高中数学 第一章立体几何初步 1.5.2 平行关系的性质课件 北师大版必修2.ppt

5 2平行关系的性质 1 直线与平面平行的性质定理文字语言 如果一条直线与一个平面平行 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 符号语言 l l b l b 图形语言 作用 证明两条直线平行 做一做1如图所示 在四棱锥p abcd中 m n分别为ac pc上的点 且mn 平面pad 则 a mn pdb mn pac mn add 以上均有可能解析 由于mn 平面pad 而平面pac经过直线mn且与平面pad相交于直线pa 由线面平行的性质定理得mn pa 故选b 答案 b 2 平面与平面平行的性质定理文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 符号语言 a b a b 图形语言 作用 证明直线与直线平行 做一做2平面 平面 平面 平面 且 a b c d 则交线a b c d的位置关系是 a 互相平行b 交于一点c 相互异面d 不能确定解析 由面面平行的性质定理 可知答案为a 答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 如果三个平面 满足 且平面 与这三个平面相交 交线分别为a b c 则有a b c成立 2 若直线a与平面 不平行 过直线a的平面 与平面 的交线为l 则a与l不平行 3 若直线a与平面 平行 则直线a一定平行于平面 内所有的直线 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一直线与平面平行的性质及其应用 例1 如图所示 已知四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 探究一 探究二 探究三 易错辨析 证明 连接ac交bd于点o 连接mo 四边形abcd是平行四边形 o是ac的中点 又m是pc的中点 ap om om 平面bmd ap 平面bmd ap 平面bmd 平面pahg 平面bmd gh ap 平面pahg ap gh 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练1如图所示 cd ef ab ab 求证 cd ef 证明 ab ab cd ab cd 同理ab ef 由公理4 得cd ef 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究二平面与平面平行的性质及其应用 例2 如图所示 已知 点p是平面 外的一点 不在 与 之间 直线pb pd分别与 相交于点a b和c d 1 求证 ac bd 2 若pa 4cm ab 5cm pc 3cm 求pd的长 探究一 探究二 探究三 易错辨析 分析 由pb与pd相交于点p可知pb pd确定一个平面 结合 可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系 这样就转化为平面问题 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练2在正方体abcd a1b1c1d1中 作截面efgh 如图所示 交c1d1 a1b1 ab cd分别于点e f g h 则四边形efgh的形状为 a 平行四边形b 菱形c 矩形d 梯形 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解析 由于正方体中平面abb1a1 平面dcc1d1 又截面efgh与平面abb1a1 平面dcc1d1分别相交于gf eh 由面面平行的性质定理知gf eh 同理可得ef gh 故四边形efgh一定是平行四边形 故选a 答案 a 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三平行关系的综合问题 例3 如图所示 在底面是平行四边形的四棱锥p abcd中 点e在pd上 且pe ed 2 1 在棱pc上是否存在一点f 使bf 平面aec 并证明你的结论 探究一 探究二 探究三 易错辨析 分析 可从 若两个平面平行 则一个平面内的任一直线都与另一个平面平行 这一结论入手考虑 作过点b与平面aec平行的平面 与pc的交点就是要找的点 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解 存在 当f是棱pc的中点时 bf 平面aec 证明如下 取pe的中点m 连接fm bf 则fm ce 因为fm 平面aec ce 平面aec 所以fm 平面aec 由em pe ed 知e是md的中点 连接bm bd 设bd ac o 则o为bd的中点 连接oe 则bm oe 因为bm 平面aec oe 平面aec 所以bm 平面aec 由fm bm m 得平面bfm 平面aec 因为bf 平面bfm 所以bf 平面aec 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练3如图所示 p为平行四边形abcd所在平面外一点 点m n分别为ab pc的中点 平面pad 平面pbc l 1 求证 bc l 2 mn与平面pad是否平行 证明你的结论 1 证明 因为bc ad ad 平面pad bc 平面pad 所以bc 平面pad 又平面pad 平面pbc l bc 平面pbc 所以bc l 2 解 mn 平面pad 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 在立体证明中错套平面几何定理而致误 典例如图所示 已知e f分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱aa1 cc1的中点 求证四边形bed1f是平行四边形 错解 在正方体abcd a1b1c1d1中 平面a1add1 平面b1bcc1 由面面平行的性质定理得d1e fb 同理 d1f eb 故四边形ebfd1为平行四边形 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一 探究二 探究三 易错辨析 12345 1 如果直线a平行于平面 则下列说法正确的是 a 平面 内有且只有一条直线与a平行b 平面 内有无数条直线与a平行c 平面 内不存在与a平行的直线d 平面 内任一条直线都与a平行答案 b 12345 2 若平面 平面 a b 则a与b一定是 a 平行直线b 异面直线c 相交直线d 无公共点的直线 解析 a b或a与b异面 故a与b无公共点 答案 d 12345 3 如图所示 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是棱cc1 c1d1 d1d dc的中点 n是bc的中点 点m在四边形efgh的边上及其内部运动 则m满足条件时 有mn 平面b1bdd1 解析 连接fh 由题意知 hn 平面b1bdd1 fh 平面b1bdd1 且hn fh h 所以平面nhf 平面b1bdd1 所以当m在线段hf上运动时 有mn 平面b1bdd1 答案 m 线段hf 12345 12345 4 已知三棱锥a bcd中 ab cd a 截面efgh与ab cd都平行 则截面efgh的周长是 12345 12345 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱a1b1与bc的中点 求证 ef 平面a1acc1 12345 证明 取b1c1的中点g 连接eg gf 因为e g分别是a1b1 b1c1的中点 所以eg a1c1 因为eg 平面a1acc1