2010-2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A.doc

2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 9 of 9北 京 交 通 大 学20102011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案一（本题满分8分） 一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出生所在的年份）的概率 解： 设“6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”所求概率为.1分考虑事件的逆事件： “6位同学的生日各在不同的月份”.1分 .2分 .2分 .2分二（本题满分8分） 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是，和如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为、，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解： 设“朋友来访迟到”， “朋友乘火车来访”， “朋友乘轮船来访”， “朋友乘汽车来访”， “朋友乘飞机来访”.1分所求概率为，由Bayes公式得 .1分 .2分 .2分 .2分三（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为试求随机变量的分布函数 解： 当时， ； .1分 当时， ；.2分 当时， ；.2分 当时， .2分 因此，随机变量的分布函数为 .1分四（本题满分8分） 试决定常数，使得，为某一离散型随机变量的分布列，其中为参数 解： 若使，是某一随机变量的分布列，当且仅当，而且， .2分因此有 ，.4分所以有 .2分五（本题满分8分） 设与分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数试求一元二次方程有两个不相等的实数根的概率 解： 一元二次方程有两个不相等的实数根的充分必要条件是，或者.2分又的联合分布列为，.2分所以，一元二次方程有两个不相等的实数根的充分必要条件是的取值应为下列情形之一：，.2分 .2分六（本题满分8分） 设随机变量服从区间上的均匀分布，试求随机变量的密度函数 解： 随机变量的密度函数为 .1分 设的分布函数为，则有 .1分 当时，； 当时，； 当时，.1分 综上所述，得随机变量的分布函数为 .1分因此，随机变量的密度函数为 .1分 当时，于是有，因此有； 当时，于是有，因此有.2分 因此，随机变量的密度函数为 .1分七（本题满分8分） 试解释“在大量独立重复试验中，小概率事件几乎必然发生”的确切意思 解： 设是一随机事件，其概率.1分 现独立重复做试验，则在次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为.2分令，则有.2分这表明，只要试验次数充分大，不管随机事件的概率多么小，随机事件在次独立重复试验中至少发生一次的概率与1可以任意接近，即随机事件在次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的.3分八（本题满分8分） 一公寓有户住户，一户住户拥有汽车辆数的分布列为试用中心极限定理近似计算，至少要设多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为？（设：，其中是的分布函数） 解： 设需要的车位数为，表示第个住户需要的车位数，则随机变量独立同分布，而且 ， ，.2分于是有 .1分由题意，得 .3分由题设，因此得，所以有 因此至少需要个车位，才能满足题设要求.2分九（本题满分8分） 设随机变量与相互独立，而且都服从参数为的指数分布，令，试求二维随机变量的相关系数 解： 因为与都服从参数为的指数分布，所以，.1分于是有 ， 再由与的相互独立性，得 ， .3分 .2分所以有 因此有 .2分十（本题满分8分） 设总体存在二阶矩，总体期望，总体方差，是从中抽取的一个样本，是样本均值，是样本方差 计算方差（4分）； 如果，计算方差（4分） 解： .4分 因为总体，是取自总体中的一个样本，所以.2分所以， .2分十一（本题满分10分） 设，证明：随机事件与相互独立的充分必要条件是 证明： 必要性： 设随机事件与相互独立，所以随机事件与也相互独立因此有， ，.3分因此有 .2分 充分性： 由于 ，所以有 因此有 .3分由，得，因此有 整理，得 即得 这表明随机事件与相互独立.2分十二（本题满分10分） 设总体等可能地取值，其中是未知的正整数是取自该总体中的一个样本试求的最大似然估计量（7分） 某单位的自行车棚内存放了辆自行车，其编号分别为1，2，3，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，的最大似然估计值（3分） 解：