第六章、数学公理化方法.doc

5.3 使用RMI方法的条件 从前述各例，我们可以归纳出正确使用RMI方法的条件。（1）映射须是两类数学对象之间的一一对应关系；（2）所采用的映射须是可定映的，即目标映象能通过确定的有限多个数学手续从映象关系结构系统中寻求出来；（3）相对的逆映射（反演）必须具有能行性，即通过目标映象能将目标原象的某种需要的性态经过有限步骤确定下来。以上几点也从另一角度说明，RMI方法并非是处处适应的万能法则。正确有效地应用RMI方法的关键显然在于引进合乎要求的映射，这就要求使用者在如下方面去努力：一是理解原象关系结构系统的能力；二是抽象分析的能力；三是运用数学手段的能力；四是掌握常用的方法与变换的能力；五是寻求反演公式与手段的能力。数学史的发展表明，谁能巧妙地引进非常有效且具有能行性反演的可定映射，谁就对数学的发展作出贡献。反之，正因数学自身的发展（特别是它的现代发展），不断产生了一些新的重要的映射工具，也就为RMI方法的运用展示了更广阔的前景。 129第六章 数学公理化方法数学公理化方法是一种演绎的方法，当一个理论体系达到充分发展，需要以演绎的形式来表达它的基本范畴之间，原理、原则之间的关系，形成逐渐演进和发展时，公理化方法是最为有力的手段。可以说，它对各门数学分支学科都产生着巨大的影响，即使在数学教育中，也起着重要的作用。6.1数学公理化方法的意义所谓公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和不加证明的原始命题（公理、公社）出发，按照逻辑规则推到出其他命题，建立起一个演绎系统的方法。数学发展的历史有力地表明公理化方法在数学方法中有着重要的意义。我们可以归纳出如下几点：1总结性：恩格斯说：“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。”这种方法将数学知识的概念、命题的形式进行了分析和总结，凡是得了公理化结构形式的数学，均可在已形成的逻辑关联中去使用。这不仅使其运用很方便，同时也促进了数学理论的发展。如概率论开始形成时，实践性很强，后来公理化了，理论就大大提高了一步；法国布尔巴基学派在三大结构基础上，建立了各种各样的公理化体系，对促进数学发展起了极大地作用。在近、现代，由于在各门数学中广泛采用公理化方法。形成了一批有影响的具有一定权威性的数学专著。如代数学中的范德瓦尔登所著 130近世代数（19301931年德文版，1948年英文版），作者在序言中认为，近世代数的扩大主要是由于公理化方法，应用此方法“产生了一系列新的概念，揭露了至今还未发现的内部联系，并且得到了许多有深远意义的成果，特别是在域论、理想数论、群论和结合代数方面”；在拓扑学中，如西尔品斯基拓扑学（1952年英文版），作者认为，用公理发研究拓扑学，除了叙述简洁之外，还可以培养抽象思维和逻辑证明的能力。因此，作者从弗雷舍（Frechet）空间出发得出其它具有更进一步规定的空间，然后逐步引入新的公理。这种方法类似于几何学中，从绝对几何出发，来逐步引入新的公理的方法；在集合论中，如贝尔奈斯和弗兰克尔的公理集合论，作者为消除集合论悖论，采用公理来限制集合概念，提出了现代的公理集合论系统集合论的形成系统。弗兰克尔称：“几乎所有数学和逻辑的分支与某些物理学以及其它科学的分支，从20世纪开始，都经过了公理方法的分析研究”；还有数学分析中迪多内的现代分析基础（1960年英文版，1964年俄译本），作者在序言中就提出，该书的目的之一，就是要使读者熟练使用当代最基本的数学方法公理化方法。因此，该书的一个显著特点就是严格地按照公理化方法，系统地使用向量空间概念，从集合论、实数理论开始，引申出度量空间、正规空间和希尔伯特空间等更一般的观点。2示范性：这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的鉴作用。例如，本世纪40年代波兰的巴拿赫曾完成了理论力学的公理化。物理学家还把相对论表述为公理化形式等等。因此，它在科学方法论上有示范作用和普遍意义，诚如希尔伯特所说：“任何能成为科学思想追索的对象，一旦理论上成熟，就会处于公理方法的主宰之下，因而就间接地处在数学的主宰之下。在17世纪，牛顿不是把他之前众多物理学家（如哥白尼，伽利略、开普勒等）研究的力学知识看成互不关联的经验知识，而是采用欧几里得的公理方法把力学定理组成一个有机的整体，把它们排列成逻辑的体系，从少数几条公理（牛顿三大运动定律）出发，按照数学的逻辑推理把力学定律逐个地必然地引申出来。如下是欧几里得的几何原本与 131牛顿的自然哲学的数学原理的逻辑结构比较，读者不难看出它们的异曲同工之处。几何原本（1）从一些概念的定义开始：定义1 点没有部分。定义2 线有长度没有宽度。定义3 线的界限是点。定义4 直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。定义5 面只有长度和宽度。（2）引进公社和公理，即不加证明而采用的命题：公社 从每个点到每个别的点必定可以引直线。公社 每条直线都可以无限延长。公理 等于同量的量相等。公理 等量加等量得到等量。（3）根据公社和公理进行证明：定理1 自然哲学的数学原理定义1 物质的量是用它的密度和体积一起来量度的。定义2 运动的量是用它的速度和质量一起来定义3 定义4 外加力是一种为了改变一个物体的静止或等速直线运动状态而加于其上的作 用力。规律1 每个物体继续保持其静止或沿一直线作等速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。规律2 运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。 132规律3 每一个作用力总是有一个相等的反作用和它相对抗。定理1 3简洁性：由极少量的原始定义和公理，可以演绎出内容浩繁的理论体系，从此意义上看，只有用公理法才能把握住庞大理论体系的“脉搏”。早在300多年前，牛顿就由衷赞曰：“几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而能得到如此之多的结果。”4系统性：由于公理方法是靠逻辑演绎形成的，故由它处理的数学知识成为一个有序理论体系，这种系统性形成了一定的知识结果，促进了知识的运用与发展。5可比较性：公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促进和推动理论的创立。 6.2 数学公理化方法的产生与发展 公理化方法的历史，大致可分五个阶段，即：公理化方法的萌芽阶段、实质公理化的产生阶段、潜形式公理化阶段、形式公理化阶段和纯形式公理化阶段。一、 公理化方法的萌芽亚里士多德三段论体系公理化方法是从数学和逻辑学的发展中产生的。早在公元前7世纪，爱奥尼亚学派的创始人哲学家泰勒斯的学生，古希腊的毕达哥拉斯（公元前585497年）及其门徒继承并发展了其老师的证明思想，开创了把几何学作为证明的演绎科学来进行研究得方向。古希腊的欧多克斯（公元前408355年）处理不可公度比时，建立了以公理为依据的演绎法，至此，古希腊人已清楚地认识到这一点，公理本身可以无须证明，重要的是根据所选取的公理按演绎法作出推理。显然这是公理思想的萌芽。大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德(公元前384322年)总结了古代积累起来的逻辑知识，在其专事探讨演绎证明理论的巨著分析篇中，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，在历史上提出了第一个公理体系三段论体系，这就为公理方法的产生奠定了基础。二、 实质公理化方法的产生欧几里得几何公理体系希腊数学家欧几里得（公元前330275年）受亚里士多德公理思想方法的影响，将公理演绎方法运用于几何学，完成了著名数学著作几何原本，本书从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理，运用演绎方法将当时所学的几何知识全部推导出来。欧几里得指明了几何学的研究对象，即点、线、面，在对这些对象进行“定义”（有25个）以后，引进了关于这些对象的一些明显的事实作为不加证明而采用的5个公社，进而又引进了更为一般的5个断言作为公理，他通过这些公理（设），逐步推演出465个命题。由于欧几里得的公理系统具有特定的对象（或者说，这一公理系统被认为是从属于这些特定对象的），又由于这些对象具有明显的直观背景现实空间（从而人们就可以用所谓的直观性来作为公理的判断依据），因此这种公理系统就被称为实质的公理系统。概括起来，该实质公理系统的有如下特点：其一，研究对象先于公理给出；欧几里得几何中的概念如点、线、面等，以及“在之上”、“在之间”、“叠合”等关系是先于公理给定且是唯一的，公理的确立乃是为了刻画这些对象的根本特点，这种公理体系是对经验知识的系统整理，具有自明性。因此，可以说实质公理系统是一种“对象公理演绎”系统。分析篇分前、后两部分，前分析篇主要论述关于如何进行演绎证明的问题，在该篇中系统地研究了三段论式。后分析篇主要研究按照演绎证明建立起来的学科本身的逻辑结构与逻辑要求的问题。按照亚里士多德的观点，演绎证明的科学（他指的是数学）是关于某一个确定的领域的全部真命题，这些命题分为二类，一类是基本命题（即公理）再一类是从基本命题引申出来的命题；相应地，概念也分为二类，一类是基本概念，再一类是从基本概念派生出的来的概念。根据上面这个结构，亚里士多德提出了两个逻辑要求，第一，公理必须是明显的。因而无需证明的，同样，基本概念必须是直接可以理解、无需加以定义的；第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律和逻辑规则，通过基本概念直接或间接地对派生概念下定义时，也必须遵守下定义的逻辑规则。其二，公理和公设对自明性有不同的要求；在欧氏之前，亚里士多德就区分了公理和公设，他认为公理是一切科学所共有的真理，而公设只是某一门科学所共有的真理，故其自明性要弱于公理的自明性。欧氏显然沿袭了亚氏的作法，将公理与公设作了区分，特别是第五公设的处理，为以后数学历史的发展埋下了极为精彩的“伏笔”。其三，用构造作为存在性的证明；因实质公理系统中的公理须受实践检验，因而其原始概念的定义也具有直观性和可构造性，欧氏的前三个公设就是承认直线和圆可构造性。这种构造的思想对后来数学的发展产生了极大影响，但另一方面，正因为对直观性的依赖，使其公理系统在某些方面缺乏必要的严格性。三、 潜形式公理化阶段非欧几何公理体系欧氏几何公理系统的不足早就被人们所发现，并一直努力使其更完善。长期以来，不少数学家对第五公设持保留态度，因为他缺乏说服力，且在陈述和内容上显得复杂和累赘。人们怀疑这条公理是不是多余的？能否从其它公设和公理推导出来？在两千多年对第五公设的试证过程中虽然都失败了，但从失败中引出一连串与第五公设等价的命题。19世纪俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基总结前人试证第五公设屡遭失败的教训，从问题的反面考虑，给出一个新的公理体系，即去掉第五公设，保留欧氏几何其余公理，再加进一个与第五公设相反的命题(过平面上直线外的一点至少可以引进两条与该直线不相交)，这个新的系统人们一般称为非欧几何。后来的数学家们证明了它与欧氏几何是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。非欧几何的诞生，对公理化方法的发展产生了不可估量的影响，它表现在这样一些方面：（1）改变了几何公理借助直感达到自明的传统观念，使人们认识到对公理进行科学抽象的重要性，为形式公理系统的诞生铺平了道路。（2）第五公设对于欧氏几何系统的不可证明性具有深刻的启示性，从这一意义上看，其最终结果是导致哥德尔不完备性定理的产生。（3）产生了用模型方法给出相对相容性的证明方法。（4）几种几何理论同时并存的局面事实上已表明几何理论不再从属于某种特定的研究对象，人们开始认识到舍弃特定的实质性的对象，仅从形式上“自由地”建立几何理论的可能，这正是我们把这一阶段称之为潜形式公理化阶段的原因。四、 形式公理化阶段希尔伯特公理体系除非欧几何的诞生外，哈密尔顿的四元数代数的建立标志着代数从“自然数及其自然法则的束缚下永远解放出来”。由于人们可以任意地去建立各种可能的代数系统，这样，代数的研究就不再从属于某种特定的对象了。19世纪的数学发展还使人们看到：尽管若干个数学理论可能具有不同的研究对象，但其逻辑结构都可能相同，“多么复杂的理论都可以从一个数学领域传递到另一个数学领域。人们逐渐形成这样的观点：数学研究重要的并不在于研究的对象是什么；而在于对象间的相互关系（逻辑结构和形式）。这样形式化的公理方法的产生就不可避免了。德国数学家希尔伯特于1899年出版的几何基础就是形式化公理方法的典型体现。希氏认为公理系统中所涉及的对象可以是任何事物，只要它们满足公理所表述的事实，那么，由这些公理出发经由演绎而得出的定理对它们来说就是成立的。诚如他所说：“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面”。在这种观点下，他引进了一些基本概念（基本元素，包括点、线、面；基本关系，包括结合、顺序、合同），用结合、顺序、合同、平行、连续这五组公理（共20条）来确定基本概念的涵义并进行逻辑演绎，展开几何理论。在这样的处理下，原来的几何（如欧氏几何）所包含的特定意义，即对象的直观背景被完全舍弃，公理也不再具有“自明性”或“必然性”，而只能说是一种用以作为演绎基础的“假设”。现在不再是对象决定公理，而事实上是公理决定对象（即公理为对象的瘾定义），公理系统就完全成了一种“假设演绎”的形式公理系统，这是形式公理系统与实质公理系统的最大区别。此外，形式公理系统由于具有更高的抽象性，因此也就具有更高的概括性。同一公理系统可以有许多具体对象，比如“布尔代数”是一个形式公理系统，其对象可以解释为电路上的接点，也可解释为命题或者解释为类。形式公理针对的是自身的逻辑结构，比如联结公理3中的“每一条直线至少有两个点”，其逻辑结构为 其意思是：每个类对象都有两个不同的类对象、与之发生关系，我们既可解释为通常意义下的直线、点及点在直线上的关系，也可解释为球面上的大圆、对径点及对径点在大圆上的关系，于是这条公理的对象域可以是欧氏空间，也可以是球面或其它。形式公理排除直观默认，不再区分公理和公设，整个系统具有严格的逻辑性，因而更具科学性，它被迅速地运用于超出数学之外的更为阔的领域，使自然科学的许多部门都出现了公理化趋向。五、 纯形式公理化阶段元数学的建立20世纪初，希尔伯特创立的元数学标志着公理化方法发展到了一个新阶段纯形式化阶段。所谓元数学，笼统地讲，就是指把某种数学理论（如自然数理论，几何理论等）作为一个整体来加以研究，研究系统的相容性、完备性及公理的独立性等问题。其作法是，采用符号语言把数学理论的全部命题变成公式的集合（形式系统），然后证明这个公式的集合是无矛盾的。具体说，就是在这个几何中，概念均换成符号，公理及定理均写成公式，推导都成了公式的变形，推导过程的最后一步所出现的一式就是所要证明的结论。在元数学中，元数学的研究对象称之为对象理论，我们在对对象理论进行研究时（如证明其相容性）所采用的数学理论称为元理论。希尔伯特这种将理论进行区分的思想具有深刻的意义，一方面，它可以避免以自身的可靠性去证明自身，而是跳出理论的内部束缚，站在理论之外来研究它，这就保证了证明的逻辑严谨性；另一方面，这种区分具有普遍的方法论价值，自元数学之后，又在其它领域衍生出一大批“元科学”，如元语言、科学学、系统论等。元数学中将研究对象组织咸亨的形式系统与前述形式公理系统是不同的，区别在于后者中概念还有某种意义，命题表现为某种逻辑结构，推导完全是按机械法则所实施的变形。希氏认为这样的形式系统有利于理论体系逻辑结构的充分暴露，给研究带来方便。希尔伯特希望以有限的属性作为元理论去证明由已有的古典数学理论（首先是自然数理论）抽象而出的形式系统的形容性。希尔伯特规划最终虽然不能实现，但元数学的建立却标志真公理化思想方法的完善。纯形式化的公理方法不仅推动了数学基础的研究，而且为计算机的广泛应用开辟了广阔的前景，同时也导致了数学观的深刻变化。 6.3 公理化方法的特点与基本问题 一公理化方法的特点公理化方法是一种逻辑演绎的方法，但它又具有不同于一般演绎方法的特点。 （1）公理系统是一个有序的整体。它并不“平等”地对待系统中的所有命题，而是将其划分为两类：公理(不加证明引入的)及定理（需要证明其为真的）并按纵向由浅入深地建立起多命题间的有机的联系。 （2）在公理系统中，只要不是公理中的命题都不能不加证明地引用，没有经过严格论证过的命题无资格作为演绎推论的前提，因而就排除了继续运用归纳法引入演绎前提的渠道，成为纯粹的演绎系统。 （3）公理系统是形式化的。只着眼于概念、命题间的关系，不考虑其来源、运用和发展。尽管它最先引入了一些原始对象（概念和命题），但对这些东西的解释却被当作系统之外的事，在系统内，只是作为一种“假设”。二、公理化方法的基本问题运用数学公理化方法时，关键是如何选择基本概念和公理，这也是公理化方法的基本内容。基本概念应是最原始、最简单的思想规定，是对数学对象高度抽象的结果。公理是作为基本概念相互关系的规定。它的选择应考虑到如下三个基本问题。 （1）相容性：亦称无矛盾性。如果一个公理系统部存在两个相互矛盾的命题，则称是相容的或无矛盾的。对公理系统相容性的要求是最基本的要求，任何理论体系皆要满足着要求，否则，就不具有存在的价值。当然，这种相容性仅指在同一个确定的公理系统中。对于两个不同的公理体系，也可能出现相互矛盾的公理或定理。例如在欧氏几何中，“三角形内角和是”是真命题，但在非欧几何中，却是假命题。（2）独立性：指公理系统中的每一条都有存在的必要性，换言之，公理系统任何一条公理都不应该根据这一系统的规则由其它公理推出来。实际上就是要求系统中的公理数目减少到最低限度，不允许有多余者存在，这一条保证了公理的简单性。（3）完备性：指确保从公理系统出发能推出所论数学分支的全部命题，而不需凭借经验和直观。它保证了必要的公理不能少。由于可能的定理的个数是每一限制的，也可用同构的观点对完备性作更确切的解释，即：如果已知的公理系统所有模型都是同构的，则该系统称为完备的（这一性质称为范畴性）。这是一个确定的公理系统的三个基本问题，但是，遗憾的是我们并不能轻而易举地证明一个公理系统是否满足这些要求，即使公理系统本身并不很复杂。三、对公理系统的检验对公理系统是否满足以上三性的证明与检验一般有两类方法。其一，直接证法（也称绝对证明），即不借助于其它系统而在本系统内直接证明。这种方法适用于命题项数较少的小范围的理论系统。数理逻辑中真值函数公理系统的相容性、完备性、独立性及哥德尔完全性定理（谓词演算公理系统是完备的）的证明就是范例；其二，是间接证法，即利用转化手段（如映射）将特征系统的问题转化为另一个系统的问题去证明。这是因为，一般来说，公理系统中命题数目繁多，而且新的命题不断出现，我们很难用穷举的方法来逐一验证。“模型发”是最常采用的方法。1 公理系统相容性的证明如何用“模型法”来证明公理系统的相容性呢？其主要思想是构造一组“实物”（这些“实物”具体的性质是可知的），作为公理系统的元素，把公理系统中元素间的相互关系解释为中实物间的一种具体关系，这样就建立了公理系统的一个模型，若在中是无矛盾的，则就证明了的无矛盾性。例如，欧氏几何的相容性就是依靠建立实数模型来加以证明的。为节省篇幅，表6-1、表6-2仅简单地罗列了一些几何概念和命题的实数解释，有兴趣的读者可仿此证明一下其它结论范畴性为美国数学家维布伦首先提出，说一个公理系统是范畴的，也就是完备的。 表6-1基本概念 实数解释1 点2 直线3 在上4 561 射线62 角63有序实数对有序实数比，其中，其中（两分母不同时为零；分母为零时，分子为零）有序四实数组，其中，有序六实数组，其中，且两数组与，且其中 表6-2公理 实数解释形式成立理由已知两数偶，不同，则方程式：系数行列式，恰有一解：且已知实数比，则方程至少有二组解此为二元一次不定方程，有无穷多组解至少有三个数偶使方程组 无解，数偶，即合条件已知实数比，数偶有关系式，则至多有一实数比，使，且 无解使无解的条件是故合条件之实数比只有在数学史上，罗氏几何相对于欧氏几何的相对相容性的证明，有许多典型的模型，现举例如下：（1）贝特拉米（E.Beltrami,18351900）模型：意大利的这位数学家1868年所给出的这一模型是最早证明罗氏几何相容性的模型。 这一模型即在欧氏几何的一个曲面（伪球面）上建立的与罗氏平面之间的对应关系。伪球面是由A物线绕它的渐近线旋转而生成的曲面（喇叭面）。A物线有这样的性质，在它各点切线上从切点到与旋转轴交点的线段处处相等，如（图61）。贝氏证明了伪球面具有负的常数曲率（常曲率是能把曲面的一部分移到另一部分上去的必要条件，如球面就行，而椭球面就不行）。贝氏进一步指出，如果把曲面上的测地线（即曲面上两点间的最短程线）看作直线，那么罗氏非欧几何平面就可以在伪球面上成立。贝氏的这一模型，使罗氏几何相容性具有欧氏几何同样的可信度，但伪球面只能作为罗氏几何的有限区域的 图6-1模型，因此还不能在整个平面或在空间解释它的相容性问题。 （2）F克莱因模型：对于二维情况，克莱因所作的非欧几何模型是普通欧氏平面上的一个圆的内部，其中，非欧几何的电是圆的内点，非欧几何的直线是圆的弦（不包括处于圆周上的点），而整个非欧几何平面即圆的内部。在这个几何中所施行的变换称 图6-2之为“移到”，它是把圆变换成自己且不改变弦的平直性的变换。容易证明，罗氏几何的公理都可以在这个模型上用欧氏几何的事实加以解释。如罗氏几何的平行公理“过不在已知直线上一点，至少可以引两条直线，不与已知直线相交”，在此模型上即可对应为“过圆内不在已知弦上的点，至少可以引两条弦，不与已知弦相交”。如图6-2，和过而不与已知弦相交（注意、不是非欧几何点），且和把过的弦分为两类，一类与相交，另一类与不相交，这也正体现了罗氏几何定理，至于其它罗氏几何定理，都与欧氏几何公理是一样的。 （3）庞加莱模型：表6-3及图6-3给出了欧氏几何平面上的罗氏几何模型，表6-4则给出了有代表性的罗氏命题在欧氏几何中对应的表述： 表6-3 罗氏几何词项 欧氏几何词项点（即有限圆的点）上半平面上的点（不计界面直线上的点） 无限远点上的点或上半平面上的无限远点 直线上半平面上圆心在直线上的半圆或垂直于 的半直线(这种半直线可以看作圆心在上的无限远的半圆） 两直线的交角两半圆在交点的两切线的交角；一半圆与一垂直于的半直线的交点的切线与半直线的交角；垂直于的二半直线的交角（此时两线平行） 图63 表6-4 罗氏几何表述 欧氏几何表述三角形内角和小于圆心在上的三半圆所围成的圆弧三角形的三内角（即交点切线的交角）之和小于；或圆心在上的两半圆及垂直于的一半直线所围成的弧弦三角形内角和小于罗氏平行公设；过直线外一点可以作两半直线与此直线不相交（或交于无限远点）；在此两半射线范围内的半射线均与此直线相交；在此两半射线外的半射线均与此直线不相交。(1)过半圆外一点可以作两不同的半圆或一半圆及一半直线与知之半圆交于直线上；或(2)过半直线外一点可以作一半圆及一半直线，前者与已给直线交于上，后者与已给直线平行或交于无限远点，它们将半圆及半直线分为与给定半圆或半直线相交及不相交两类。 黎氏几何公理系统的相容性证明可借助于“球面模型”划归为欧氏几何的相容性证明。如表6-5、表6-6及图6-4。 表6-5 黎氏几何词项 欧氏几何词项 平面 球面 一个点 球面上每一对对径点 （即同一直径的两个断点） 直线 球面上的每个大圆 图6-4 表6-6 黎氏几何表述 欧氏几何表述已知、两点，恒有一直线，它属于、这两点的每一点，且、这两点的每一点也属于。（1）球面上任意两点、，过、三点的平面与球恒有一交线，此交线为过、的大圆（即黎氏直线）。黎氏平行公设：已知直线外一点，则在与所在平面上没有一条直线过而与不相交。（2）在球面上，过大圆（已知黎氏直线）外一点与球心，可作任意多个平面，与球面相交有任意多个大圆（黎氏直线），每一与相交，且两交点是同一直径的两端点（黎氏直线交点）。 2 公理系统独立性的证明公理系统独立性的证明可以转化为相容性的证明。设是由公理组成的公理系统，为其中某一公理，表示的矛盾命题，研究公理系统 我们有结论：如果相容的公理系统中的一个公理换成它的矛盾命题后得到的新的公理系统仍能相容，则在中独立。证明 相容，且不在中 不能由推出，故独立于其它公理。由于上述结论，公理系统的独立性就由另一公理系统的相容性来保证了我们举一例子来说明证明思路。将欧氏几何公理系统记为：。 设为欧氏平行公理，欲证明对中其余各条公理的独立性。新构造一个系统, ，其实即是非欧几何的公理系统，其中表示的否定。是欧氏平行公理，有两种形式，其一为罗氏几何平行公理，其二为黎氏几何平行公理。既然如此，只须证明罗氏几何公理系统的相容性（例如用庞加莱模型）和黎氏几何公理系统的相容性（例如用球面模型），就证明了对欧氏几何其余公理的独立性。3 公理系统完备性的证明我们已知，如果某一公理体系的所有模型都是同构的，则这个公理体系是完备的。怎样的两个模型是同构的呢？如果两个模型的元素之间成立一一对应；基本关系之间也成立一一对应；又如果第一个模型里任意元素和具有某一关系，那么第二个模型里对应的元素和就有一个关系与之对应，反之也成立，那么这样的两个模型就叫做同构的。例如抽象群,一个模型为整数集合，另一个模型可构造为，运算法则就是数的乘法（任意证明群的四条公理在中都成立），然而，显然与中的元素之间不是一一对应的，这两个模型便不是同构的，所有群的公理体系是不完备的。由此可见，范畴性意义下的完备性并非每一公理体系必需达到的要求，范畴性比完备性意义更宽广些。从某种意义上说，正因为不具有范畴性，才使得公理体系具有各色各样的模型而获得更广泛的应用。现代数学的很多公理系统都不具有范畴性，如群、环、域等。假设一个公理体系，允许加入一个与中公理独立的公理使+成为一个无矛盾的扩大了的公理体系，则+必有一个模型,而同样也是的一个模型。另一方面，因由独立性，则+也是相容的系统，设是+的模型，同样也是的模型，这样就有两个不同的模型与，它们显然不是同构的。这说明如果公理体系是完备的，我们就不能把新公理增加到此体系中去，使之成为一个扩大了的公理体系。欧氏几何公理体系的完备性可以通过证明模型同构的方法证明。我们只需证明的任意两个模型与均与实数模型同构就可以了（、与同构，则与同构），利用前述相容性证明中的欧氏几何与实数模型的对应表，这是很容易办到的。用类似的方法也可以证明罗氏几何公理系统的完备性。 6。4 公理化方法的应用举例一、 一个简单的实例我们考察定义两个二元运算“+”、“ ”的元素集合，称是一个布尔代数，它有下列性质：1 运算“+”、“ ”满足交换律。2 对运算“+”、“ ”在中存在一个单位，分别称0和1。3 每一运算关于另一个的分配律成立。4 对中的每一元素，存在中的另一元素，成立：,5 对中每一元素，有和。6 对布尔代数中的所有、，有和。7 对中的每个，有。8 对中的任意两个元素和，有 和 。我们还可以列出一些可由上述性质所推导出来的命题。我们可以选取14作为原始命题，能证明其它命题皆由这4个命题推导出来。事实上，这4个命题也就刻划出了布尔代数一个可能的公理体系。二、 几何公理方法的重要实例希尔伯特公理体系希氏公理体系包括基本概念和基本公理两大部分。基本概念包括点、线、面三个基本元素及结合关系、顺序关系、合同关系三个基本关系。基本公理包括：结合公理1 过两点有一直线；2 过两点至多有一直线；3 直线上至少有两点，又至少有三点不在同一直线上；4 过不在同一直线上的三点必有一平面，每一平面上至少有三点；5 过不在同一直线上的三点至多有一个平面；6 如果一直线的两点在某平面上，则该直线的所有点均在此平面上；7 如果两平面有一公共点，则它们至少还有另一公共点；8 至少有四点不在同一平面上。顺序公理若点位于点、之间，则、是同一直线上的三点，且位于、之间；2 对于两给定点与，则至少存在一点，使在、之间；3 直线上的任意三点中。至多有一点位于其它两点之间；4 （巴士公理）、是不共线三点，直线在、三点的平面上，但不过、三点，如果穿过截段中的一个点，则必穿过截段或中的某点。合同公理如果、为直线上的两点，为直线上或另一直线的点，则在的给定一侧必可在或上找到一点，使得截段合同于，记为；2 若、都与合同，则；3 令与是直线上无公共内点的两个截段，又令与为直线无公共内点的两个截段，如，则；4 令是平面上两直线（射线）构成的角，是平面上的一直线，且给定在的一侧，设为由点出发的射线，则在上恰有一射线，使得与合同，且的所有内点均位于的给定一侧；5 与是两三角形，如果有，则。连续公理1 （阿基米德公理）对于任意二线段、，在上必存在一组点，使得均合同于，且在与之间；2 （康托公理）设在任意线段上给了线段的无穷序列其中每个后面的都在前面一个的内部；而且对于任何预先给定的线段，都可以找到号码，使得线段小于这个线段，那么在直线上就存在着一个而且只有一个点，落在所在线段的内部。平行公理令是不在直线上的点，则在与确定的平面上至多有一直线过而与不相交。三、 现代形式公理系统的基本结构及具体实例 现代形式公理系统（理论系统）的结构层次为：(1) 符号集）逻辑符号：“”、“”、“”、“”、“”等。）非逻辑符号：指对象的符号，如、等；对称关系和函数的符号，如、 等。(2) 形成规则。(3) 公理组（包括逻辑公理与非逻辑公理）。(4) 推演规则（包括逻辑规则与非逻辑规则）。(5) 定理及其证明。上述5条及由它们推出的全部定理构成一个形式公理系统（理论系统），一般用表示；对象集与关系集称为理论的形式系统，用表示。对于理论的任何一个解释（赋值）称为的一个模型，形式系统的解释称为的一个结构，显然，一个理论系统可能有许多相应的模型，以下给出两个简单实例；例1 若将解释成通常的大小关系“”，则实数系的任何子集都满足与，即实数系的任何一个子集都是它的模型。例2 这是群的形式公理系统，只要给出满足于与的不同解释，则可构造出不同的模型。四、 关于中学数学中的几何公理体系及处理方法根据国内外教材改革实验的经验与训练，我国现行统编中学数学教材主张基本上保持欧氏几何公理体系，在内容上进行删繁就简，主要考虑到学生的可接受性，并不过分追求公理要求的严谨，主要有以下特点：(1)不明确指出哪些是原始概念，对基本对象（如点、线、面）通过直观进行描述：例如，“线线相交于点”，“面面相交于线”，这里的“点”、“线”、“面”、“相交”其实都是基本概念。(2)对一些理应严格定义的概念，也采用直观描述的方法：例如，“线段”和“射线”，“用直尺把两点连起来，就得到一条线段。”“线段向一方无限延伸，就形成射线。”这里的“无限延伸”意义不明确，“直尺”也是直线的同义语。(3)扩大公理体系，降低教学难度，把原来在严格公理系统中可以证明的定理，也列为公理，不加证明地去使用。如“两点决定一直线”，“两点间线段最短”，“垂线的唯一性”，“平行线的同位角相等”，“三角形全等的三个判定”等等。皆视为公理（在“公理”这个术语出现之前叫“基本性质”）。(4)尽管扩大公理体系，公理仍不完备。例如，因为没有提出顺序公理与连续公理（仅仅是默认），证明时或多或少借助于直觉。数学中也需要直观（如发现结论时），但论证时仅凭直观就会导致逻辑错误。几何学中有一个有名的诡辩题：“任何三角形都是等腰的”就是利用公理的不完备，而凭对几何图形的直觉所导致的错误结论(如图6-5)。 图6-5在中，作的平分线、边的中垂线，可能出现以下四种情况：（1）角平分线和中垂线平行；（2）角平分线和中垂线交于的中点；（3）角平分线与中垂线交于之内；（4）角平分线与中垂线交于之外。由（1）、（2）可知角平分线即分别成为的边的高和中线，则为等腰三角形。对（3）、（4），设交点为，从各引、边垂线交二边于、，由角平分线及中垂线的性质。有，易证，且可证明，故，于是，对于（3），有，即；对于（4），即。所以，无论何种情形，皆为等腰三角形。事实上，点不可能在内部，且、也不可能都分别在、的内部，、中必有一点在其相应线段的延长线上。不正确的画图导致了谬误。 65 对公理化方法的辩证认识作为本章的结束，我们再从唯物辩证法的角度对公理化方法作一简要分析。一、 如何认识对同一对象的不同形式的公理描述亚里士多德奉行“一元论”的公理化观点，他认为，对每一门学科都有第一原理和元素概念，而对每一概念恰有一个定义它的正确方法。以后的欧几里得直至康德，都认为公理和原始概念的选择几乎都是唯一地决定的。与此相对立的是“多元论”的公理化观点，即认为对同一题材所作的不同的公理化选择方案（