高中数学 精讲优练课型 第一章 集合与函数的概念 1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合的表示课件 新人教版必修1.ppt

第2课时集合的表示 知识提炼 1 列举法表示集合 1 定义 把集合的元素 出来 并用 括起来表示集合的方法 2 形式 a a1 a2 a3 an 一一列举 花括号 2 描述法表示集合 1 定义 用集合所含元素的 表示集合的方法 2 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 一般符号 取值 或变化 范围 共同特征 即时小测 1 思考下列问题 1 地球上的四大洋 能组成一个集合吗 它有几个元素 你能把这个集合表示出来吗 提示 地球上的四大洋是具体明确的 可以组成集合 它有4个元素 该集合可以表示为 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 2 你能应用列举法表示不等式x 7 3的解集吗 为什么 提示 因为这个集合中的元素有无数个 是列举不完的 而且没有明显的规律性 所以不能应用列举法表示该集合 3 集合 x n x3 x 与集合 1 0 1 相等吗 提示 不相等 因为 x n x3 x 0 1 2 若p 1 1 2 则集合p中元素的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 1 2 为一个元素 1是一个元素 共2个 3 用列举法表示集合 x x2 3x 2 0 为 a 1 2 b 2 1 c 1 2 d x2 3x 2 0 解析 选c 解方程x2 3x 2 0得x 1或x 2 用列举法表示为 1 2 4 用描述法表示大于1且小于3的实数的集合为 解析 大于1且小于3的实数的集合为 x 1 x 3 答案 x 1 x 3 知识探究 知识点1列举法表示集合观察图形 回答下列问题 问题1 上图中的鸡 鸭 鹅组成的集合能否用列举法表示 如何表示 问题2 列举法表示集合的适用范围是什么 用列举法表示集合时应注意什么 总结提升 1 列举法表示集合的适用范围通常适用于元素个数有限的集合 但也可以表示元素个数无限的集合 若元素的个数比较少 用列举法表示比较简单 若集合中的元素个数比较多或无限多 但呈现一定的规律性 在不发生误解的情况下也可以列举出几个元素作为代表 其他的元素用省略号表示 2 用列举法表示集合的注意点 1 元素间用分隔号 2 元素不重复 3 元素无顺序 4 元素不能遗漏 5 用列举法表示有特殊规律的元素个数无限的集合时 必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号 如正整数集可表示为 1 2 3 4 知识点2描述法表示集合观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 描述法的适用范围是什么 问题2 一个集合是否既可用列举法表示也可用描述法表示 总结提升 1 描述法的适用范围 表示的关键及特点 1 适用范围 通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合 或者根本就不能一一列举的集合 2 关键 找到集合中的元素及所具有的共同特征 3 特点 能抓住集合的本质 清楚所要表示集合的属性 2 描述法表示集合时应关注的四点 1 写清集合中的代表元素 可以是数 点 式子或其他类型 一般地 用一个字母代表数集中的元素 用一个有序实数对代表点集中的元素 2 竖线后说明该集合中元素具有的性质 如满足方程 组 不等式 组 函数或几何图形等 3 描述部分若出现元素符号以外的字母时 要对新字母说明其含义和指出其取值范围 4 多层描述时 应当准确使用 且 和 或 所有描述的内容都要写在集合内 拓展延伸 常用的两种描述方式 1 文字描述法 将说明元素性质的一句话写花括号内表示集合的方法 如三角形的全体组成的集合可表示为 x x是三角形 2 符号描述法 将集合中元素的性质用数学符号表示出来 一般格式是 x i p x 其中x是所有元素的代表 p x 表示共同特征 题型探究 类型一列举法表示集合 典例 1 用列举法表示下列集合 1 我国的直辖市组成的集合为 2 联合国安理会五大常任理事国组成的集合为 2 用列举法表示下列给定的集合 1 大于1且小于6的整数组成的集合a 2 方程x2 9 0的实数根组成的集合b 3 小于8的质数组成的集合c 4 一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合d 解题探究 1 典例1中用列举法表示集合首先要确定什么 提示 用列举法表示集合应首先确定集合中的元素 2 典例2中数集和点集中的元素有什么不同 提示 元素类别不同 点集中的元素是点 而数集中的元素是数 解析 1 1 我国的直辖市有四个 北京 上海 天津 重庆 即我国的直辖市组成的集合为 北京 上海 天津 重庆 2 联合国安理会五大常任理事国有 中国 美国 俄罗斯 法国和英国 即联合国安理会五大常任理事国组成的集合为 中国 美国 俄罗斯 法国 英国 答案 1 北京 上海 天津 重庆 2 中国 美国 俄罗斯 法国 英国 2 1 大于1且小于6的整数包括2 3 4 5 所以a 2 3 4 5 2 方程x2 9 0的实数根为 3 3 所以b 3 3 3 小于8的质数有2 3 5 7 所以c 2 3 5 7 4 所以一次函数y x 3与y 2x 6的交点为 1 4 所以d 1 4 方法技巧 用列举法表示集合应注意的三点 1 用列举法表示集合 要分清是数集还是点集 2 列举法适合表示元素个数有限的集合 当集合中元素个数较少时 用列举法表示集合比较方便 3 搞清集合所含元素有限还是无限 是选择恰当的表示方法的关键 补偿训练 用列举法表示下列集合 1 方程 y 1 0的解集 2 正奇数组成的集合 解析 1 由方程 y 1 0可知 从而方程解集用列举法表示为 2 1 2 正奇数组成的集合可用列举法表示为 1 3 5 7 类型二描述法表示集合 典例 用描述法表示下列集合 1 被3除余2的正整数的集合 2 平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合 解题探究 典例中用描述法表示集合时 解题顺序是什么 提示 先找出代表元素 再在竖线后写出该集合中元素的公共属性 解析 1 设被3除余2的数为x 则x 3n 2 n z 但元素为正整数 故x 3n 2 n n 所以被3除余2的正整数集合可表示为 x x 3n 2 n n 2 坐标轴上的点 x y 的特点是横 纵坐标中至少有一个为0 即xy 0 故坐标轴上的点的集合可表示为 x y xy 0 延伸探究 1 变换条件 本例 2 改为 用描述法表示平面直角坐标系中位于第四象限的点的集合 解析 位于第四象限的点 x y 的横坐标为正 纵坐标为负 即x 0 y0 y 0 2 变换条件 本例 2 改为 用描述法表示图中阴影部分点 含边界 的坐标的集合 不含虚线 解析 图中阴影部分表示点 且点的横坐标满足 1 x 2 纵坐标满足 y 1 且xy 0 故可将图中阴影部分中的点表示为 x y 1 x 2 y 1 且xy 0 方法技巧 描述法表示集合的步骤 1 确定集合中元素的特征 2 给出其满足的性质 3 根据描述法的形式写出其满足的集合 补偿训练 用另一种方法表示下列集合 1 x x是绝对值不大于2的整数 2 x x x x 5且x z 3 3 1 1 3 5 解析 1 绝对值不大于2的整数为 2 1 0 1 2 可用列举法表示为 2 1 0 1 2 2 因为x x 所以x 0 又因为x z且x 5 所以x 0或1或2或3或4 所以集合可以用列举法表示为 0 1 2 3 4 3 3 1 1 3 5每相邻的两个数相差2 可用描述法表示为 x x 2k 1 1 k 3 k z 类型三集合表示方法的应用 典例 1 2015 昆明高一检测 设 5 x x2 ax 5 0 则集合 x x2 5x a 0 中所有元素之和为 2 已知集合a x x2 ax b 0 若a 2 3 求a b的值 解题探究 1 典例1中 5 x x2 ax 5 0 的含义是什么 提示 含义是 5是方程x2 ax 5 0的一根 2 典例2中集合a的元素是什么 两集合相同有什么条件 提示 元素是方程x2 ax b 0的解 两集合相同时 两集合中的元素相同 解析 1 因为 5 x x2 ax 5 0 所以25 5a 5 0 所以a 4 代入方程x2 5x a 0得x2 5x 4 0 解得x 1或4 所以集合 x x2 5x a 0 1 4 集合 x x2 5x a 0 中所有元素之和为5 答案 5 2 由a 2 3 知 方程x2 ax b 0的两根为2 3 由根与系数的关系得 因此a 5 b 6 方法技巧 识别集合含义的两个步骤 1 一看代表元素 例如 x p x 表示数集 x y y p x 表示点集 2 二看条件 即看代表元素满足什么条件 公共特性 变式训练 已知f x x2 ax b a b r a x r f x x 0 b x r f x ax 0 若a 1 3 试用列举法表示集合b 解析 因为f x x 0 即x2 a 1 x b 0 又因为a 1 3 所以由根与系数的关系 得所以所以f x x2 3x 3 f x ax 0 亦即x2 6x 3 0 所以b x r x2 6x 3 0 3 2 3 2 补偿训练 下面三个集合 x y x2 1 y y x2 1 x y y x2 1 1 它们是不是相同的集合 2 它们各自的含义是什么 解析 1 由于三个集合的代表元素互不相同 所以它们是互不相同的集合 2 集合 x y x2 1 的代表元素是x 满足条件y x2 1中的x r 所以实质上 x y x2 1 r 集合 y y x2 1 的代表元素是y 满足条件y x2 1中y的取值范围是y 1 所以 y y x2 1 y y 1 集合 x y y x2 1 的代表元素是 x y 可以认为是满足y x2 1的有序数对 x y 的集合 也可以认为是坐标平面内的点 x y 组成的集合且这些点的坐标满足y x2 1 易错案例灵活应用描述法与列举法表示集合 典例 集合a 0 1 集合b x y x a y a 用列举法表示集合b为 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里 提示 错误的根本原因是对描述法表示集合的含义理解不够透彻 误认为x和y的值不能相等 漏掉 0 0 1 1 两个元素而致错 自我矫正 因为a 0 1 集合b中元素为 x y 且x a y a 所以当x 0时 y 0 1 即此时点为 0