Ch5静定平面桁架.doc

Ch5静定平面桁架5.1桁架及组成一.桁架的几点假设（1）各结点都是光滑无摩擦的铰结点（2）各杆轴均为直线，并通过铰中心（3）荷载都作用于结点上，各杆均为二力杆二.桁架的组成及分类（1）简单桁架：由一个铰接三角形出发，接连添加二元体构成内部几何不变体（2）联合桁架：由两（或几）个简单桁架按两刚片或三刚片连接规则组成几何不变体，再与基础联系。（3）复杂桁架很难用两刚片或三刚片连接规律加以分析.5.2桁架内力的数值解法对斜杆ij可求出某一分量，再求另一分量或轴力NNlylxlji一.结点法零力杆N2N1N1N2N3N4N1=N2N3=N4N1=-N2特殊平衡例1 求图示各杆的内力AFE2m3m4m4mPPDCBA1.自由度2.几何组成（如图）3.判断零力杆 N8PN8N7D4.结点D其中 因此N7N3EPPPN15.结点EN1N1N8N6N46.结点F例2 试用结点法求例图2(a)所示桁架的各杆内力。 解 1求支座反力 由于无水平外力作用，故水平反力。可由对称性判断 2求内力 由对称性判断 结点C(图(b) 由比例关系 (压力)，结点F（图（c）结点A（图（d）由比例关系结点G（图（e），由比例关系3校核。结点J（图（f）结点J满足平衡条件，故知计算正确。讨论：本例为简单衍架，按照结点法求内力的特点，先从两未知力结点开始并逆桁架组成次序截取结点。为了简化计算，遵循了先判断零杆、后计算的原则。二.截面法1简单截面法：一个截面截断任三根杆件2特殊的截断三根以上的杆件3两刚片构成的桁架4三刚片构成的桁架（分别用两个截面联立求解，或采用三铰拱的方法）例3 试求例图3(a)所示桁架指定杆件的内力。解 本例为联合桁架，每个结点至少有三个未知力，宜用截面法求解1 求支座反力由整体平衡条件求得2 求内力左（图(b) (压力)左（图(c)） 左 (图(d) 由比例关系 (压力)例4 试求例图4(a)所示桁架指定杆件的内力。解 本例为联合桁架，属于三刚片结构、不能由整体平衡条件求得全部反力。宜联合应用结点法和截面法求所需反力和指定杆件内力。1求水平反力由整体平衡条件 得2求内力结点B II左(图(b) 得故讨论 在截面II以左的隔离体上，包含三个未知力：。其中为两平行力。选择垂直于的投影轴，建立独立的投影方程，求得和后，则易求解和。例5试求例图5（a）所示桁架指定杆件的内力解 本例为联合桁架由铰E、虚铰和联结基础和两个简单桁架形成，属于三刚片结构。 1求反力及以上（图(b)）将轴力平移至 （1）以上（图(C)）将轴力平移至F （2）联立求解式（1）、（2）得：2求轴力以右以右（图略）由比例关系得讨论： 计算本例的关键问题是先求出反力和在刚片之间起约束作用的杆件BI的内力分量，由此可顺列求得其余杆件内力。 例6 试求例图6(a)所示桁架指定杆件内力。 解 本例为联合杵架，属于主从结构。ABDEFG为基本部分，JHC为附属部分，判断零杆示于图中。1求和附局部分JHC(图(b)2求-以上(图(c) -以左(图(d) 例7 试求例图7(a)所示桁架指定杆件内力解 本例为联合桁架，为三刚片结构。如用结点法求内力，则任取一个结点都包含三个未知力，若用截面法，则任作一般截面都截到四根杆件，无法直接求得和。现作闭合截面II，则所截四根杆件中，除之外，其余三杆均交于结点C(图(b)：，-以上(图(c)结点D（图（d）结点E（图（e）讨论 本例通过选取闭合截面II先求得辅助杆GE的内力分量，然后据此求得指定杆件的内力。在有些情况下，选取闭合截面可直接求得指定杆件内力。例221 试利用对称性求例图221(a)所示桁架指定杆件的内力。解：将荷载分解为正对称与反对称两组（图（b）、（c），分别计算正对称与反对称情况下的杆件内力，然后叠加。1正对称情况 荷载为正对称时，位于对称轴位置的四杆无荷载K形结点上结点A(图d) 结点D(因e) 2反对称情况荷载为反对称时，与对称轴成正交的杆件内力结点D(图f) 将和代人上式，则有联立求解得结点E(图g) 3 求最终内力讨论1在对称荷载作用下，位置对称的杆件内力同号、等值、据此判断。2在反对称荷载作用下，位置对称的杆件内力异号、等值，据此判断与对称轴重合或正交的杆件为零杆，所以。例222 试计算例图222(a)所示组合结构，作弯矩图解：1.求支座反力。由整体平衡条件求得2求CD杆轴力和铰F的约束力-右（图（b）3求杆端弯矩，作M图。求得根据各杆的杆端弯矩按结点平衡条件和叠加法作M图,如图（c）所示。讨论：求解本例需分清链杆和梁式杆。轴力不可以由结点D按结点法求得。例223试求例图223(a)所示组合结构的支座反力、C铰约束力及轴力杆ED，DF的内力。 解 本例组合结构为三刚片结构，可按不同途径求解。1先求和整体(图(a) II以上(图(b)（1）CHB(图c) 。将代入得（2）联立求解式(1)、式(2)，得 结点D 2先求整体（图（a）CHB（图（c）(1)CGA（图（d）(2)联立求解（1）、（2）得：CHB（图（c）讨论 本例的两种计算途径具有的共同特点是，根据计算目标，选取相应的隔离体，建立只包含两个未知力的联立方程和只含一个未知力的独立方程，计算较为简捷。 求解此类结构的支座反力，均宜以简捷为原则，先作分析，确定欲先求出的计算目标和相应的隔离体。例224 试求例图z34(a)所示组合结构中各链杆的轴力，井作受弯杆件的弯矩图解 本例为主从结构。柱CG为基本部分，折杆AD和BF为附属部分。计算顺序为CG1求支座反力和链杆轴力BF(图(b) 结点E(图略)AD(图(c) 由于基本部分为悬臂杆，所以不需要计算支座反力。2作弯矩图求出各杆杆端弯短后，作弯矩图如图(d)所示。例225 试作例图225(a)所示结构的弯矩图，求轴力 解 本例组合结构内部按三刚片规则组成。将折杆AFE和BGE视为两等效链杆，则刚片DE，AC，CB之间由互不平行的两对平行链扦相联。由于两虚铰为无穷远，所以，不能按通常求三刚片结构支座反力的方法求内部约束力。1求支座反力，由整体平衡条件，求得2求轴力和控制截面剪力结点D(图(b) （1）II 以下(图(c)（2）AC(图(d) （3）联立求解（1）、（2）、（3），得结点A（图略）AE（图c）AEB（图略）3绘M图。控制截面弯矩值按结点力矩平衡和叠加法作M图如图（f）所示例226 试作例图226(a)所示结构的弯矩图。解 本例组合结构内部为主从结构。AEGCD(或(CHFDB)为基本部分。CHFDB(或AEGCD)为附属部分。1求支座反力由整体平衡条件，求得2求约束力和连杆轴力。CHFDB（图（c） CHF（图（d） 将约束力反力作用于基本部分（图（b），取出CGE（图（e），由 3作M图，由已求的约束力，可求得控制截面弯矩作M图如（f）所示讨论 本例铰C和铰D为复铰，各联结三个截面。取隔离体时须注意在截开断面处正确示出内力，不能和其他杆端的内力混淆。例如，在图(c)和图(d)中未截取CD杆，所以应在截面示出的是，而不是。PP1221191021ACB3456784aaP例2 求1，6杆内力截面整体VBPVAN1N10N2N11N6由-截面212m33m52mPPPHAHBDCBA例3 求1，2，3杆的内力由-截面，取左段 取右段整体由-截面，取右段（略图）AN2N4N3O2O14a3a4A32163a例4 求桁架中1，2，3杆的内力由-截面，取左部由-截面，取右部联立求解前几式 由-截面，取左部31m22mPDCBA 由A节点 例5 求1杆的内力设由对称性=0PPP-P-P-P000000P由A节点=0 例6 确定所有零力杆（共6根）yS11S8S6S1PPPPPP1110987654321aaaa例7 求各杆内力由-截面取右部，例8 求桁架中1，2，3杆的内力设2杆的内力为x，则标出桁架上相应的内力由-截面取上部S3S1PDxS1xxCDCBA00000-x-x-xxxxxx321aaaaaaaN1N1P0C节点 D节点 对称性的利用利用对称性和反对称性的性质可将复杂的桁架计算简化P/4P/4PGBAOPPPPPPP/2P/2P/2P/2PP21aaaaaa2PP例9 利用对称性和反对称性的性质求桁架中1，2杆的内力a 对称荷载由-截面取左边对O取矩 b反对称荷载，B约束为零由-截面取左边对A取矩 由-截面取右边对G取矩 因此PA1PA1C1EA10A1A1A1D1B1A1例10 求出桁架的支反力和-取左下部分整体5.3 各式桁架的比较 一.梁式桁架1.抛物线形：上弦各结点位于对称的二次抛物线上，上下弦杆的水平分力各大小相等，各斜杆（及竖杆）内力均为零。特点：弦杆内力分布均匀，用料经济，但上弦结点构造各异，施工麻烦，适宜于较大跨度的结构上采用。2.三角形：各杆受力很不均匀，且端结点构造困难，但因适于双坡排水，故常用于较小跨度的屋盖中。3.平行弦桁架：内力分布不均匀，但可采用较少规格的杆件与结点，利于标准化，对于各类跨度的结构仍是经济的。4.其它桁架（折弦桁架，梯形桁架等）。二.拱式桁架可用于跨度较大的结构，但实际工程结构中静定的拱式桁架较少采用。主要有三铰拱式桁架，链式下承桁架，链式上承桁架。后两种的拱链结点都落在二次抛物线上。5.4组合结构的内力计算组合结构的组成：两类杆件（1）梁式杆（2）二力杆（链杆）加劲梁悬索下撑式三铰屋架悬吊式桥梁计算图形组合结构中的链杆使梁式杆的支点间距减小或产生负向弯距，改善了受弯杆的工作状态。注意两点：（1）联系着上述两类杆件的结点与桁架结点应予区别。 （2）由截面截断受弯杆件时，将露出三个未知力，因此应尽量使截面通过受弯杆的端铰。计算方法截面法，结点法。MDAMDBQDAQDBNDANDBNCDNCBNCDNCBMQNPPDBCDCBA（1） 区分截断杆性质（梁式杆）（二力杆）（2） 区分铰结点（完全铰结点，不完全铰结点）（3） 计算步骤：先链杆后梁式杆N1M4.5kNm-6kN-3kN3kN43m1kN/mEGCCDDFFBAA3mNQ例1 作组合屋梁的内力图1计算约束反力2由-截面取一半由D结点 1 梁式杆内力N1 DNDFNDANDCCD2m2m6m6mGFEDCBA3m例2 求图示结构各杆轴力和受弯构件的弯矩图本结构对称，由对称性，铰C处的剪力为零。例3 求组合结构各链杆的轴力，作出受弯构件的弯矩图10046.6746.67q=20kN/m3m3m4m2mP=20kN140kNm303093.3346.6746.67HCNDBVCqP40kNm405.5约束代替法对一些无法用两刚片或三刚片组成规则构成的静定结构，适用于约束代替法。aaaaaaC212PPAB思路：在原体系上撤去某个或某些约束，代之以相应的约束未知力X，将这些约束添加到该结构的另外位置上，从而形成一个简单的体系，这些添加进去的约束称为代替约束。S代替约束内力S1X1被撤约束力X1引起的代替约束内力S0由原荷载引起的代替约束的内力例1求图示杆1，2的内力D4411E1E1G1G1GGEE00000A2PPCBACB解法一:（a）杆件替换将C处支撑去掉，在G点加一支撑(b)外荷载作用在代替结构由E1结点 由B结点 （c）单位荷载作用代替结构由-截面取右由D结点 整体- (d)消除替代杆内力 (e)计算1，2杆内力X1C212PPAB 解法二：（a）杆件替换(b)外荷载作用在代替结构先求出A和C端的约束反力（如图）由-截面取左部DDC212PPAX1=1C21AB21PB（c）单位荷载作用代替结构由-截面取左部(d)消除替代杆内力(e)计算1，2杆内力B1PDCA例2 用约束代替法求1杆的内力1 杆件替换2 荷载作用下替换杆的内力由- 3 单位荷载作用下的替换结构4 由代替约束内力为零5.1杆内力（图中尺寸未注）-101111111-10010P000000PDCBAP2a115a5a例3用约束代替法求1杆的内力1 杆件替换2 荷载作用下替换杆的内力由-截面 3 单位荷载作用下的替换结构 4 由代替杆件内力为零5.1杆内力5.6零载法判别复杂体系的几何组成属性检验瞬变桁架的零载法当桁架是静定而且是几何不变时，在一组确定的荷载作用下，桁架内力只有唯一的一组确定的解答。反之，如果在一组确定的荷载作用下，桁架内力的解答可以不只一组时，则桁架必为瞬变体系。零载法：假设一组数值为零的荷载作用在桁架上，如桁架是静定且几何不变的，则桁架各杆内力必为零，而且是唯一的零解。反之，若桁架杆件的内力不为零也能满足平衡条件，说明零解并非唯一解答，此桁架必为瞬变体系。 用零载法检验桁架是否瞬变时，常用反证法。先假设桁架的荷载为零，然后假定桁架中某一杆件的内力为不等于零的某一任意数值，检查桁架各结点是否满足平衡条件，若能满足，表明桁架还存在非零碎解，桁架为瞬变体系，若任意内力不能满足平衡条件，则表示零解是桁架的唯一解答，桁架体系是几何不变的。例 1检验图示平面桁架是否几何不变，已知ABCD为矩形，E、F、G、H为各边中点。HGFEDCN1BA