个根据古典概型的概率计算公式易得下表：点数和23456789101112概率1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 例4答图第一次抛掷后向上的点数 第二次抛掷后向上的点2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 6 7 8 9 10 7 8 9 10 11111210 9 由概率可知，当点数和位于中间（指在7的附近）时，概率最大，作为追求最大效益与利润的老总，当然不能选择方案2，也不宜选择方案1，最好选择方案3另外，选择方案3，还有最大的一个优点那就是，它可造成视觉上与心理上的满足，顾客会认为最高奖（120元）可有两次机会，即点数和为2与12，中次最高奖（100元）也有两次机会，所以该方案是最可行的，事实上也一定是最促销的方案我们还可以从计算加以说明三个方案中，均以抛掷36次为例加以计算（这是理论平均值）：点数和23456789101112合计所需礼券额点数和出现的次数12345654321方案1礼券额20304050607080901001101202520方案1各点数和所需礼券额2060120200300420400360300220120方案2礼券额20406080100120100806040202920方案2各点数和所需礼券额20801803205007205003201808020方案3礼券额120100806040204060801001202120方案3各点数和所需礼券额120200240240200120200240240200120从表清楚地看出，方案3所需的礼券额最少，对老总来说是应优先考虑的决策【课内练习】1D。3个人加入6个小组中有36种方法。3人中恰有2人在同一小组的，于是只须加入两个小组，共有=15种选择，而3人的分组又有6种情形，故答案为。2C。提示:虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果，那么各个摸球者摸到红球的概率都是相等的，并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性P8=P1。3B。4B。提示：记“彩珠与两端都大于1m”为事件A，则P(A)=。567。提示：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为150-45-75，即就是30，。8（1）三类客车分别记为上、中、下则有如下的基本事件：上-中-下；上-下-中；中-上-下；中-下-上；下-上-中；下-中-上因此，基本事件总数为6个（2）小曹能乘上上等车的事件记为A，则A中包含上述事件中的：中-上-下；中-下-上；下-上-中，故IA第8题答P(A)=答 共有6个基本事件，能乘上上等车的概率为9连结圆心O与A点，作弦AB使AOB=120，这样的点B有两点，分别记为B1与B2，仅当P在劣弧上取点时，APOA，此时B1OB2=120，故所求的概率为10分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，并连结EF、FG、GE，则平面EFG平面ABCAMDCBJIHGFEN当P在正四面体DEFG内部运动时，满足VP-ABC，故P(X)=在AB上取点H，使AH=3HB，在AC上取点I，使AI=3IC，在AD上取点J，使AJ=3JD，则P在正四面体AHIJ内部运动时，满足VP-BCD结合，当P在正四面体DEFG的内部及正四面体AHIJ的内部运动时，亦即P在正四面体EMNJ内部运动时，同时满足VP-ABC且VP-BCD，于是P(Y)= 17、概率172 古典概型与几何概型A组1B。提示：所求概率为圆面积与正方形面积的差值除以圆面积。2B。提示：乙可选3个位置中的一个坐下。3D。提示：是正确的。4基本事件的等可能性；有限性与无限性的区别53。提示：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）。6一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0，1，2，9中的任意一个，因而基本事件为 =1，2，3，9，共10个正整数的平方的末位数是1的事件A=1，9，共2个因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得7记A=作射线OC，使AOC和BOC都不小于30，作射线OD、OE使AOD=30，AOE=60当OC在DOE内时，使AOC和BOC都不小于30，则P(A)=8问题1，因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为区域D以B为圆心、BA为半径画弧交BC于M，则P必须落在线段BM内才有BPBM=BA，于是问题2，作射线AP在BAC内是等可能分布的，在BC上取点M，使AMB=75，则BM=BA，当P落在BM内时，BPAB于是所求的概率为B组1B。2C。3D。提示：。4。提示：基本事件的总数为66=36个，记事件A=点P(m，n)落在圆x2+y2=16内，则A所包含的基本事件为(1，1)，(2，2)，(1，3)，(1，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(2，1)，共8个5。提示：被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的有15O第7题答图ba60.4；0.6；0。7方程有实根的条件为=(2a)2-4b20，故|a|b|点(a，b)的取值围成如图所示的单位正方形的区域D，随机事件A“方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分易求得8（1）建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x和y组成的有序数组(x，y)来表示海豚嘴尖的坐标O1015-15yx-10第8题答图 这里几何区域D所表示的范围为长方形：x（-15，15），y（-10，10），事件A所表示的区域为图中的阴影部分d：13|x|15，8|y|10算法的伪代码表示如下：s0Read nFor I from 1 to n x30Rnd-15y20Rnd-10If 13int(x)15 and 8int(y)10 then ss+1End forPrint “海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为”& End说明 1实验次数n由实验者任意输入20Rnd1，x=30Rnd-15（-15，15），y=20Rnd-10（-10，10）（2）如图7-3-11，所求概率为一、选择题1(2010瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A、B、C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A、C通过的概率为()A. B. C. D.答案B解析用(A，B，C)表示A第一，B第二，C第三的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种，其中B先于A、C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)两种，故所求概率为P.2(文)(2010陕西宝鸡)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为()A. B. C. D答案C解析由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|1的概率为，故选C.(理)(2010广州市模拟、江南十校联考)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1答案B解析到点O的距离小于等于1的点，组成一个以O为球心，1为半径的半球，V正方体238，V半球13.故所求概率为P1.3(文)(2010浙江金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是()A. B. C. D.答案C解析取两个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十种，其中标注的数字绝对值之差为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共四种，故所求的概率为.(理)(2010济南市模拟)已知a、b、c为集合A1,2,3,4,5,6中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a5的概率是()A. B. C. D.答案C解析由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为5的概率，P.4(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是()A. B. C. D.答案B解析构不成三角形的为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能构成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，所求概率为.(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是()A. B. C. D.答案C解析从10个点中任取三个有C种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，能构成直角三角形5840个，概率P.5m2，1,0,1,2,3，n3，2，1,0,1,2，且方程1有意义，则方程1可表示不同的双曲线的概率为()A. B1 C. D.答案D解析由题设知或，1时有不同取法339种2时有不同取法224种，所求概率P.6已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCn的概率与mn的概率为，满足mn的概率为P.8(2010广东广州六中)在区间，上随机取一个数x，则使cosx的值介于0到之间的概率为()A. B. C. D.答案A解析x，要使0cosx，应有x或x，由几何概型知，所求概率P.9(2010山东肥城联考)若a是从区间0,3内任取的一个数，b是从区间0,2内任取的一个数，则关于x的一元二次方程x22axb20有实根的概率是()A. B. C. D.答案B解析试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a30,0b2，由4a24b20及a0，b0知，构成事件“关于x的一元二次方程x22axb20有实根”的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab所以所求的概率为P.10(文)(2010广东罗湖区调研)已知(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向区域内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为()A. B. C. D.答案D解析由得D(4,2)，区域为OAB，区域A为OCD，所求概率P.(理)(2010胶州三中)已知函数f(x)x2bxc，其中0b4,0c4，记函数f(x)满足条件的事件为A，则事件A发生的概率为()A. B. C. D.答案C解析由得，画出0b4,0c4表示的平面区域和事件A所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P.二、填空题11(文)(2010江苏)盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_答案解析设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.(理)(2010江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是_答案分析本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等解析基本事件的总数为6636.三角形的一边长为5，当a1时，b5符合题意，有1种情况；当a2时，b5符合题意，有1种情况；当a3时，b3或5符合题意，即有2种情况；当a4时，b4或5符合题意，有2种情况；当a5时，b1,2,3,4,5,6符合题意，即有6种情况；当a6时，b5或6符合题意，即有2种情况故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为P.12(文)(2010苏北四市模考)已知函数f(x)ax2bx1，其中a(0,2，b(0,2，则此函数在区间1，)上为增函数的概率为_答案解析函数f(x)ax2bx1在，)上为增函数，据已知条件可知，1，b2a，如图可知，所求概率P.(理)(2010陕西理)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为_答案解析长方形的面积为S13，S阴3x2dxx31，则P.13(2010广东茂名质检)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为_答案解析由几何概型知粒子落在ABD与CBD中的概率之比等于ABD与CBD的面积之比，而ABD与CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为，故填.14在区间1,5和2,4分别各取一个数，记为m和n，则方程1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是_答案解析方程1表示焦点在x轴上的椭圆，mn.由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，p.三、解答题15(文)(2010山东文)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解析(1)从袋中取球编号之和不大于4的基本事件有1和2,1和3两个，而随机取两球其一切可能的基本事件有6个所求概率为P.(2)由题意其一切结果设为(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，P1.故满足条件n(ab)2恒成立”的概率解析(1)由题意可知：，解得n2.(2)将标号为2的小球记作a1，a2两次不放回抽取小球的所有基本事件为：(0,1)，(0，a1)，(0，a2)，(1,0)，(1，a1)，(1，a2)，(a1,0)，(a1,1)，(a1，a2)，(a2,0)，(a2,1)，(a2，a1)，共12个，事件A包含的基本事件为：(0，a1)，(0，a2)，(a1,0)，(a2,0)，共4个P(A).记“x2y2(ab)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2y24”，(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域(x，y)|0x2,0y2，x，yR，而事件B所构成的区域B(x，y)|x2y24，x，y，P(B)1.(理)(2010福建龙岩市质检)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，游戏规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线xy7上的概率；(2)规定：若xy10则小王赢，若xy4则小李赢，其他情况不分输赢试问这个游戏规则公平吗？请说明理由解析(1)因为x、y可取1、2、3、4、5、6，故以(x，y)为坐标的点共有36个记“点(x，y)落在直线xy7上”为事件A，则事件A包含的点有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6个，所以事件A的概率P(A).(2)记“xy10”为事件A1，“xy4”为事件A2.用数对(a，b)表示x、y的取值，则事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)共6个数对；事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6个数对由(1)知基本事件总数为36，所以事件A1的概率P(A1)，事件A2的概率P(A2).即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的所以这个游戏规则是公平的 三角形的四“心”与平面向量有着千丝万缕的关系，对这两者进行一定的探究，有助于我们更准确把握向量的本质在10年全国卷里有这样一道高考题：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的（ ）图1.AMOYCPQNBA外心 B内心 C重心 D垂心简析：本题通过考察平面向量中的单位向量与相关运算相关知识，来探究三角形中的四“心”问题 取 ， ，则、是单位向量，如图1，四边形AMQN是菱形，且AQ是的角平分线 ， 即，点的轨迹就是射线，点的轨迹一定通过的内心，故选B.这里我们很自然地会联想：满足条件的点P的轨迹通过的内心，那么能不能构造一个类似的向量式子，使点P的轨迹通过的外心，重心或垂心？变题1：O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心简析：如图2，取BC边上的中点D，连接AD.BX.ACDOY.P图2P，图2点的轨迹就是射线.点的轨迹一定通过的重心，故选C.其实众所周知，在平面向量中，三角形的重心还有一个非常重要的结论：点G为的重心的充要条件是：证明：若点G是的重心，O是任意一点，易得，当O与G重合时得；另一方面，以GC、GB为边作平行四边形GBEC，则，A、G、E三点共线，可知G必为的重心应用1：（2010年全国联赛）的三边长，G为的重心，若满足，则的形状是 （ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D钝角三角形简析：G为重心，则有代入，得，故，所以应选C应用2：（2010年全国联赛） 设O点在内部，且有，则 的面积与的面积比为（ ）A2 B C3 DBOCFE图3简析：如图3，延长至，使；延长至，使， 由题意知，可知O是的重心有，而同理得，所以，故有，所以选C.变题2：O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心Y图4B.ACXOP.简析：在式子的两边点乘，=0， （如图4） 点的轨迹过点A且垂直于边BC，点的轨迹一定通过的垂心，故选D.变题3：O是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点P满足 ，则P点的轨迹一定通过的 （ ）A外心 B内心 C重心 D垂心图5P.BACDXOY.简析：如图5，取BC边上的中点D，如图4所以式子可化简成在式子的两边点乘， = 0 ， 点的轨迹过边BC的中点D且垂直于边BC点的轨迹一定通过的外心，故选A.通过前面几个变题的探究，我们看到了平面向量与三角形四“心”的内在联系，当然三角形四“心”在向量中的表现形式不是唯一的，我们再来欣赏其它的向量等式：1已知O是所在平面上的一点，若有，则O是 的内心简证：，所以题中可变为：，可知，与共线，即：是的角平分线，同理可得：分别为的角平分线，所以O是的内心2已知O是所在平面上的一点，若有，则O是的内心简证：由题知，所以点O是的三条角平分线的交点，即O是的内心3设O为所在平面上的一点，若 ，则点O为的垂心 简证：由题得，即，同理可证、，所以O为的垂心4设外心为O，若点M满足，则点M为垂心简证：， 而，故，所以有，同理，所以点M为垂心.5设O为所在平面上的一点，若，点O为的外心 简证：由题可得所以：，故，可得点O为的外心向量的内涵是十分丰富的，本文从向量这个角度对三角形的四“心”进行一定的总结归纳，使我们对三角形的四“心”在向量中的表现形式有了进一步的认识，看到了它们的内在统一平时教学中有意识地对学科中的相关知识点进行较为系统地整理和提炼，无论在提高学生的解题能力方面还是在开拓学生视野方面都大有裨益高考数学考生为什么连最简单的三角函数概率统计，导数都做错，不是缺乏细心而是缺乏一种技巧，为什么连压轴题最后第一问，解析几何轨迹方程，数列通项公式根本不会做主要的是缺乏基础技巧和一定的训练量，为什么连三角函数的诱导公式，求导公式和数列公式等有关的公式都记错。还有直线和双曲线相交时那直线是相交与双曲线的左右二支还是交与同一支，各自满足的条件都要记忆，（当 k为直线L的斜率,双曲线，-a/bka/b时，该直线L相交于此双曲线的左右两支（异支）。还有当直线L的斜率k，截距m,它们满足什么条件时，该直线L相交于双曲线的同一支（左支或右支）。还有当抛物线上有两个点A, B 。O是原点若 OA 丄OB ，则求OAB 的重心的轨迹方程？直接做很难，若发现当OA 丄OB时，直线AB 过定点（2p,0 ），可以设AB 方程为 my=xb ，此时直线AB 只剩下一个参数m求 OAB重心的轨迹方程时，只要根据根与系数消去m就可以成功求出OAB重心的轨迹方程。上面直线AB 过定点（2p,0）这个结论很容易证明，解：设A（x1，y1），B（x2，y2），OA=(x1 , y1),OB=(x2，y2 )，A（x1，y1），B（x2，y2）（y2是y的平方的意思）设AB：my=xb (b显然为正数)，抛物线联立方程组消去x得:y22py2pb=0由根与系数得y1y2=2pb，y1平方。y2平方=4pb. y1平方。y2平方=2px1 .2px2=4px1x2=4pb，所以x1x2= b，又因为OA 丄OB有x1x2 +y1y2=0，所以b2pb=0，所以b=2p, 所以AB 方程my=x2p，所以AB过定点(2p,0), 然后只要根据根与系数消去m就可以成功求出OAB关键是方法要对路，运算会很简单，否则运算很复杂。此题还可以举一反三或由于对称性，得出结论解析几何是考生非常头痛和害怕的，原因之一是它的计算量非常大。考生害怕它主要的是缺乏基础技巧，一定的训练量和见识面，好多考生连直线与圆锥曲线相切的题目都没有见过，考生碰到它怎么会做？最近几年好多省份高考题都考过。还有连当直线y=kx+b,与圆锥曲线C相交A(x1,y1),B(x2,y