ax2+bx+c的图象和性质（二）课件 （新版）新人教版.ppt

第二十二章二次函数 22 1 4二次函数y ax2 bx c的图象和性质 二 九年级数学 上新课标 人 待定系数法求二次函数解析式 2015 齐齐哈尔一模 已知一个二次函数的图象经过a b和c 1 2 三点 1 求出这个二次函数的解析式 解 1 设二次函数的解析式为y ax2 bx c 考查角度1设一般式求二次函数解析式 例1 解析 题目给出抛物线上的三个点的坐标 可设一般式求抛物线解析式 根据题意得 所以二次函数解析式为y x2 x 解得 2 若函数的图象与x轴相交于点e f e在f的左边 求 efb的面积 解析 先求出e f两点的坐标 然后根据三角形面积公式求解 解 2 当y 0时 x2 x 0 解得x1 1 x2 3 所以e点坐标为 1 0 f点坐标为 3 0 所以 efb的面积 3 1 3 3 填空 把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位 使得该图象的顶点在原点 1 2015 巴中模拟 二次函数的图象经过点a 0 3 b 2 3 c 1 0 1 求此二次函数的关系式 解 1 由题意设二次函数解析式为y ax2 bx 3 把 2 3 1 0 代入得解得 y x2 2x 3 2 求此二次函数图象的顶点坐标 2 y x2 2x 3 x 1 2 4 函数图象的顶点坐标为 1 4 5 考查角度2设顶点式求二次函数解析式 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为 1 2 且图象过点 1 3 1 求这个二次函数的关系式 2 写出它的开口方向 对称轴 例2 解析 已知抛物线的顶点 可设顶点式 再用待定系数法求二次函数的解析式 进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴 解 1 抛物线的顶点坐标为 1 2 设函数解析式为y a x 1 2 2 把 1 3 代入解析式 得 3 a 1 1 2 2 解得a 抛物线的解析式为y x 1 2 2 2 由 1 可得抛物线的开口向下 对称轴为直线x 1 2 2015 吴兴区一模 已知二次函数的图象经过 0 0 且它的顶点坐标是 1 2 1 求这个二次函数的关系式 2 判断点p 3 5 是否在这条抛物线上 解 1 设抛物线的顶点式为y a x 1 2 2 将点 0 0 代入得a 2 0 解得a 2 所以抛物线的解析式为y 2 x 1 2 2 2 当x 3时 y 2 3 1 2 2 6 所以点p 3 5 不在这条抛物线上 考查角度3设交点式求二次函数解析式 如图所示 二次函数y ax2 bx c的图象经过a 1 0 b 3 0 c 0 3 三点 1 求这个二次函数的解析式 2 设该二次函数的图象与y轴交于点c 连接ac bc 求 abc的面积 例3 解析 1 a b两点是抛物线与x轴的交点 故可设交点式 再用待定系数法求二次函数的解析式 2 根据三角形的面积公式即可求解 解 1 二次函数y ax2 bx c的图象经过a 1 0 b 3 0 设二次函数的解析式为y a x 1 x 3 把c 0 3 代入 得3 a 0 1 0 3 解得a 1 这个二次函数的解析式为y x 1 x 3 x2 2x 3 2 a 1 0 b 3 0 ab 4 c 0 3 abc的面积 4 3 6 解题归纳 已知抛物线与x轴的两个交点的坐标 用待定系数法求二次函数解析式时 可设交点式 代入条件后得到一元一次方程 求解即可 3 已知抛物线y ax2 bx c与x轴交于点a 1 0 b 3 0 且过点c 0 3 1 求抛物线的解析式和顶点坐标 2 请你写出一种平移的方法 使平移后抛物线的顶点落在直线y x上 并写出平移后抛物线的解析式 解 1 抛物线与x轴交于点a 1 0 b 3 0 可设抛物线解析式为y a x 1 x 3 把c 0 3 代入得3a 3 解得a 1 故抛物线解析式为y x 1 x 3 即y x2 4x 3 y x2 4x 3 x 2 2 1 抛物线的顶点坐标为 2 1 2 先向左平移2个单位 再向下平移1个单位 得到的抛物线的解析式为y x2 平移后抛物线的顶点为 0 0 在直线y x上 答案不唯一 求抛物线解析式与几何问题的综合应用 2015 徐汇区一模 已知二次函数y ax2 bx c a b c为常数 且a 0 的图象经过a b c d四个点 其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表 1 求二次函数解析式 2 求 abd的面积 例4 解析 1 把点a b c的坐标代入y ax2 bx c 即可求出二次函数解析式 2 利用三角形的面积公式求解即可 考查角度1求抛物线解析式与求几何图形面积 解 1 把点a b c的坐标代入y ax2 bx c 得解得 所以二次函数解析式为y x2 3x 3 2 s abd 3 4 6 4 2015 静安区一模 已知在直角坐标平面内 抛物线y x2 bx 6经过x轴上两点a b 点b的坐标为 3 0 与y轴相交于点c 1 求抛物线的解析式 2 求 abc的面积 解 1 把点b的坐标 3 0 代入y x2 bx 6 得0 9 3b 6 解得b 5 抛物线的解析式为y x2 5x 6 2 由抛物线的解析式为y x2 5x 6 易知a 2 0 b 3 0 c 0 6 s abc 1 6 3 考查角度2求抛物线解析式与求线段和的最小值 如图所示 在平面直角坐标系中 抛物线y ax2 bx c经过a 2 4 o 0 0 b 2 0 三点 1 求抛物线y ax2 bx c的解析式 2 若点m是该抛物线对称轴上的一点 求am om的最小值 例5 解析 1 已知抛物线上不同的三点坐标 利用待定系数法可求出该抛物线的解析式 2 根据o b点的坐标发现 抛物线上o b两点正好关于抛物线的对称轴对称 那么只需连接ab 直线ab和抛物线对称轴的交点即为符合要求的m点 而am om的最小值正好是ab的长 解 1 把a 2 4 o 0 0 b 2 0 三点的坐标代入y ax2 bx c中 得 所以解析式为y x2 x 解这个方程组 得 2 由y x2 x x 1 2 可得抛物线的对称轴为直线x 1 并且对称轴垂直平分线段ob 如图所示 连接om bm 则om bm om am bm am 连接ab交直线x 1于m点 则此时om am最小 过点a作an x轴于点n 在rt abn中 ab 因此om am的最小值为 5 鸡西中考 如图6所示 抛物线y x2 bx c与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 且oa 2 oc 3 1 求抛物线的解析式 2 若点d 2 2 是抛物线上一点 那么在抛物线的对称轴上是否存在一点p 使得 bdp的周长最小 若存在 请求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 oa 2 oc 3 a 2 0 c 0 3 c 3 将a 2 0 代入y x2 bx 3 得 2 2 2b 3 0 解得b 可得函数解析式为y x2 x 3 2 如图6所示 连接ad 与对称轴相交于点p 由于点a和点b关于对称轴对称 所以bp dp ap dp 当a p d共线时 bp dp ap dp最小 设直线ad的解析式为y kx m 将a 2 0 d 2 2 分别代入得 解得 故直线ad的解析式为y x 1 2 x 2 由于二次函数图象的对称轴为直线x 则当x 时 y 1 故p 考查角度3二次函数的探究问题 如图所示 直线y 3x 3交x轴于a点 交y轴于b点 过a b两点的抛物线交x轴于另一点c 3 0 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上是否存在点q 使 abq是等腰三角形 若存在 求出符合条件的q点坐标 若不存在 请说明理由 例6 解析 1 由直线的解析式确定a b两点的坐标 然后用两根式求抛物线解析式 2 分ab aq ba bq qa qb三种情况讨论 解 1 直线y 3x 3交x轴于a点 交y轴于b点 a点坐标为 1 0 b点坐标为 0 3 又 c 3 0 即a b c三点中有两点在x轴上 设抛物线的解析式为y a x 1 x 3 把b 0 3 代入 得a 0 1 0 3 3 解得a 1 y x 1 x 3 x2 2x 3 2 存在 y x2 2x 3 x 1 2 4 该抛物线的对称轴为直线x 1 设q点坐标为 1 m 则aq bq ab 当ab aq时 解得m q点坐标为 1 或 1 当ab bq时 解得m 0或m 6 q点坐标为 1 0 或 1 6 当aq bq时 解得m 1 q点坐标为 1 1 抛物线的对称轴上存在着点q1 1 q2 1 q3 1 0 q4 1 6 q5 1 1 使 abq是等腰三角形 ab 3 1 4 abd的面积为 4 4 8 3 不在 理由如下 aoc绕点c逆时针旋转90 co落在ce所在的直线上 由 2 可知oa 1 点a的对应点g的坐标为 3 2 当x 3时 y 32 2 3 3 0 2 点g不在该抛物线上 6 连云港中考 如图所示 抛物线y x2 bx c与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 点o为坐标原点 点d为抛物线的顶点 点e在抛物线上 点f在x轴上 四边形ocef为矩形 且of 2 ef 3 1 求抛物线所对应的函数解析式 2 求 abd的面积 3 将 aoc绕点c逆时针旋转