§54电路系统对任意激励的零状态响应--卷积积分.ppt

5 4电路系统对任意激励的零状态响应 卷积积分 1 卷积积分定理 任一LTIS对任意激励信号f t 的零状态响应应该等于该激励信号与电路系统冲击响应的卷积积分 即 5 4 1卷积积分定理 0 P n t t L T I S t h n t 证明 因为任意信号f t 可以分解为宽度为的无穷多个窄脉冲信号的迭加 任意信号 任意信号产生的零状态响应 响应迭加 当时 因为对于一切物理可实现系统 因果系统 t 0时 h t 0 而由于时 所以积分上限应为t 又如果输入的信号是单边的 则积分下限应为t0 或0 2 物理意义 LTIS在任意时刻t对任意激励的零状态响应等于从激励函数开始作用的时刻 到指定时刻 区间内 无穷多个幅度不同 连续出现的冲击响应的总和 为 就是输入冲击信号的瞬间 而t可以理解为观察这个输入作用引起响应的瞬间 因为时刻作用的信号 到t时刻才观察到输出 这之间时间差值即为 即可以理解电路对输入作用的记忆时间 因为不能为负 所以积分上限只能取到t 而不能到 其实电路上的这种卷积积分只不过是数学上卷积的特例 并赋予物理意义 2 利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法 方法步骤 1 求出系统的冲击响应h t 2 代公式进行卷积积分 或利用卷积性质 求得yzs t 解 1 1 求得电路的冲击响应 因为电路KCL 例1 已知图示电路 1 输入为A电流 求响应iL t 2 输入为A电流 求响应i L t 2 2 卷积求yzs t 例2 已知一LTI网络 冲击响应为 求当输入信号为矩形波时的零状态响应 2 求U t 1 激励时的响应 根据延时不变性可得 解 因为输入信号f t U t U t 1 1 当U t 激励时 其响应为yzs1 t 3 求f t 激励时的响应 根据LTIS的线性性 3 LTIS的完全响应 利用卷积求得系统零状态响应 再与系统零输入响应叠加 即求得系统的完全响应为 设系统特征根互异 4 卷积的图形解法 1 卷积的图形解释 卷积实际上是一种数学工具 我们可以用图解法来清楚的说明其含义 设 1 褶叠 将横轴t 对褶过去 2 平移 3 相乘积分 2 卷积积分积分限的确定原则 若函数的非零值左边界 即函数不为0的最小值 分别为tl1和tl2 其非零值右边界 即最大的值 分别为tr1和tr2 则积分下限为max tl1 tl2 上限为min tr1 tr2 即积分下限取它们左边界的最大者 而积分上限取它们右边界中的最小者 a b c d e 其余 例 求如图 a b 所说函数f t 和h t 的卷积积分 解 1 写出表达式 t0 2 计算卷积积分 t 0 无重叠 0 t a tl1 0 tl2 选tr1 a tr2 t t a tl1 0 tl2 tr1 a tr2 t选tl1 0 tr 0 一 卷积代数1 交换律 5 4 3卷积的性质 证明 证明 2 分配律 二 卷积的微分和积分 1 微分 证明 同理可证第二等式 2 积分 证明 3 高阶导数和多重积分设 则有 推论 例 三 与冲击函数或阶跃函数的卷积1 与冲击函数的卷积 证明 或写为 抽样性 推论 2 与阶跃信号的卷积 证明 例1 计算 解 原式 例2 图示系统是由几个子系统组成的 各个子系统的冲击响应分别为 若激励试求总系统的零状态响应 解 1 求h t 对因果系统而言 串联系统的冲击响应等于各串联子系统的冲