立体几2012浙江五地市高考复习研讨会材料：何备考之浅见.20120227doc.doc

立体几何备考之浅见新昌中学 梁美兴一新课程浙江卷立体几何考题结构特点 1.文科年份题号分值 考查内容09高考45位置关系124三视图1914线面平行，线面角10高考85三视图（体积）2014线面平行，线面角11高考45位置关系75三视图2014线线垂直，二面角12样卷55位置关系75三视图（组合体体积）2014线面平行，线面角 2.理科年份题号分值内容09高考55三棱柱中线面角124三视图（组合体体积）174变量范围（矩形翻折）2014线面平行，线面垂直的探索，点线距10高考65位置关系124三视图（体积）2014二面角，长度（翻折）11高考45三视图75位置关系2014线线垂直，直二面角的探索12样卷55位置关系134三视图2014线面平行，二面角二、考纲和考试说明研读1.空间几何体：要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对结构特征的了解，认识三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好表面积和体积的计算2.空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法理解两条异面直线所成角、直线和平面所成角，二面角的概念.3.空间向量：（文科）要求比较简单，只需了解空间直角坐标系，会写点的坐标，掌握两点间距离公式。（理科）重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练三、展望2012高考1.以选择题的形式考查空间点、直线、平面的位置关系依旧是不变的旋律，重点仍然是空间线面平行和垂直关系.试题难度为中档.2.以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等2.文科以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是线面角理科以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，特别是二面角，探究性的问题在这里得到体现.四常考考点突破1.三视图的辨别与应用对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置以三视图为载体考查几何体的体积与表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系2. 求几何体的体积与表面积当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素3.平行与垂直在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直4. 与球相关的问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图5. 异面直线所成的角异面直线所成的角以客观题出现,也在解答题的某一问中出现,方法灵活,难度不大.主要通过平移把空间问题转化为平面问题,或通过向量的坐标运算求异面直线所成的角,以此来考查空间想象能力和思维能力,利用几何法或向量法解决立体几何问题的能力.6. 线面角求线面角,解题时要明确线面角的范围,利用转化思想,将其转化为一个平面内的角,通过解三角形来解决.求解的关键是作出垂线,即从斜线上选取异于斜足的一点作平面的垂线.有时也可采用间接法和空间向量法,借助公式直接求解.7. 二面角在充分理解掌握二面角的定义的基础上,灵活应用定义法、三垂线定理法、垂面法等确定二面角的平面角,其中面面垂直的性质定理是顺利实现转化的纽带.有时也可不用作出二面角而直接求解,如射影面积法、空间向量法等.8. 空间向量的应用用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题9. 探索性问题（1）对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证. 如解决探究某些点或线的存在性问题,一般的方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直),再证明其符合要求,一般来说与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形.另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.（2）空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有规定范围内的解”,所以使问题的解决更简单,有效,应善于运用这一方法解题.四.教学设计案例举例 1.证明平行与垂直例1.已知：正方体， E为棱的中点求证：；求证：平面 .分析：常见图形正方体中的问题解决,讲究通法.ABCDE例2. 多面体中，。（1）求证：；（2）求证：分析：不常见图形中的问题解决 ,讲究如何添加辅助线. 例题3如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2.E， F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD(图(2)(1)求证：AP平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，试给出证明分析;翻折问题是高考的热点,必须高度重视.(1)证明E、F分别是PC，PD的中点，EFCDAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.同理：EG平面PAB.平面EFG平面PAB.又AP平面PAB，AP平面EFG.(2)解取PB的中点Q，连结AQ，QD，则PC平面ADQ.证明如下：连结DE，EQ，E、Q分别是PC、PB的中点，EQBCAD.平面PDC平面ABCD，PDDC，且平面PDC 平面ABCD = DCPD平面ABCD.PDAD，又ADDC，AD平面PDC.ADPC.在PDC中，PDCD，E 是PC的中点DEPC，且AD DE =D PC平面ADEQ，即PC平面ADQ.2.角的求解例题1已知所在的平面互相垂直，且，求：直线AD与平面BCD所成角的大小；BDPCA 直线AD与直线BC所成角的大小；二面角A-BD-C的余弦值【点评】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“一作二证三写”格式。向量法要求建系，写坐标，求法向量，转化角。例题2.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小BDPCA解析一BDPCA解析三EFGBDPCA解析二解析1.定义法 过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可，下略.BDPCA解析四解析2.垂面法易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解解析3.利用三垂线求解.把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F