曹广福版实变函数与泛函分析第四章答案.doc

第四章习题参考解答第四章习题参考解答1设是上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有，试证：， 证明：因为，而，.由已知， .又因为，所以，.故,从而.即，.2.设，都是上的非负可测函数，并且对任意常数，都有，试证：，从而，.证明：我们证，是同一个简单函数序列的极限函数.及，令，并且.则是互不相交的可测集，并且，定义简单函数.下面证明：，.,若，则，所以，即；若，则可取正整数，时,.故，存在，.即，.所以，从而，.同理，定义简单函数列，其中：，.同上一样可证明：，.因为，有.故，.从而，有.即，.因此.3.若，计算.解：设为有理数，则.4.设是中个可测集，若内每一点至少属于个集中的个集，证明：中至少有一个测度不小于.证：令，其中为上的特征函数，有，所以.如果每个，则.这与矛盾.从而，使得.5.设，都是上的可积函数，试证明：也是上可积函数.证明：（1）先证：设与都是上的可测函数且 ，若在可积，则在可积.事实上，因为 ，故，即，其中：，.从而是单调递增有上界的数列，故：.又因为单调递增有上界，所以存在，并且，即.所以在可积.（2）再证：在上可积.事实上，因为，在上可积，所以与在上可积，从而+在上可积.又因为，由（1）。在上可积.6.设，是上的非负可测函数，试证明：.证明：，因为，所以，故.又因为，由积分的绝对连续性（即，P103，定理4）.,使得对于任何可测集，恒有.对于，由，得，存在，时，有，从而.7.设为可测集，且，为上的非负可测函数，试证: 在上可积当且仅当级数收敛.证：设，因为在可积，故.即，级数收敛.,因为，又又.因为，所以.从而，在上可积.8.设是上的可积函数，证明：.证明：（1）先证：，存在时直线上的连续函数，使得.对于，记： . 则：. 则 + =.因为在是可积的，故，使，时，恒有，又因为是单调的集列，并且.从而，.所以，对于，使得.对于，取，由连续扩张定理（第10页，定理3），存在闭集及上的连续函数，使得（i）（ii） (iii) 则 ，从而.(2)再证：，由（1）知，存在上的连续函数使得，因为在上一致连续，所以使得，时，恒有，+.因为时，有，故.所以.故.9.设是上的非负可积函数，是任意常数，满足，试证：存在，使得.证明：设常数，合于，当时，存在，使得，不妨设.先证：在上连续，因为，由积分的绝对连续性（P85，定理4），有.故，因，故.所以，.同理，对于，用上述完全类似方法可得.故，在上连续.又因为（根据P89的定义4）.所以，使得.故，由在闭区间上的介值定理（连续函数的介值定理），使得，有.10.设是上的可测函数，是大于1的数，2是的共轭输，即.如果对任意，都有，试证.11，试证：（i）.(ii) .证明：（i）时，（寻找控制函数）当时：；当时：.令，从而，且在是可积的，故在是可积的.又因为.由控制收敛定理，.(ii),定义，并且，.,有.下面证明：，.事实上，令，取，则.又记，又因.所以，关于单调递减，且.故，有，即.故在单调增加，从而， .所以.因此，.因为在上可积，由控制收敛定理，.12.设，试证明：在上当且仅当.证明：，因为.因为（在上），所以， .故在上，.又因为，且，由有界收敛定理，有.对于，因.故，.从而.即.4.2 积分极限定理一定理（非负可测函数序列的积分与极限可交换性）二控制收敛定理.定理4（定理的绝对连续性定理）若在上可积，则，：，有.证明：因为可积，所以可积（只需证：，），.,.又因为.所以，使.要找，使，有.定理5（控制收敛定理）设（i），是上可测函数序列. (ii) 存在非负可积函数使得， . (iii) ,.则在上可积，并且.基础知识复习Th（P60，定理4） Th（P61，定理5） 存在子列 控制收敛定理的证明：因为，由 Th，存在子列 .因此，在上可测.又因为，.，所以 ，故在上可积，从而，故在上可积，下证：.（1）先证：时，有.,记.则.因为在上可积，由积分的绝对连续性，使，有.又因为，所以，时，有.故.从而.即，.（2）再证：时，也有.,因为，所以，有.则.因为（由1的证明），所以，有.即，.从而，推论（有界收敛定理）.设（i）（ii），（常数）且在上可测（iii）则在上可积，且.定理6. 在上可积在上的间断点集是一个零测集.三定理.定义1.设是可测集，是上的一簇可积函数，称是上的积分等度绝对连续函数簇，如果，恒有.基本性质：设是可测集，是上的一簇可积函数，则在上是积分等度绝对连续的，恒有.证明：，因为在上是积分等度绝对连续，所以，有.记，则且.所以，.直接的.定理7.(定理).设（i）.（ii）是上积分等度绝对连续函数簇.（iii）.则在上可积，且.证明：先证：在上可积.(找一个可积函数，使得 （1）先证：，使得，恒有.事实上，取，由在上积分等度绝对连续性，使得，时， ，.记，则.因为，所以.所以对于， ，恒有，则时，.所以.即（1）为真.又因为，由定理，有子列使， .不失一般性，设，于是， .令.(2)再证： 且.事实上， 由基本定理（第82页，定理2），有.