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Welcome Welcome Welcome 1 第4章 梁的弯曲 2 4 1 弯曲的概念 3 梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容 弯曲变形是工程构件最常见的基本变形 4 工程实际中的弯曲问题 5 弯曲的概念 当直杆受垂直其轴线的横向外力或者在杆轴平面内的外力偶作用时 杆的轴线将由直线变成曲线 称为弯曲 产生弯曲变形的杆称为梁 梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形 6 平面弯曲的概念 我们只研究矩形截面梁的平面弯曲 矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内 弯曲也发生在该对称面内 我们称之为平面弯曲 因此 我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲 7 梁的载荷与支座情况 a 梁的载荷 集中力 均布载荷 集中力矩 正负号规定 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正 反向为负 集中力矩逆时针为正 顺时针为负 8 b 梁的支座反力 梁的支承方法及反力 9 c 梁的类型 根据梁的支撑情况可以将梁分为3种类型 简支梁 一端固定铰支座一端活动铰支座 悬臂梁 一端固定一端自由 外伸梁 一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置 10 d 求支座反力的平衡方程 求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件 举例说明 P 左边固定铰支座 有两个约束反力 A B 右边活动铰支座 1个约束反力 l 11 再以悬臂梁为例 假设该悬臂梁承受均布载荷 q l 固定端有3个约束反力 Rx Ry A B MA 建立平衡方程求约束反力 12 4 2 梁的弯曲内力 13 梁的内力 弯矩图 截面法求内力 弯矩概念 弯矩的正负号规定 弯矩图 14 a 剪力和弯矩 与前面三种基本变形不同的是 弯曲内力有两类 剪力和弯矩 考察弯曲梁的某个横截面仍使用截面法 在截面形心建立直角坐标系 剪力与截面平行 用Q表示弯矩作用面在纵向对称面内 方向沿Z轴方向 用M表示 Q M 在细长梁中 剪力对强度和刚度影响较小 可略去不计 只考虑弯矩的影响 15 用截面法求弯曲时的内力 16 b 剪力和弯矩正负号的规定 剪力正负号 对所截截面上任一点的力矩顺时针为正 逆时针为负 弯矩正负号 Q Q M M M M 正 负 正 负 使梁下凹为正 向上凸为负 17 c 截面法求剪力和弯矩 P1 P2 RAy A B RAx RB P1 RAy a a M Q 对截面中心建立力矩平衡方程 m m RAx 18 说明 1 一般情况下 x方向的约束反力为零 2 如果不求剪力 可以不建立y方向的平衡方程 3 不考虑剪力时 弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心 19 举例 l q 求图示简支梁x截面的弯矩 q RAy M A B 在x处截开 取左半部分分析 画出外力 约束反力 弯矩 x截面剪力 力矩平衡方程 qx Q 20 可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线 弯矩为一条曲线 抛物线 弯矩最大值在梁的中点 此处剪力为零 有 由对称性 可以求得 l q A B 21 d 剪力图和弯矩图 将弯曲内力 即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示 例如上面的受均布载荷的简支梁 22 l q A B 23 1 列剪力方程和弯矩方程 2 画剪力图和弯矩图 例2 24 例3图4 14a所示为一简支梁 在C点受集中力P的作用 作此梁的剪力图和弯矩图 1 求支座反力 2 列剪力方程和弯矩方程 AC段 0 x a 25 CB段 26 3 画剪力图和弯矩图 集中力使剪力图突变 集中力使弯矩图折曲 AC段 0 x a CB段 27 1 求支座反力 2 列剪力方程和弯矩方程 例5 28 3 画剪力图和弯矩图 集中力偶使弯矩图突变 集中力偶不使剪力图变化 29 1 求支座反力 2 列写弯矩方程 例6 30 3 画弯矩图 集中力偶使弯矩图突变 集中力使弯矩图折曲 31 叠加法 注意事项 1 不是简单形状叠加 是纵坐标值的叠加2 要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同符号纵坐标的累加3 按纵坐标方向划出有效区标志线 正负抵消的部分不可划标志线4 标明有效区的正负符号5 标注极值大小 32 总结 弯矩图的形状和载荷之间的关系 1 在两个集中载荷之间的梁段内 弯矩图一般为斜直线 并且在集中力作用处弯矩线转折 2 在集中力偶作用处 其左右两侧横截面上的弯矩值发生突变 突变值等于集中力偶矩的值3 在均布载荷作用的梁段内 弯矩图为抛物线 如均布载荷方向向下 则抛物线开口向下 反之则向上 33 4 2 弯曲时的正应力与强度计算 34 1 纯弯曲时的正应力 纯弯曲与剪切弯曲 中性层和中性轴 弯曲正应力分布规律 弯曲正应力的计算 抗弯截面模量 35 各横截面上同时有弯矩M和剪力Q 称为剪切弯曲 各横截面只有弯矩M 而无剪力Q 称为纯弯曲 36 a 变形几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面 仍然垂直于轴线 只是绕中性轴转过一个角度 称为弯曲问题的平面假设 37 中性层和中性轴 中性层 梁弯曲变形时 既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层 对矩形截面梁来讲 就是位于上下中间这一层 中性轴 中性层与横截面的交线 梁弯曲时 实际上各个截面绕着中性轴转动 如果外力偶矩如图作用在梁上 该梁下部将伸长 上部将缩短 38 变形的几何关系为 39 上式说明离中性轴越远 y越大 则变形越大 b 应力和变形的关系 物理关系 由虎克定律 40 C 弯曲正应力分布规律 M 与中性轴距离相等的点 正应力相等 正应力大小与其到中性轴距离成正比 弯矩为正时 正应力以中性轴为界下拉上压 弯矩为负时 正应力上拉下压 M 中性轴上 正应力等于零 41 d 静力学关系分析如图 取一微元进行分析 Z 中性轴 42 抗弯刚度 43 横截面上某点正应力 该点到中性轴距离 该截面弯矩 该截面惯性矩 显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离 y 的最大值 44 例7图5 8所示 一受均布载荷的悬臂梁 其长l 1m 均布载荷集度q 6kN m 梁由10号槽钢制成 由型钢表查得横截面的惯性矩Iz 25 6cm4 试求此梁的最大拉应力和最大压应力 45 1 作弯矩图 求最大弯矩 梁的弯矩图如图5 8b所示 由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大 其值为 46 因危险截面上的弯矩为负 故截面上缘受最大拉应力 其值为 在截面的下端受最大压应力 其值为 2 求最大应力 47 f 惯性矩的计算 可直接记忆也可以查表 矩形截面 48 圆形与圆环截面 实心圆 空心圆 49 g 弯曲正应力的计算 抗弯截面模量 某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上 WZ称为抗弯截面模量 Z为中性轴 矩形截面 Z b h 实心圆截面 Z d 50 2 弯曲强度计算 梁的最大正应力 梁的强度条件 举例 51 a 梁的最大正应力 梁的危险截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上 危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部 梁的最大正应力 梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处 52 b 梁的强度条件 Mmax 梁内最大弯矩 WZ 危险截面抗弯截面模量 材料的许用应力 利用强度条件可以校核强度 设计截面尺寸 确定许可载荷 53 例8图示圆截面辊轴 中段BC受均部载荷作用 试确定辊轴BC段截面的直径 已知q 1KN mm 许用应力 140MPa q 300 300 1400 A B C D q RAy M 300 700 300 54 q 300 300 1400 A B C D 危险截面在轴的中部 利用截面法求该截面弯矩 q RAy M 300 700 300 由对称性可求得 55 例10图示悬臂梁承受均布载荷q 假设梁截面为b h的矩形 h 2b 讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好 b h h b q 注意 Z轴为中性轴 56 b h h b q 根据弯曲强度条件 同样载荷条件下 工作应力越小越好 因此 WZ越大越好 梁立置时 梁倒置时 立置比倒置强度大一倍 57 例11一矩形截面木梁如图5 14a所示 已知P 10kN a 1 2m 木材的许用应力 10MPa 设梁横截面的高宽比为h b 2 试选梁的截面尺寸 58 解 1 作弯矩图 求最大弯矩用叠加法作出梁的弯矩图如图5 14b所示 由图知最大弯矩为 59 2 选择截面尺寸 截面的抗弯截面模量 最后选用12 5 25cm2的截面 60 4 4 弯曲刚度计算 61 本部分主要内容 梁的挠曲线近似微分方程积分法求梁的变形叠加法求梁的变形梁的刚度校核 62 1挠度和转角 梁任一横截面的转角 等于该截面处挠度y对x的一阶导数 梁的挠曲线近似微分方程 2 角位移 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角 梁的挠曲线微分方程为y f x 梁弯曲后的轴线称为挠曲线 1 线位移y梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度 63 2挠曲线的近似微分方程 注意 y轴要向上 保证方程两边符号相同 将上式代入式 a 得梁的挠曲线近似微分方程 64 3 用积分法求梁的变形 简支梁 悬臂梁 积分常数C和D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定 这个条件称为边界条件 65 以A为原点 取直角坐标系 x轴向右 y轴向上 1 求支座反力列弯矩方程 由平衡方程得 列弯矩方程为 2 列挠曲线近似微分方程 例12 66 3 积分 4 代入边界条件 确定积分常数 在x 0处 将边界条件代入 c d 得 67 将常数C和D代入 c d 得 6 求最大转角和最大挠度 5 确定转角方程和挠度方程 说明 转角为负 说明横截面绕中性轴顺时针转动 挠度为负 说明B点位移向下 68 例13一简支梁如图6 9所示 在全梁上受集度为q的均布载荷作用 试求此梁的转角方程和挠度方程 并确定最大转角 max和最大挠度 y max 由对称关系得梁的两个支座反力为 以A点为原点 取坐标如图 列出梁的弯矩方程为 2 列挠曲线近似微分方程并进行积分 1 求支座反力 列弯矩方程 69 简支梁的边界条件是 在两支座处的挠度等于零在x 0处 yA 0 在x l处 yB 0 3 确定积分常数 70 边界条件代入 d 解得 将积分常数C D代入式 c 和 d 得 4 确定转角方程和挠度方程 71 由对称性可知 最大挠度在梁的中点处 将x l 2代入 f 得 5 求最大转角和最大挠度 72 又由图6 9可见 在两支座处横截面的转角相等 均为最大 由式 e 73 4 叠加法求梁的变形 当梁上同时作用几个载荷时 梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和 叠加原理 叠加法 前提是小变形 线弹性 74 由叠加法得 直接查表2 3 例14 75 5 梁的刚度校核 弯曲构件的刚度条件 76 例15 77 将主轴简化为如图例6 13b所示的外伸梁 主轴横截面的惯性矩为 材料的弹性模量 1 计算变形 由表2 3查出 因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角 图c 为 78 由表2 3查得 因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角 d 为 79 主轴的许用挠度和许用转角为 故主轴满足刚度条件 2 校核刚度 80 4 5 组合变形时的强度条件 81 一 概述 叠加原理应用的基本步骤 1 将载荷进行分解 得到与原载荷等效的几组载荷 使构件在每一组载荷的作用下 只产生一种基本变形 2 分析每种载荷的内力 确定危险截面 3 分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力 4 将各基本变形情况下的应力叠加 确定最危险点 5 选择强度理论 对危险点进行强度校核 在外力的作用下 构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况 就是组合变形 82 二 弯曲与拉伸的组合 载荷与杆件轴线平行 但不通过横截面的形心 杆件的变形也是弯曲与拉伸 或压缩 的组合 称为偏心拉伸 压缩 载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距 3 在Px作用下 在Py作用下 83 危险截面处的弯矩 例16悬臂吊车 横梁由25a号工字钢制成 l 4m 电葫芦重Q1 4kN 起重量Q2 20kN 30 100MPa 试校核强度 抗弯截面模量 4 强度条件为 根据叠加原理 可得横截面上的总应力为 解 1 外力计算取横梁AB为研究对象 受力如图b所示 梁上载荷为P Q1 Q2 24kN 斜杆的拉力S可分解为XB和YB 84 横梁在横向力P和YA YB作用下产生弯曲 同时在XA和XB作用下产生轴向压缩 这是一个弯曲与压缩组合的构件 当载荷移动到梁的中点时 可近似地认为梁处于危险状态 此时 由平衡条件 2 内力和应力计算绘出横梁的弯矩图如图c所示 在梁中点截面上的弯矩最大 其值为 从型钢表上查25a号工字钢 得 所以最大弯曲应力为 5 85 其分布如图e所示 梁危险截面的上边缘处受最大压应力 下边缘处受最大拉应力作用 横梁所受的轴向压力为 则危险截面上的压应力为 并均匀分布于横截面上 如图d所示 故梁中点横截面上 下边缘处总正应力分别为 3 强度校核 由计算可知 此悬臂吊车的横梁是安全的 6 86 例17钻床P 15kN e 40cm T 35MPa C 120MPa 试计算铸铁立柱所需的直径 解 1 计算内力将立柱假想地截开 取上段为研究对象 由平衡条件 求出立柱的轴力和弯矩分别为 2 选择立柱直径 求解d的三次方程 7 87 满足强度条件 最后选用立柱直径d 12 5cm 解得立柱的近似直径 取d 12 5cm 再代入偏心拉伸的强度条件校核 得 设计中常采用的简便方法 因为偏心距较大 弯曲应力是主要的 故先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸 8 88 9 解 由于钢板在截面1 1处有一半圆槽 因而外力P对此截面为偏心拉伸 其偏心矩之值为 截面1 1的轴力和弯矩分别为 轴力S和弯矩在半圆槽底部的a点处都引起拉应力 图b a点即为危险点 最大应力为 例18一带槽钢板受力如图 已知钢板宽度b 8cm 厚度 1cm 槽半径r 1cm P 80kN 钢板许用应力 140MPa 试对此钢板进行强度校核 89 计算结果表明 钢板在截面1 1处的强度不够 由分析知 造成钢板强度不够的原因 是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe 使截面1 1的应力显著增加 为了保证钢板具有足够的强度 在允许的条件下 可在槽的对称位置再开一槽如图c 这样就避免了偏心拉伸 此时钢板在截面1 1处满足强度条件 10 此时截面1 1上的应力 如图d 为 90 三 弯曲与扭转的组合 1 弯扭组合是工程中常见的变形组合形式 11 91 2 弯扭组合常用计算公式的建立 12 将力P向A端面形心平移 得到一横向力P和矩为TA PR的力偶 杆AB受力情况如图b 圆杆的弯矩图和扭矩图如图c d 92 圆轴复合弯曲的弯矩 x 注意 1公式仅对圆轴复合弯曲适用2公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分3平面弯曲可看成它的特例 13 93 例19手摇绞车d 3cm D 36cm l 80cm 80MPa 按第三强度理论计算最大起重量Q 解 1 外力分析将载荷Q向轮心平移 得到作用于轮心的横向力Q和一个附加的力偶 其矩为TC Q