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理解数学理解学生理解教学 人民教育出版社章建跃 一 课改中形成的基本共识 核心 以学生的全面 和谐与可持续发展为本 教育中的 科学发展观 教学目标 全面关注学生的认知 能力和理性精神 以学生最近发展区为定向 促进学生全面 和谐 可持续发展 数学育人 教学要求 个性差异与统一要求的辩证统一 但以个性差异为出发点和基础教学设计 不仅从内容的教学需要预设提问 讲授 训练等 而且特别强调课堂 生成 预设能引发学生独立思考 自主探究的 开放性问题 乃至强调 看过问题三百个 不会解题也会问 教学方法 讲授 问答 训练的综合 不再是单一的讲授或活动 是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合 强调 启发式讲授 的重要性 学习方式 接受与探究的融合 强调学生学习主动性 积极性 独立思考和合作学习的结合教学过程 知识发生发展过程 自然 水到渠成 为载体的学生认知过程 以学生为主体的数学活动过程 强调学生数学思维的展开 深度参与 教学的有效性 教学评价 教师根据教学进程进行教学反馈 调节 学生通过自我监控调节学习进程 重视形成性评价 发展的眼光教学媒体 追求 必要性 平衡性 广泛性 实践性 有效性 服务于数学概念 原理的实质理解 教改只能成功不能失败 因为人才的成长没有重复机会 教育要绝对避免 折腾 教改必须 大胆创新 谨慎实践 当前 与教育的本质相悖的 功利化 现象还占据主导地位 需要我们共同努力 为教育的理想而奋斗 二 当前存在的主要问题 数学教学 不自然 强加于人 对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响 缺乏问题意识 对学生的创新精神和实践能力培养不利 重结果轻过程 掐头去尾烧中段 关注知识背景和应用不够 导致学习过程不完整 重解题技能 技巧轻普适性思考方法的概括 方法论层次的内容渗透不够 机械模仿多独立思考少 数学思维层次不高 讲逻辑而不讲思想 关注数学思想 理性精神不够 对学生整体数学素养的提高不利 三 提高 理解数学 的水平 老师理解好数学是提高教学质量的前提 理解数学概念的几个方面 从表面到本质 把握概念的深层结构上的进步 从抽象到具体 对抽象概念的形象描述 解读概念关键词 更多的典型 精彩的例子 从孤立到系统 对概念之间的关系 联系的认识 有层次性 立体化的认识 等 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是教师专业化发展的抓手 教师培训的当务之急是提高理解数学的水平 提高数学概念的教学理解水平 观念只有落实在具体内容中才能发挥力量 例1几个数学概念的理解 如何理解诱导公式 推导等差数列前n项求和公式的思想方法是什么 如何理解 两个变量的线性相关 四 课堂教学的高立意与低起点 立意不高是普遍问题 许多教师的 匠气 太浓 课堂上题型 技巧太多 弥漫着 功利 缺少思想 精神的追求 严重影响数学育人 数学的 育人 功能如何体现 挖掘数学知识蕴含的价值观资源 在教学中将知识教学与价值观影响融为一体 关键 提高思想性 技术 加强 先行组织者 的使用 例2不等式基本性质 立意 比较 以往做法 数轴上点的顺序定义数的大小关系 再到 基本事实 考察两个实数的大小 只要考察它们的差 再由 利用比较实数大小的方法 可以推出下列不等式的性质 性质1 2 3 证明 例题 练习 习题 高立意低起点 的教学设计 数轴上点的顺序定义数的大小关系 再到 基本事实 考察两个实数的大小可以统一化归为比较它们的差与0的大小 从 数及其运算 的高度出发 以 运算中的不变性 规律性就是性质 为思想指导 以等式的基本性质为起点 通过类比等式的基本性质 得到不等式基本性质的猜想 回到从 基本事实 到 基本性质 的推理过程 给出证明 引导学生用不同语言表述 基本性质 从实例中概括基本不等式的作用 明确概括出思想方法 核心 将等式与不等式纳入数及其运算的系统中 成为用运算律推导出的 性质 既要讲逻辑 更要讲思想 加快学生领悟思想的进程 教学过程 先行组织者 解方程要以等式的基本性质为依据 解决不等式的问题要以不等式的基本性质为依据 请叙述等式的基本性质 你能说说讨论等式的基本性质的思想方法吗 类似的 你能猜想一下不等式的基本性质吗 阅读教科书 看看还有哪些性质没有想到 根据 基本事实 证明自己的猜想 你能总结一下等式的基本性质和不等式的基本性质蕴含的数学思想方法吗 五 提高概念的教学水平 概念教学中存在的问题 概念教学走过场 常常采用 一个定义 三项注意 的方式 在概念的背景 引入上着墨不够 没有给学生提供充分的概括本质特征的机会 认为让学生多做几道题目更实惠 有些老师不知如何教概念 教概念的意义 李邦河院士 数学根本上是玩概念的 不是玩技巧 技巧不足道也 以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨 必须纠正 否则 学生在数学上耗费大量时间 精力 结果可能是对数学的内容 方法和意义知之甚少 数学育人 终将落空 概念教学的核心 概念教学的核心是概括 将凝结在数学概念中的数学家的思维打开 以典型丰富的实例为载体 引导学生展开观察 分析各事例的属性 抽象概括共同本质属性 归纳得出数学概念 概念教学的基本环节 典型丰富的具体例证 属性的分析 比较 综合 概括共同本质特征得到概念的本质属性 下定义 准确的数学语言描述 概念的辨析 以实例 正例 反例 为载体分析关键词的含义 用概念作判断的具体事例 形成用概念作判断的具体步骤 概念的 精致 建立与相关概念的联系 例3三角函数定义的教学过程设计 复习请回答下列问题 前面学了任意角 你能说说任意角概念与平面几何中的角的概念有什么不同吗 引进象限角概念有什么好处 在度量角的大小时 弧度制与角度制有什么区别 我们是怎样简化弧度制的度量单位的 设计意图 从为学习三角函数概念服务的角度复习 关注的是思想方法 先行 组织者 我们知道 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 例如指数函数描述了 指数爆炸 对数函数描述了 对数增长 等 圆周运动是一种重要的运动 其中最基本的是一个质点绕点O做匀速圆周运动 其变化规律该用什么函数模型描述呢 任意角的三角函数 就是一个刻画这种 周而复始 的变化规律的函数模型 设计意图 解决 学习的必要性 问题 明确要研究的问题 问题1对于三角函数我们并不陌生 初中学过锐角三角函数 你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗 任意画一个锐角 你能借助三角板 根据锐角三角函数的定义找出sin 的值吗 设计意图 从函数角度重新认识锐角三角函数定义 突出 与点的位置无关 问题2你能借助象限角的概念 用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗 设计意图 比值 坐标化 问题3上述表达式比较复杂 你能设法将它化简吗 设计意图 为 单位圆法 作铺垫 学生答出 取点P x y 使x2 y2 1 后追问 为什么可以这样做 教师讲授 类比上述做法 设任意角 的终边与单位圆交点为P x y 定义正弦函数为y sin 余弦函数为x cos 设计意图 定义 是一种 规定 把精力放在定义合理性的理解上 问题4你能说明上述定义符合函数定义的要求吗 设计意图 让学生用函数的三要素说明定义的合理性 以此进一步明确三角函数的对应法则 定义域和值域 例1用定义分别求自变量 2 3所对应的正弦函数值和余弦函数值 设计意图 让学生熟悉定义 从中概括出用定义解题的步骤 例2角 的终边过P 1 2 2 求它的三角函数值 三角函数概念的 精致 函数值的符号问题 终边与坐标轴重合时的三角函数值 终边相同的角的同名三角函数值 与锐角三角函数的比较 因袭与扩张 从 形 的角度看三角函数 三角函数线 联系的观点 终边上任意一点的坐标表示的三角函数 把实数轴想象为一条柔软的细线 原点固定在单位点A 1 0 数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上 负半轴顺时针缠绕在单位圆上 那么数轴上的任意一个实数 点 t被缠绕到单位圆上的点P cost sint 课堂小结 1 问题的提出 自然 水到渠成 思想高度 函数模型 2 研究的思想方法 与锐角三角函数的因袭与扩张的关系 化归为最简单也是最本质的模型 数形结合 3 归纳概括概念的内涵 明确自变量 对应法则 因变量 4 用概念作判断的步骤 注意事项等 六 什么才是 抓基础 我国 双基 的优势正在丧失 现象 1 数学教学 解题教学 题型教学 刺激 反应 记忆 模仿型学习 2 缺少知识的发生发展过程 以训练代替概念教学 应用可以促进理解 但没有理解的应用是盲目的 3 过分关注 题型 及对应的技巧 技巧 雕虫小技也 不足道也 技巧无法穷尽 教技巧的结果可能是 讲过练过的不一定会 没讲没练的一定不会 等 如何改变 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性 无知者无能 要使学生养成不断回到概念去 从基本概念出发思考问题 解决问题的习惯 解题训练应针对概念的理解和应用 而不是让学生 对题型 套技巧 加强概念的联系性 从概念的联系中寻找解决问题的新思路 解题的灵活性来源于概念的实质性联系 技巧是不可靠的 应追求解决问题的 根本大法 基本概念所蕴含的思想方法 强调思想指导下的操作 例4向量加法运算及几何意义的教学设计 先行组织者 类比数及其运算 引进一个量就要研究运算 引进一种运算就要研究运算律 位移 力的合成 速度的合成等物理原理的回顾 学生带着问题看书 向量的加法法则的关键词是什么 你如何理解 汇报对定义和三角形法则 平行四边形法则的理解 其中特别要注意对 关键词 的理解 要求用自己的语言描述 向量a b不共线 作出a b 要求说明作法 如果向量a b共线 如何作a b 与有理数加法运算有什么关系 从三角形法则我们有 变形有 你怎么看变形 平行四边形法则的代数意义是什么 七 探究式教学的天时地利人和 天时 建设创新型社会 教育 以培养学生的创新精神和实践能力为重点 地利 教学内容是否适合于 探究 有的内容不适宜 如公理 定义名称 规定等 但更多的内容可采用探究式教学 例5直线与平面垂直的定义 先 直观感受 举例 再给出定义 并把主要精力放在对 合理性 的认识上 通过正 反例理解定义的关键词 提示学生 用 说得清道得明 的几何关系 即 直线与直线垂直 来定义 无法说清 的几何关系 即 直线与平面垂直 是一种公理化思想 学生则只要采用接受式学习方式即可 例6两个平面平行的判定问题 指导思想 类比两条直线平行的判定 提出两个平面平行的判定的猜想 再给出证明 问题1回顾已经得到的两个平面平行的判定定理 你能说说得到这些判定定理的思想方法吗 定义法 原始 不容易说清楚 化归为线面平行 用已知想未知 与平面三公理联系等 问题2从前面学习线 面位置关系的判定可知 判定方法不唯一 你有没有想过别的判定方法 问题3在研究问题时 类比 推广 特殊化等是获得研究成果的常用方法 例如 类比两条直线相互平行的判定 能否得到一些猜想 学生可能得到 a b c 则a b 则 a b c 则a b 则 c 则 两条直线与第三条直线相交 同位角 内错角 相等 或同旁内角互补 两直线平行 能否类比 人和 师生共同营造的 探究氛围 有赖于学生 探究式学习的心向 也有赖于教师的 探究型教学的意识 数学思想方法在自主探究中有关键作用 需要教师的启发引导 注意使用 先行组织者 八 怎样才算 教完了 舍不得在概念 原理的发生发展过程上花时间 这样能教完吗 给学生吃 压缩饼干 基础知识 一个定义 三项注意 解题教学 题型教学 解题技巧大杂烩 一步到位 问题在那里 不 准 或者是没有围绕概念的核心 或者教错了 不 简 在细枝末节上下功夫 把简单问题复杂化了 不 精 让学生在知识的外围重复训练 耗费学生大量时间 精力却达不到对知识的深入理解 例7函数概念的 注意事项 集合A B都是数集 任意性 唯一性 可以一对一 多对一 但不能一对多 y f x 是一个整体 不是f与x的乘积 值域C f x x A 是集合B的子集 函数的三要素三者缺一不可 值域可由定义域和对应法则唯一确定 在不适当的时候 用不适当的方法强调细节 把学生 教糊涂了 如何让学生体会 定义域 的重要性 抽象强调 定义域很重要 解析式相同 定义域不同就是不同的函数 没有作用 有实际意义的具体例子最有效 例如 某商品每件5元 总价y与件数x之间的函数关系 步行速度5km h 步行距离y与时间x之间的函数关系 等 先让学生写出函数 再问 为什么 如何区别 等 教完了 应该以学生是否理解为准 以学生是否达成教学目标为准 特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准 注意 双基包括由内容反映的数学思想方法 而不是教师在课堂上有没有把内容 讲完 广种薄收是懒汉的做法 例8函数概念的教学设计 函数概念的教学理解 变量说 到 对应说 引进抽象符号f x 表示函数 较全面地学习函数的表示与性质 强调函数是刻画运动变化规律的数学模型 因此强调函数的背景 思想和应用 强调与方程 不等式的联系 注重用函数观点理解和解决方程 不等式问题 用导数研究函数性质 使思想方法和研究手段都上升到全新高度 内容安排 先从一般性角度研究函数概念 使学生在宏观上了解函数的内容和方法 先行组织者 再以基本初等函数为载体 感受建立函数模型的过程与方法 体会函数在数学和其他学科中的应用 学会用函数思想解决简单实际问题 高中阶段的函数学习特点 定义抽象 符号抽象 具体函数类型多复杂性提高 连续的 离散的 相关知识的联系性增强 用更多的工具 实数运算 导数 讨论函数性质等 特别是 引入具有一般性的抽象符号f x 使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系 并通过讨论函数的性质而解释现实问题 认识和把握其中的规律 教学设计的立意 突出函数概念的本质和建构过程函数是 科学的数学化 的产物 数学从运动的研究 变化的量及其关系 中引出一个基本概念 函数 或变量间的关系 变量和函数 具体变量 时间 路程 速度 转动角 扫过的面积等 及其相互依赖关系 如路程对时间的依赖关系等 的抽象概括 函数是一个变量对另一个变量的依赖关系的抽象模型 在坐标系中 一个量对另一个量的依赖关系可用图像表示 力学问题和几何问题的关系 路程 曲边梯形的面积 19世纪前函数概念没有严格定义 所有函数都是代数函数的推广 Dirchlet于1837年给出沿用至今的 单值 函数定义 可以没有解析式 也可以没有图像 如当x是有理数时y c 当x是无理数时y d 函数作为特殊的映射是后来的事情 应让高中生理解到的函数思想 函数是描述变化规律的数学模型 函数是描述变量之间依赖关系的数学模型 函数概念所反映的思想方法 用数量关系表示变量之间的依赖关系 并通过数及其运算等研究变化规律 在y f x 中 对应法则f可以是公式 图形 表格或别的什么 等 搭建概括和领悟函数概念的 脚手架 铺设概括路线 以具有真实背景的实例为载体 先从 变量说 出发 并用集合与对应的语言讲解对应关系 再让学生自己举例并说明对应关系 再让学生概括实例的本质而形成 对应说 在函数的表示 函数的性质中 不断强化对函数这一特殊 对应关系 的认识 强化对函数所研究的问题和思想方法的理解 选择和用好实例 例子在学生理解函数概念中有奠基性的 参照物 作用 在函数概念的引入 表示 性质和应用等各阶段 都应 用例子说话 为学生提供思考 探究 交流的机会 使学生在好例子的支持下开展思维 形成函数概念理解活动的强大背景支撑 例如 自由落体 路程是时间的函数 给定的物体 能量是速度的函数 电阻一定 热量Q是电量强度I的函数 给定锐角A 直角三角形的面积是直角边的函数 都归结为 y 1 2ax2 强调只能用图像 表格表示的函数例子的作用 表格 函数图像不仅是 表示法 的一种 从促进理解的作用看 它们使抽象的函数符号形象化 为学生提供了直观的机会 例如图像的种种形象和基本性质使学生直观地 看到 想象到函数的定义域 值域 单调性等种种性质 借助图像 表格 聚焦于对应关系的特点 更全面 深刻地领悟 对应关系 的本质 给予思想方法的明确引导 如 变化之中保持的 不变性 规律性 就是性质 函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型 现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减 有快有慢 有时达到最大值有时处于最小值 这些现象反映到函数中 就是函数值随自变量的增加而增加或减少 什么时候函数值最大 什么时候函数值最小 这就是我们要研究的函数性质 知道了函数性质也就把握了事物的变化规律 加强建立函数模型的活动 深化函数概念理解采用 归纳式 在分析 归纳 概括实例共同本质属性的基础上 感悟函数概念及其蕴含的思想方法 函数的抽象程度极高 只有设法使学生卷入其中 强化亲身体验 启发内心感悟 激发心理共鸣 才能真正转化为学生认识客观规律 解决实际问题的强大武器 教学过程的设计 问题1同学们在初中已学过 函数 请举几个函数的例子 设计意图 通过举例回顾 变量说 教师根据学生的例子 引导他们明确变量 自变量 函数 唯一确定 对应等关键词 教师也可以参与举例 但让学生判断是否为函数 并要求说明理由 问题2 追问 你凭什么说自己举的是函数 为什么 其他同学也思考一下 设计意图 让学生用概念解释问题 了解他们对函数本质的理解状况 注意突出 两个变量x y 对于变量x的 每一个 确定的值 变量y有 唯一 确定的值与x对应 y是x的函数 特别要求学生指出对应关系是什么 x取哪些数 即取值范围 感受数集A的存在 y值的构成情况 为引入两个数集做准备 问题3看下面的例子 它们是函数吗 为什么 例1图1中的曲线记录了2009年2月20日上午9 30至下午3 00上海证交所股价指数变动的情况 这是一个函数吗 为什么 例2下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表 序号12345678910环数8888888888环数是序号的函数吗 改为下表呢 序号12345678910环数87896889810 追问 你能自己举一些类似的例子吗 设计意图 让学生体会存在用表格 图像表示的函数 问题4你能概括一下上述实例中的对应关系的共同特征吗 设计意图 让学生获得函数概念的内涵要素 问题5请看书 并叙述函数概念 你认为这里的函数定义与初中的函数定义有什么联系与区别 例1填写下列表格 例2函数y x2的对应关系是什么 你能用一个具体背景说明这一对应关系吗 设计意图 聚焦对应关系 巩固概念 学习用函数概念作判断的基本操作 学生先独立完成再师生共同讲评 练习1请举出对应关系f只能用图像或表格表示的函数例子 并用函数定义说明你举的例子的确是函数 练习2下图表示一个函数吗 为什么 yOx 练习3下列函数中哪个与y x相同 为什么 设计意图 进一步认识函数概念中 三要素 的整体性 两函数相同 当且仅当三要素相同 练习2是一个反例 目的是认识 对应关系 的特点 小结通过本节课的学习 你对函数概念有了哪些新的认识 还有哪些收获 要点 对应说 的概括过程 如何理解 对应关系f 等 设计意图 回顾函数概念的概括过程 体会通过归纳具体事例的共同本质特征得出数学概念的方法 体会用函数概念描述变量之间依赖关系的过程与方法 体会抽象符号f A B的含义 目标检测设计 1 教科书的相关习题 2 用尽量多的具体情境解释函数y ax2 x 0 的对应关系 3 联系自己的生活经历和实际问题 举出一些函数的实例 希望包括一些只能用图像或表格表示的函数 设计意图 加深 对应关系 的理解 学生能举出丰富的函数例子 是理解函数概念的重要标志 九 重结果轻过程的危害 数学是思维的科学 数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中 思想 是概念的灵魂 是 数学素养 的源泉 是从技能到能力的桥梁 过程 是 思想 的载体 是领悟概念本质的平台 是思维训练的