专题10：选修系列10.doc

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题10：选修系列一、选择填空题二、解答题1.（江苏2008年附加10分）选修41几何证明选讲如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点DBCEDA求证：【答案】证明：如图，AE是圆的切线，。 又AD是BAC的平分线，。 。 ， ， 。EA=ED。 EA是圆的切线，由切割线定理知,。而EA=ED，。【考点】与圆有关的比例线段。【分析】根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得。2.（江苏2008年附加10分）选修42矩阵与变换在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程【答案】解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 则有 ，即，所以 又因为点在椭圆上，故，从而 所以，曲线的方程是 。【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。【分析】由题意先设椭圆上任意一点，根据矩阵与变换的公式求出对应的点，得到两点的关系式，再由点在椭圆上代入化简。3.（江苏2008年附加10分）选修44参数方程与极坐标在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值【答案】解：椭圆的参数方程为 可设动点的坐标为，其中. 当时，取最大值2。【考点】椭圆的参数方程【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求。4.（江苏2008年附加10分）选修45不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：【答案】证明：为正实数，由平均不等式可得，即。又， 。【考点】平均值不等式，不等式的证明。【分析】先根据平均值不等式证明，再证。5.（江苏2009年附加10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.【答案】证明：ABCBAD，ACB=BDA。 A、B、C、D四点共圆，CBA=CDB。 又ABCBAD，CAB=DBA。 DBA=CDB。ABCD。【考点】全等三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，平行的判定。【分析】由ABCBAD得ACB=BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而CBA=CDB。再由ABCBAD得CAB=DBA。因此DBA=CDB，所以ABCD。6.（江苏2009年附加10分）选修4 - 2：矩阵与变换求矩阵的逆矩阵.【答案】解：设矩阵A的逆矩阵为则即。解得：。A的逆矩阵为。【考点】逆矩阵的求法。【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。7.（江苏2009年附加10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数，）.求曲线C的普通方程。【答案】解：。曲线C的普通方程为：。【考点】参数方程和普通方程。【分析】将平方即可得到，再将化为，从而消去参数，得到曲线C的普通方程。8.（江苏2009年附加10分）选修4 - 5：不等式选讲 设0,求证：.【答案】证明：，0，0，0，0。.【考点】不等式的证明。【分析】由代数式的变形可得，即可得证。9.（江苏2010年附加10分）选修4-1：几何证明选讲AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。【答案】证明：连接OD，则ODDC， 又OA=OD，DA=DC，DAO=ODA=DCO，DOC=DAO+ODA=2DCO。DCO=300，DOC=600。OC=2OD，即OB=BC=OD=OA。AB=2BC。【考点】三角形、圆的有关知识。【分析】连接OD，则ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，再证明OB=BC=OD=OA，即可求解。10.（江苏2010年附加10分）选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求k的值。【答案】解：由题设得由，可知A1（0，0）、B1（0，2）、C1（，2）。计算得ABC面积的面积是1，A1B1C1的面积是，则由题设知：。所以k的值为2或2。【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。【分析】由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解。11.（江苏2010年附加10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值。【答案】解：，。圆的普通方程为：，即。直线的普通方程为：，又圆与直线相切，解得：，或。【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程。【分析】在极坐标系中，已知圆与直线相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出值。12.（江苏2010年附加10分）选修4-5：不等式选讲设、是非负实数，求证：。【答案】证明：又实数、0，上式0。【考点】证明不等式的基本方法，二项式定理。【分析】利用二项式定理求出即可。13.（江苏2011年附加10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆与圆内切于点A，其半径分别为与（）圆的弦AB交圆于点C（不在AB上）求证：AB：AC为定值【答案】证明：连接A，并延长分别交两圆于点E，D，连接BD，CE， 圆与圆内切于点A，点在AD上。 AD，AE分别是，圆和圆的直径。 ABD=ACE=。BDCE。 定值。【考点】两圆内切的性质，圆周角定理，平行的性质。【分析】如图，利用 ECDB，AB：AC=AD：AE=2：2，证出结论。14.（江苏2011年附加10分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量求向量，使得【答案】解：设， =，由得,，解得。【考点】矩阵的运算法则。【分析】设向量，由，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得 和 的值，从而求得向量。15.（江苏2011年附加10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程【答案】解：由题意知，椭圆的长半轴长为，短半轴长，。右焦点为。将已知直线的参数方程化为普通方程得，所求的直线的斜率为。所求的方程为即。【考点】椭圆及直线的参数方程。【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程。16.（江苏2011年附加10分）选修4-5：不等式选讲解不等式：【答案】解：原不等式可化为或， 解得，或。 原不等式的解集为。【考点】解绝对值不等式。【分析】原不等式可化为或，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集。17.（2012年江苏省附加10分）选修4 - 1：几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结求证：【答案】证明：连接。 是圆的直径，（直径所对的圆周角是直角）。 （垂直的定义）。 又，是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。 （线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 （等腰三角形等边对等角的性质）。 又为圆上位于异侧的两点， （同弧所对圆周角相等）。 （等量代换）。【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。 本题还可连接，利用三角形中位线来求证。18.（2012年江苏省附加10分）选修4 - 2：矩阵与变换已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值 【答案】解：，。 ，。 矩阵的特征多项式为。 令，解得矩阵的特征值。【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。19.（2012年江苏省附加10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程【答案】解：圆圆心为直线与极轴的交点，在中令，得。 圆的圆心坐标为（1，0）。 圆经过点，圆的半径为。 圆经过极点。圆的极坐