2015届高考数学(文)一轮复习讲义：11.4数系的扩充与复数的引入(人教A版).doc

第四节数系的扩充与复数的引入考情展望以客观题的形式考查复数的有关概念、复数相等的充要条件及复数代数形式的运算有时与集合、充分必要条件等知识结合命题，考查对复数基本概念的理解一、复数的有关概念1定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部(i为虚数单位)2分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b03.复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)4共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)5模：向量的长度叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)二、复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系三、复数的运算1运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR图11412几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图1141给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.1在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i【解析】A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.【答案】C2复数(i是虚数单位)的实部是()A. B C. D【解析】i，故选A.【答案】A3若z，则复数()A2i B2iC2i D2i【解析】z2i，2i.【答案】D4若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【解析】(ai)i1aibi，故应有a1，b1.【答案】D5(2013山东高考)复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25B.C5D.【解析】z43i，|z|5.【答案】C6(2013安徽高考)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3【解析】因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.【答案】D考向一 173复数的有关概念(1)(2013陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z20(2)(2012课标全国卷)下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2；p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i；p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，p3Bp1，p2 Cp2，p4Dp3，p4【思路点拨】(1)设zabi(a，bR)，结合选项逐一判断(2)把复数z化成mni(m，nR)的形式，然后根据复数的相关概念判断命题是否正确【尝试解答】(1)设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b都为0，即z为实数，正确选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误选项D，若z为纯虚数，则则z2b20，正确(2)z1i，|z|，p1是假命题；z2(1i)22i，p2是真命题；1i，p3是假命题；z的虚部为1，p4是真命题其中的真命题共有2个：p2，p4.【答案】(1)C(2)C规律方法11.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解.考向二 174复数的代数运算(1)(2013广东高考)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2B3C4D5(2)(2014武汉模拟)i为虚数单位，则2 015()Ai B1 Ci D1【思路点拨】(1)先求xyi，再求模；也可直接求模(2)先化简，再根据in的周期性求值【尝试解答】(1)法一因为i(xyi)34i，所以xyi43i，故|xyi|43i|5，故选D.法二因为i(xyi)34i，所以yxi34i，所以x4，y3，故|xyi|43i|5，故选D.法三因为i(xyi)34i，所以(i)i(xyi)(i)(34i)43i，即xyi43i，故|xyi|43i|5，故选D.法四|i(xyi)|34i|，|xyi|5.故选D.(2)2 011i2 011i3i.【答案】(1)D(2)A规律方法21.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；3.熟知“in”的周期性.,in的周期性,i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i(nN).对点训练(2013山东高考)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2iC5i D5i【解析】由(z3)(2i)5，得z3335i，5i.故选D.【答案】D考向三 175复数及其运算的几何意义如图1142，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,32i，24i，试求：图1142(1)对应的复数，对应的复数；(2)对应的复数【思路点拨】(1)，然后根据复数的几何意义求解；(2)根据复数减法的几何意义及求解【尝试解答】(1)，对应的复数为32i.，对应的复数为32i.(2)，对应的复数为(32i)(24i)52i.规律方法3复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.对点训练(1)图1143若i为虚数单位，图中1143复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AEBFCG DH(2)(2013湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.【解析】(1)由图可得z3i，2i.对应的点为(2，1)，即点H.(2)(2，3)关于原点的对称点是(2,3)，z223i.【答案】(1)D(2)23i思想方法之二十二解决复数问题的根本方法实数化复数集是实数集的推广和发展，在解决复数问题时，将复数问题转化为熟悉的实数问题，有助于解决问题复数问题向实数问题的转化，主要用于求实数、虚数、纯虚数、对应点在复平面的某一位置等，其转化的关键在于利用复数相等的条件解题复数转化为实数化的有效途径有以下四种：(1)复数的概念及分类；(2)复数的相等；(3)复数的模；(4)z与的关系：zR.1个示范例1个对点练(2013天津高考)已