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西南大学 数学与统计学院2012级一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点,组成的四面体的体积是_16_.2.已知向量,则=_(-2,-1,0)_.3.点到直线的距离是_.4.点到平面的距离是_.5.曲线C:对xoy坐标面的射影柱面是_,对yoz坐标面的射影柱面是_,对xoz坐标面的射影柱面是_.6.曲线C:绕轴旋转后产生的曲面方程是_，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是_.7.椭球面的体积是_40_.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里是3个非零实数.解: 设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为，在平面上的射影点为，则，于是，所确定的平面方程是即 . 2.已知空间两条直线,.(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程.证明：(1) 的标准方程是，经过点，方向向量的标准方程是，经过点，方向向量，于是，所以和是异面直线。(2) 由于，和间的距离 (3)公垂线方程是，即。3.求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.解：设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是，（1）又 ，（2）由（1）（2）消去得到.4.已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点,(1)求经过点两条直母线方程及其夹角;(2)求这两条直母线所在的平面的方程及平面与腰椭圆所在平面的夹角.解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是与把点分别代入上面两方程组，求得代入直母线方程，得到过点的两条直母线与，即与两直母线的方向向量可分别取和，设两直母线的夹角是，则有，.（2）两直母线所在平面的方程是，即显然平面与腰椭圆所在的平面的夹角是0. 四、证明题(共2题,第一题10分,第二题15分,共25分)1.求证:曲线在一个球面上,这里的. 证明:设，则有，即所以曲线在球心为,半径为的球面上。2.证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.证明: (1) 双曲抛物面的u族直母线中任一条直母线都平行于平面,v族直母线中任一条直母线都平行于平面,因而结论成立.-5分 (2)不妨取u族直母线来证明，任取u族直母线中两条直母线：和 ：其中.由于的第一个方程表示的平面平行于的第一个方程表示的平面,即和在两个平行平面上,因而和不会相交.又
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